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    重难点09 相似三角形8种模型(A字、8字、射影定理、一线三等角等)-2024年中考数学一轮复习讲义(全国通用)
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      重难点突破09 相似三角形8种模型(A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、旋转相似模型)(原卷版).docx
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    重难点09 相似三角形8种模型(A字、8字、射影定理、一线三等角等)-2024年中考数学一轮复习讲义(全国通用)01
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    重难点09 相似三角形8种模型(A字、8字、射影定理、一线三等角等)-2024年中考数学一轮复习讲义(全国通用)

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    这是一份重难点09 相似三角形8种模型(A字、8字、射影定理、一线三等角等)-2024年中考数学一轮复习讲义(全国通用),文件包含重难点突破09相似三角形8种模型A字8字射影定理一线三等角线束模型三角形内接矩形三平行模型旋转相似模型原卷版docx、重难点突破09相似三角形8种模型A字8字射影定理一线三等角线束模型三角形内接矩形三平行模型手拉手模型解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共157页, 欢迎下载使用。

    2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。
    3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来,不等于“一点不懂、一点不会”,要将整道题目解题思路转化为得分点。
    4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。
    5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
    6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,把未知的问题转化为已知的问题。
    重难点突破09 相似三角形8种模型
    (A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、手拉手模型)
    目 录
    TOC \ "1-3" \n \h \z \u
    \l "_Tc156654683" 题型01 A字模型
    \l "_Tc156654684" 题型02 8字模型
    \l "_Tc156654685" 题型03 射影定理
    \l "_Tc156654686" 题型04 一线三等角模型
    \l "_Tc156654687" 题型05 线束模型
    \l "_Tc156654688" 题型06 三角形内接矩形模型
    \l "_Tc156654689" 题型07 三平行模型
    \l "_Tc156654690" 题型08 手拉手模型(旋转模型)
    相似三角形的判定方法:
    1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或其延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
    2)两个三角形相似的判定定理:
    ①三边成比例的两个三角形相似;
    ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
    ③两角分别相等的两个三角形相似.
    ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
    题型01 A字模型
    1.(2020·湖北武汉·统考一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,D是AB上一点,点E在BC上,连接CD,AE交于点F,若∠CFE=45°,BD=2AD,则CE= .
    2.(2020·浙江杭州·统考中考真题)如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF= ,BE= .
    3.(2020·山东济宁·中考真题)如图,在四边形ABCD中,以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点E,CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P,PB=BO,CD=22.则BO的长是 .
    4.(2020·上海浦东新·统考三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC,交边BC于点D,过点D作CA的平行线,交边AB于点E.
    (1)求线段DE的长;
    (2)取线段AD的中点M,连接BM,交线段DE于点F,延长线段BM交边AC于点G,求EFDF的值.
    5.(2021上·辽宁丹东·九年级统考期中)如图,△ABD中,∠A=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一时刻,动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动;同时,动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动,运动的时间为ts.
    (1)求t为何值时,△AMN的面积是△ABD面积的29;
    (2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△ABD相似时,求t值.
    6.(2020上·河南郑州·九年级校考阶段练习)如图,已知D是BC的中点,M是AD的中点.求AN:NC的值.
    7.(2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中)定义:如图,若点P在三角形的一条边上,且满足∠1=∠2,则称点P为这个三角形的“理想点”.
    (1)如图①,若点D是△ABC的边AB的中点,AC=22,AB=4,试判断点D是不是△ABC的“理想点”,并说明理由;
    (2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,若点D是△ABC的“理想点”,求CD的长.
    8.(2021上·浙江绍兴·九年级统考期末)如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系,则称这两个相似三角形互为母子三角形.
    (1)如果△DEF与△ABC互为母子三角形,则DEAB的值可能为( )
    A.2 B.12 C.2或12
    (2)已知:如图1,△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AB=2AD, ∠ADE=∠B.
    求证:△ABD与△ADE互为母子三角形.
    (3)如图2,△ABC中,AD是中线,过射线CA上点E作EG//BC,交射线DA于点G,连结BE,射线BE与射线DA交于点F,若△AGE与△ADC互为母子三角形.求AGGF的值.
    9.(2020上·全国·九年级专题练习)已知,如图,AD是直角三角形ABC斜边上的中线,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.
    (1)求证:△BAE∽△ACE;
    (2)AF⊥BD,垂足为点F,且BE•CE=9,求EF•DE的值.
    题型02 8字模型
    10.(2021·四川广元·统考中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,连接AE,若AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
    (1)求证:BC=CF;
    (2)连接AC和BE相交于点为G,若△GEC的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
    11.(2020·四川遂宁·统考中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则BEEG的值为( )
    A.12B.13C.23D.34
    12.(2020·浙江杭州·统考一模)如图,点O是△ABC边BC上一点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N,且ABAM=m,ACAN=n.
    (1)若点O是线段BC中点.
    ①求证:m+n=2;
    ②求mn的最大值;
    (2)若COOB=k(k≠0)求m,n之间的关系(用含k的代数式表示).
    13.(2021·辽宁盘锦·统考中考真题)如图,抛物线y=−12x2+2x+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线y=x−2与y轴交于点D,与x轴交于点E,与直线BC交于点F.
    (1)点F的坐标是________;
    (2)如图1,点P为第一象限抛物线上的一点,PF的延长线交OB于点Q,PM⊥BC于点M,QN⊥BC于点N,PMQN=114,求点P的坐标;
    (3)如图2,点S为第一象限抛物线上的一点,且点S在射线DE上方,动点G从点E出发,沿射线DE方向以每秒42个单位长度的速度运动,当SE=SG,且tan∠SEG=12时,求点G的运动时间.
    14.(2020·云南·统考中考真题)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为−1,0,点C的坐标为0,−3.点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.
    (1)求b、c的值;
    (2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当△ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标;
    (3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出点P所有的坐标;若不存在,请说明理由.
    15.(2021上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D为AB上一点,连接CD,分别过点A、B作AN⊥CD,BM⊥CD.
    (1)求证:AN=CM;
    (2)若点D满足BD:AD=2:1,求DM的长;
    (3)如图2,若点E为AB中点,连接EM,设sin∠NAD=k,求证:EM=k.

