重难点06 相交线与平行线的5种模型（5题型）-2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
重难点突破06 相交线与平行线的5种模型
（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型）
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155795834" 题型01 三线八角模型
\l "_Tc155795835" 题型02 铅笔头模型
\l "_Tc155795836" 题型03 锯齿型模型
\l "_Tc155795837" 题型04 翘脚模型
\l "_Tc155795838" 题型05 三角板拼接模型
题型01 三线八角模型
模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.
【快速判断同位角、内错角与同旁内角】
【针对训练】
例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4
变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4
变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（ ）
A．70°B．110°C．130°D．150°
变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
题型02 铅笔头模型
【针对训练】
例3如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
变式1如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
变式3 如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）

题型03 锯齿型模型
【针对训练】
例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD= ．
变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
变式4．如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
变式5（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
题型04 翘脚模型
【针对训练】
例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?
小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D−∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，则∠F= °．
变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．
变式3 ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式4．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
题型05 三角板拼接模型
【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..
【针对训练】
例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）

A．5°B．10°C．15°D．20°
变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND= °．
变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=30°，∠D=45°，且AC∥DE，则∠BCD= 度．
变式5．（2022·江苏镇江中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1=
变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB//EF，则∠ADE= 度．
变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF,∠B=∠DEF=90°，则∠CDE的度数为 ．
已知
图示
结论（性质）
直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行
1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；
4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.
直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD
1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠C+∠E = 360°
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB
方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F．
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°