专题06 半角模型综合应用（能力提升）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题06 半角模型综合应用（能力提升）
1． 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE＝2，BF＝3，则GM＝　　．

【答案】2
【解答】解：连接GE交AF于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABF＝∠ADE＝∠C＝90°，AB＝AD＝BC＝DC，AD∥BC，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
由旋转得：
AE＝AG，∠ABF＝∠ADE＝90°，BG＝DE＝2，∠BAG＝∠DAE，
∴∠BAG+∠BAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
∵∠ABF＝∠ABG＝90°，
∴∠GBC＝∠ABG+∠ABF＝180°，
∴点G、B、F三点在同一条直线上，
∵BF＝3，
∴FG＝BG+BF＝2+3＝5，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝FE＝5，
设正方形ABCD的边长为x，
∴CF＝x﹣3，CE＝x﹣2，
在Rt△ECF中，FC2+EC2＝EF2，
∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52，
∴x＝6或x＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的边长为6，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠MFB，∠ADM＝∠MBF，
∴△ADM∽△FBM，
∴＝＝＝2，
∴AM＝AF＝2，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，
∵AG＝AE，FG＝FE，
∴AF是EG的垂直平分线，
∴∠AOE＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴AE＝AO，
∴AO＝2，
∴点M与点O重合，
∴EG＝2GM，
在Rt△ECG中，EC＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，GC＝BC+GB＝6+2＝8，
∴EG＝＝＝4，
∴GM＝2，
故答案为：2．
2．如图：已知正方形ABCD，动点M、N分别在DC、BC上，且满足∠MAN＝45°，△CMN的周长为2，则△CMN面积的最大值是 　 ．

【答案】3﹣2　
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CD＝CB；
如图，将△ABN绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AE＝AN，DE＝BN，∠DAE＝∠BAN；
∴∠MAE＝∠MAD+∠BAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAD+∠BAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN；
在△MAE与△MAN中，
，
∴△MAE≌△MAN（SAS），
∴ME＝MN，
∴MD+BN＝MN；
∴△MCN的周长＝CM+CN+MN＝CM+ME+CN＝CM+DM+CN+BN＝CD+CB＝2，而CD＝CB，
∴CD＝CB＝1；设DM＝x，BN＝y，△CMN的面积为s，
则S＝＝，
整理得：x+y﹣xy＝1﹣2S①；
由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，
即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
整理得：x+y+xy＝1②，联立①②得：
xy＝s，x+y＝1﹣s，
∴x、y为方程z2﹣（1﹣s）z+s＝0的两个根，
∴△≥0，即[﹣（1﹣s）]2﹣4s≥0，
解得：s或s（不合题意，舍去），
故答案为3﹣2．

3．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且．
（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF．
①∠DAF＝　 　；②求证：DF＝DE；
（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．


【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，
∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，
故答案为：30°；

②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，
∵AB＝AC，
∴△DAF≌△DAE（SAS），
∴DF＝DE；

（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：
如图，
将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，
∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，
在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，
∴DF2＝BD2+CE2，
同（1）②的方法得，DF＝DE，
∴DE2＝BD2+CE2．

4．已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　 　．

【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF+CF，
∴CE＝BE+AE；
（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，
图②的理由如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF﹣CF，
∴CE＝BE﹣AE，
图③的利用如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝CF﹣EF，
∴CE＝AE﹣BE；
（3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；
在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，
综上所述，CE＝3或5，
故答案为：3或5．
5．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．

【解答】解：（1）如图①AH＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABM与△ADN中，，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵AH⊥MN，
∴∠MAH＝MAN＝22.5°，
∵∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，
在△ABM与△AHM中，，
∴△ABM≌△AHM，
∴AB＝AH；
故答案为：AH＝AB；

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM，
∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH；

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD，
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴AH＝6．


6．问题提出：
如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 　 　．
问题探究：
如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝10，
∴OB＝sin45°×BC＝，

故答案为：5．
（2）EF＝BE+DF，理由如下：
如图2，延长EB，使BG＝DF，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE＝DF+BE，
（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BG＝DF，

∵∠ABC＝45°，
∴∠ABG＝135°，
∴∠ABG＝∠ADF，
又∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，
∴EF边上的高AK＝4，
画△AEF的外接圆⊙O，作OM⊥EF于M，

∵∠EAF＝60°，
∴∠EOM＝60°，
设OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，
∵OM+OA≥AK，
∴x+2x≥4，
∴x≥，
∴EF的最小值为2×，
∴S△AEF的最小值为．
7．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，
∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．

（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．


8．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，CD＝3，求AD的长；
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

【解答】（1）答：AB＝AH，
证明：延长CB至E使BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°
又∵AB＝AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1＝∠2，AE＝AN，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
即∠EAM＝45°，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是对应边，
∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴∠E＝∠F＝90°，
又∵∠BAC＝45°
∴∠EAF＝90°
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD＝AF
∴四边形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3，
设AD＝x，则EG＝AE＝AD＝FG＝x，
∴BG＝x﹣2；CG＝x﹣3；BC＝2+3＝5，
在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52
解得x1＝6，x2＝﹣1，
故AD的长为6．

9.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
10．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN＝10，CM＝8，求AP的长．

【解答】解：（1）证明：作AE⊥AN交CB的延长线于E，
∵∠EAB+∠BAN＝90°，∠NAD+∠BAN＝90°，∴∠EAB＝∠NAD．
又∵∠ABE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），
∴AE＝AN，BE＝DN．
∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN．
∴MN＝ME＝MB+BE＝MB+DN．


（2）图2的结论：MN+DN＝BM；
图3的结论：MN+BM＝DN．

（3）连接AC．
∵MN＝10，CM＝8，
在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即102＝82+CN2，
∴CN＝6，
如图3在ND上截取DG＝BM，

∵AD＝AB，∠ABM＝∠ADN＝90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG＝AM，∠MAB＝∠DAG，
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠MAG＝90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM＝NG．
∴DN﹣BM＝MN，即MN+BM＝DN，
∴MN+CM﹣BC＝DC+CN，
∴CM﹣CN+MN＝2BC，
∴8﹣6+10＝2BC，
∴BC＝6．
∴AC＝6．
∵∠BAP+∠BAQ＝45°，∠NAC+∠BAQ＝45°，
∴∠BAP＝∠NAC．
又∠ABP＝∠ACN＝135°，
∴△ABP∽△CAN，
∴＝＝．
∵在Rt△AND中，根据勾股定理得：AN2＝AD2+DN2＝36+144，
解得AN＝6．
∴＝，
∴AP＝3．