    16.(2022·山西吕梁·统考三模)综合与实践:
    数学活动课上,老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.
    问题情境:在□ABCD中,点P是边AD上一点.将△PDC沿直线PC折叠,点D的对应点为E.
    “兴趣小组”提出的问题是:如图1,若点P与点A重合,过点E作EF∥AD,与PC交于点F,连接DF,则四边形AEFD是菱形.
    (1)数学思考:请你证明“兴趣小组”提出的问题;
    (2)拓展探究:“智慧小组”提出的问题是:如图2,当点P为AD的中点时,延长CE交AB于点F,连接PF.试判断PF与PC的位置关系,并说明理由.
    请你帮助他们解决此问题.
    (3)问题解决:“创新小组”在前两个小组的启发下,提出的问题是:如图3,当点E恰好落在AB边上时,AP=3,PD=4,DC=10.则AE的长为___________.(直接写出结果)
    17.(2023·江苏南通·统考一模)正方形ABCD中,AB=2,点E是对角线BD上的一动点,∠DAE=αα≠45°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE,直线BF交射线DC于点G.
    (1)当0°<α<45°时,求∠DBG的度数(用含α的式子表示);
    (2)点E在运动过程中,试探究DGDE的值是否发生变化?若不变,求出它的值.若变化,请说明理由;
    (3)若BF=FG,求α的值.
    18.(2021·辽宁鞍山·统考中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<180°),过点A作射线AM交射线BC于点D,将AM绕点A逆时针旋转α得到AN,过点C作CF//AM交直线AN于点F,在AM上取点E,使∠AEB=∠ACB.
    (1)当AM与线段BC相交时,
    ①如图1,当α=60°时,线段AE,CE和CF之间的数量关系为 .
    ②如图2,当α=90°时,写出线段AE,CE和CF之间的数量关系,并说明理由.
    (2)当tanα=43,AB=5时,若△CDE是直角三角形,直接写出AF的长.
    19.(2023下·江苏宿迁·九年级统考期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,记△COD的面积为S1,△AOB的面积为S2.

    (1)问题解决:如图①,若AB∥CD,求证:S1S2=OC⋅ODOA⋅OB
    (2)探索推广:如图②,若AB与CD不平行,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
    (3)拓展应用:如图③,在OA上取一点E,使OE=OC,过点E作EF∥CD交OB于点F,点H为AB的中点,OH交EF于点G,且OG=2GH,若OEOA=34,求S1S2值.
    题型03 射影定理
    20.(2020·山西·统考中考真题)如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 .
    21.(2021上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AD=95,BD=45,那么BC= .
    22.(2022上·江苏南京·九年级统考期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且ADAC=ACAB.
    (1)求证 △ACD∽△ABC;
    (2)若AD=3,BD=2,求CD的长.
    23.(2021·湖北武汉·统考一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB上一点.
    (1)如图1,若CD⊥AB,求证:AC2=AD·AB;
    (2)如图2,若AC=BC,EF⊥CD交CD于H,交AC于F,且FHHE=49,求ADBD的值;
    (3)如图3,若AC=BC,点H在CD上,∠AHD=45°,CH=3DH,则tan∠ACH的值为________.
    题型04 一线三等角模型
    24.(2022·湖北襄阳·统考一模)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边AB,AC上,BD=3,将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE,当点F落在边BC上,且BF=4CF时,DE⋅AF的值为 .
    25.(2020·四川乐山·中考真题)如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.
    26.(2020·全国·九年级专题练习)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠B=∠ADE=∠C.
    (1)证明:△BDA∽△CED;
    (2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),且△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
    27.(2021上·山东济南·九年级统考期中)(1)问题
    如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=90°时,求证:AD⋅BC=AP⋅BP.
    (2)探究
    若将90°角改为锐角(如图2),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.
    (3)应用
    如图3,在△ABC中,AB=22,∠B=45°,以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE.点D在BC上,点E在AC上,点F在BC上,且∠EFD=45°,若CE=5,求CD的长.
    28.(2021上·吉林长春·九年级统考期末)【感知】如图①,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),∠A=∠B=∠DPC=90°.易证△DAP∽△PBC.(不需要证明)
    【探究】如图②,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),∠A=∠B=∠DPC.若PD=4,PC=8,BC=6,求AP的长.
    【拓展】如图③,在△ABC中,AC=BC=8,AB=12,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),连结CP,作∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E,当△CPE是等腰三角形时,直接写出AP的长.
    29.(2020·四川雅安·中考真题)如图,已知边长为10的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,G是BC延长线上的点,过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F,若FG⊥BG.
    (1)求证:△ABE∽△EGF;
    (2)若EC=2,求△CEF的面积;
    (3)请直接写出EC为何值时,△CEF的面积最大.
    30.(2020·浙江杭州·统考一模)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,过BC边上一点P,作∠DPE=60°,分别与边AB,AC相交于点D与点E.
    (1)在图中找出与∠EPC始终相等的角,并说明理由;
    (2)若△PDE为正三角形时,求BD+CE的值;
    (3)当DE∥BC时,请用BP表示BD,并求出BD的最大值.
    31.(2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模)在矩形ABCD中,点E是CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,使点D恰好落在BC边上的点F处.
    (1)如图1,若tan∠EFC=34,求AB:BC的值;
    (2)如图2,在线段BF上取一点G,使AG平分∠BAF,延长AG,EF交于点H,若FG=BG+CF,求AB:BC的值.
    32.(2020·江苏宿迁·统考中考真题)【感知】(1)如图①,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°,求证:AEEB=DECB.
    【探究】(2)如图②,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且EFEG=AEEB,连接BG交CD于点H.求证:BH=GH.
    【拓展】(3)如图③,点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且AEEB=DEEC,过E作EF交AD于点F,若∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G.求证:BG=CG.
    33.(2021·浙江衢州·统考中考真题)【推理】
    如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠,点C落在点F处,连结BE,CF,延长CF交AD于点G.
    (1)求证:△BCE≌△CDG.
    【运用】
    (2)如图2,在【推理】条件下,延长BF交AD于点H.若HDHF=45,CE=9,求线段DE的长.
    【拓展】
    (3)将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,若ABBC=k,HDHF=45,求DEEC的值(用含k的代数式表示).
    34.(2020·四川成都·统考中考真题)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将ΔBCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处.
    (1)如图1,若BC=2BA,求∠CBE的度数;
    (2)如图2,当AB=5,且AF⋅FD=10时,求BC的长;
    (3)如图3,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求ABBC出的值.
    35.(2020·山东济南·校考二模)矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B、C重合).过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E.
    (1)当点F运动到边BC的中点时,点E的坐标为__________;
    (2)连接EF,求∠FEC的正切值;
    (3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求BG的长度.
    题型05 线束模型
    36.(2022上·浙江宁波·九年级校考期中)【基础巩固】
    (1)如图1, 在△ABC中, D,E,F分别为AB,AC,BC上的点, DE∥BC,AF交DE 于点G, 求证: DGEG=BFCF.
    【尝试应用】
    (2)如图2, 已知D、E为△ABC的边BC上的两点, 且满足BD=2DE=4CE, 一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N, 求 LMMN 的值.
    【拓展提高】
    (3)如图3, 点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点, AB=3, 延长CD至点F, 使 DF=2DE, 连接CG, 求CG的最小值.
    37.(2022·浙江宁波·统考中考真题)
    (1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.
    (2)如图2,在(1)的条件下,连接CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求DEBC的值.
    (3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.
    38.(2023·全国·九年级专题练习)在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F.
    (1)如图1,当EF∥BC时,求证:BEAE+CFAF=1;
    (2)如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
    (3)如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
    题型06 三角形内接矩形模型
    39.(2021上·贵州铜仁·九年级统考期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,正方形DEFG的顶点D,G分别在AB,AC的边上,E,F在BC边上,则正方形DEFG的边长等于 .
    40.(2015·广西崇左·中考真题)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上.
    (1)求证:△AEF∽△ABC;
    (2)求这个正方形零件的边长;
    (3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?
    41.(2020·广东·华南师大附中校考模拟预测)如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
    (1)求证:△AEF∽△ABC;
    (2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;
    (3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
    42.(2021上·九年级课时练习)一块直角三角形木板的面积为1.5m2,一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面?甲、乙两位木匠的加工方法如图所示,请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留).
    43.(2020上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习)如图,正方形EFGH内接于△ABC,AD⊥BC于点D,交EH于点M,BC=10cm,AD=20cm.求正方形EFGH的边长.

    44.(2019上·宁夏银川·九年级校考期中)如图在锐角ΔABC中,BC=6,SΔABC=12,两动点M,N分别在AB,AC上滑动,且MN//BC,以MN为边长向下作正方形MPQN,设MN=x,正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y.
    (1)求出ΔABC的边BC上的高
    (2)如图1,当正方形MPQN的边PQ恰好落在边BC上时,求x的值
    (3)如图2,当PQ落在ΔABC外部时,求出y与x的函数关系式

    45.(2018·湖南永州·中考真题)如图1.在△ABC中,矩形EFGH的一边EF在AB上,顶点G、H分别在BC、AC上,CD是边AB上的高,CD交GH于点I.若CI=4,HI=3,AD=92.矩形DFGI恰好为正方形.
    (1)求正方形DFGI的边长;
    (2)如图2,延长AB至P.使得AC=CP,将矩形EFGH沿BP的方向向右平移,当点G刚好落在CP上时,试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形,为什么?
    (3)如图3,连接DG,将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N,求△MNG′的周长.
    题型07 三平行模型
    46.(2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中)如图,F为△BED的边BD上一点,过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A,过点D作DC∥EF交BE的延长线于点C.
    (1)求证:1AB+1CD=1EF;
    (2)请找出SΔABD,SΔBED,SΔBDC之间的关系,并给出证明.
    47.(2023·安徽滁州·校考一模)如图,已知AB⊥BC、DC⊥BC,AC与BD相交于点O,作OM⊥BC于点M,点E是BD的中点,EF⊥BC于点G,交AC于点F,若AB=4,CD=6,则OM−EF值为( )

    A.75B.125C.35D.25
    48.(2021·内蒙古·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 .
    49.(2021上·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中)图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.
    50.(2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测)如图,在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB,甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙,根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF.AB⊥DF.EF⊥DF).甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处.点B是DF的中点.墙AB高5.5米,DF=120米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.(结果精确到0.1米).

    51.(2022·湖北武汉·统考模拟预测)(1)【问题背景】如图1,AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点E,点F在BD上.求证:1AB+1CD=1EF;

    小雅同学的想法是将结论转化为EFAB+EFCD=1来证明,请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.
    (2)【类比探究】如图2,AE⊥AB,BD⊥AB,GH⊥AB,DE与BC相交于点G,点H在AB上,AE=AC.求证:1GH−1AC=2BD.
    (3)【拓展运用】如图3,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD交于点M,过点M作EF∥AB,交AD于点E,交BC于点F,连接EC,FD交于点N,过点N作GH∥AB,交AD于点G,交BC于点H,若AB=3,CD=5,直接写出GH的长.
    52.(2022上·上海嘉定·九年级统考期中)如图,已知AB∥CD,AC与BD相交于点E,点F在线段BC上,ABCD=12,BFCF=12.
    (1)求证:AB∥EF;
    (2)求AB:EF:CD.
    题型08 手拉手模型(旋转模型)
    【扩展一】如图,直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形(A、B、N三点共线),连接BM、CN,两者相交于点E,则存在多组相似三角形.
    【扩展二】如图,∆ABC和∆AMN都为等边三角形(A、B、N三点不共线),连接BM、CN,两者相交于点O,则
    存在多组相似三角形.
    53.(2019·河南·统考中考真题)在ΔABC,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
    (1)观察猜想
    如图1,当α=60°时,BDCP的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 .
    (2)类比探究
    如图2,当α=90°时,请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
    (3)解决问题
    当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时ADCP的值.
    54.(2020·湖北武汉·中考真题)问题背景:如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;
    尝试应用:如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F.点D在BC边上,ADBD=3,求DFCF的值;
    拓展创新:如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=23,直接写出AD的长.
    55.(2020·山东枣庄·中考真题)在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AE交于点M,DE与BC交于点N.
    (1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;
    (2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中,试证明CD2=CE⋅CF恒成立;
    (3)若CD=2,CF=2,求DN的长.
    56.(2023上·河南周口·九年级统考期末)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
    (1)观察猜想
    如图①,当α=60°时,BDCP的值是_______,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________.
    (2)类比探究
    如图②,当α=90°时,请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图②的情形说明理由.
    57.(2020·河南南阳·统考一模)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACBD的值为______;②∠AMB的度数为______.
    (2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由;
    (3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=3,请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长.
    58.(2020·河南郑州·郑州市第八中学校考模拟预测)几何探究:
    【问题发现】
    (1)如图1所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形,BD、CE的关系是_______(选填“相等”或“不相等”);(请直接写出答案)

    【类比探究】
    (2)如图2所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
    【拓展延伸】
    (3)如图3所示,△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形,将△ADE绕点A自由旋转,若BC=22,当B、D、E三点共线时,直接写出BD的长.
    59.(2022·山东烟台·统考中考真题)
    (1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.
    (2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出BDCE的值.
    (3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且ABBC=ADDE=34.连接BD,CE.
    ①求BDCE的值;
    ②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.
    60.(2020·山东济南·统考二模)在ΔABC中,∠ACB=90°,BC=AC=2,将ΔABC绕点A顺时针方向旋转α角(0°<α<180°)至ΔAB'C'的位置.
    (1)如图1,当旋转角为60°时,连接C'C与AB交于点M,则C'C= .

    (2)如图2,在(1)条件下,连接BB',延长CC'交BB'于点D,求CD的长.

    (3)如图3,在旋转的过程中,连线CC'、BB',CC'所在直线交BB'于点D,那么CD的长有没有最大值?如果有,求出CD的最大值:如果没有,请说明理由.

    61.(2020·江苏南通·统考二模)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD于点M.
    (1)求证:△MFC∽△MCA;
    (2)求CFBE的值,
    (3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.
    已知
    图示
    结论(性质)
    若DE∥BC
    ①∆ADE~∆ABC
    ②ADAB=AEAC=DEBC
    若∠1=∠2或∠3=∠4或ADAB=AEAC
    ①∆ADE~∆ABC
    ②AC2=AB•AD
    若∠1=∠2
    ①∆ADE~∆ABC
    ②AC2=AB•AD
    [补充]该模型也被称为子母模型,即子母模型可以看作一组公共边的反A模型
    [双反A字模型]
    若∠1=∠2=∠3
    ①∆AEB~∆DEA~∆DAC
    ②AB•AC=BE•CD
    ③(AEAD)2=BECD
    已知
    图示
    结论(性质)
    若AB∥CD
    ①∆AOB~∆COD
    ②AOCO=BODO=ABCD
    若∠1=∠2或∠3=∠4或AODO=BOCO
    ①∆AOB~∆COD
    已知
    图示
    结论(性质)
    若∠ABC=∠ADB=90°
    ①∆ABC~∆ADB~∆BDC
    ②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD
    (口诀:公共边的平方=共线边的乘积)
    ③AB•BC=BD•AC(面积法)
    已知
    图示
    结论(性质)
    若∠B=∠D=∠ACE=90°
    ①∆ABC~∆CDE
    ②ABCD=BCDE=ACCE 或BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰)
    ③当点C为BD中点时,
    ∆ABC~∆CDE~∆ACE
    若∠B=∠D=∠ACE=α
    ①∆ABC~∆CDE
    ②ABCD=BCDE=ACCE
    ③当点C为BD中点时,
    ∆ABC~∆CDE~∆ACE
    已知
    图示
    结论(性质)
    若DE∥BC
    ①DFEF=BGCG (左图)
    ②DF:FG:EG=BH:HI:CI(右图)
    若AB∥CD
    ①AEBE=DFCF(左图)
    ②AE:EF:BF=DH:HG:CG(右图)
    已知
    图示
    结论(性质)
    若四边形DEFG为矩形,AN⊥BC
    ①∆ABC~∆ADG
    ②ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
    ③若四边形DEFG为正方形
    即DGBC= AMAN 若假设DG=x
    则xBC= AN−xAN 若已知BC、AN长,即可求出x的值
    已知
    图示
    结论(性质)
    若AB∥EF∥CD
    ①1AB+1CD=1EF
    ②1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
    已知
    图示
    结论(性质)
    若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度,且∆ADE~∆ABC
    ∆ABD~∆ACE
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