重难点09 相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角等）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
重难点突破09 相似三角形8种模型
（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、手拉手模型）
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156654683" 题型01 A字模型
\l "_Tc156654684" 题型02 8字模型
\l "_Tc156654685" 题型03 射影定理
\l "_Tc156654686" 题型04 一线三等角模型
\l "_Tc156654687" 题型05 线束模型
\l "_Tc156654688" 题型06 三角形内接矩形模型
\l "_Tc156654689" 题型07 三平行模型
\l "_Tc156654690" 题型08 手拉手模型（旋转模型）
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
题型01 A字模型
1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE＝ ．
2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22．则BO的长是 ．
4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF的值．
5．（2021上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
6．（2020上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．
7．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
8．（2021上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果△DEF与△ABC互为母子三角形，则DEAB的值可能为（ ）
A．2 B．12 C．2或12
（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2AD, ∠ADE=∠B．
求证：△ABD与△ADE互为母子三角形．
（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求AGGF的值．
9．（2020上·全国·九年级专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．
题型02 8字模型
10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
11．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12B．13C．23D．34
12．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=−12x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y=x−2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，PMQN=114，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒42个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG=12时，求点G的运动时间．
14．（2020·云南·统考中考真题）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，点C的坐标为0,−3．点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．

16．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在□ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为___________．（直接写出结果）
17．（2023·江苏南通·统考一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，∠DAE=αα≠45°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．
(1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α的式子表示)；
(2)点E在运动过程中，试探究DGDE的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；
(3)若BF=FG，求α的值．
18．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF//AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα=43，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．
19．（2023下·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1,△AOB的面积为S2．

(1)问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：S1S2=OC⋅ODOA⋅OB
(2)探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OB于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=34，求S1S2值．
题型03 射影定理
20．（2020·山西·统考中考真题）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为 ．
21．（2021上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝95,BD=45，那么BC＝ ．
22．（2022上·江苏南京·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
23．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且FHHE=49，求ADBD的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
题型04 一线三等角模型
24．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF=4CF时，DE⋅AF的值为 ．
25．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1．求DF的长度．
26．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
27．（2021上·山东济南·九年级统考期中）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP⋅BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求CD的长．
28．（2021上·吉林长春·九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．
29．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC=2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
30．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
31．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形ABCD中，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）如图1，若tan∠EFC=34，求AB:BC的值；
（2）如图2，在线段BF上取一点G，使AG平分∠BAF，延长AG，EF交于点H，若FG=BG+CF，求AB:BC的值．
32．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEEB=DECB．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
33．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若HDHF=45，CE=9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若ABBC=k，HDHF=45，求DEEC的值（用含k的代数式表示）．
34．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC出的值．
35．（2020·山东济南·校考二模）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2)连接EF，求∠FEC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
题型05 线束模型
36．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】
(1)如图1， 在△ABC中， D，E，F分别为AB，AC，BC上的点， DE∥BC,AF交DE 于点G， 求证： DGEG=BFCF．
【尝试应用】
(2)如图2， 已知D、E为△ABC的边BC上的两点， 且满足BD=2DE=4CE， 一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N， 求 LMMN 的值．
【拓展提高】
(3)如图3， 点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点， AB=3， 延长CD至点F， 使 DF=2DE， 连接CG， 求CG的最小值．
37．（2022·浙江宁波·统考中考真题）
(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G，求证：DG=EG．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求DEBC的值．
(3)如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°,AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求BF的长．
38．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
(1)如图1，当EF∥BC时，求证：BEAE+CFAF=1；
(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
题型06 三角形内接矩形模型
39．（2021上·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3,AC=4，正方形DEFG的顶点D,G分别在AB,AC的边上，E,F在BC边上，则正方形DEFG的边长等于 ．
40．（2015·广西崇左·中考真题）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
41．（2020·广东·华南师大附中校考模拟预测）如图,在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
42．（2021上·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
43．（2020上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．

44．（2019上·宁夏银川·九年级校考期中）如图在锐角ΔABC中，BC=6,SΔABC=12，两动点M,N分别在AB,AC上滑动，且MN//BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN=x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y．
（1）求出ΔABC的边BC上的高
（2）如图1，当正方形MPQN的边PQ恰好落在边BC上时，求x的值
（3）如图2，当PQ落在ΔABC外部时，求出y与x的函数关系式

45．（2018·湖南永州·中考真题）如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD=92．矩形DFGI恰好为正方形．
（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．
题型07 三平行模型
46．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A，过点D作DC∥EF交BE的延长线于点C．
(1)求证：1AB+1CD=1EF；
(2)请找出SΔABD，SΔBED，SΔBDC之间的关系，并给出证明．
47．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（ ）

A．75B．125C．35D．25
48．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为 ．
49．（2021上·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
50．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．

51．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点E，点F在BD上．求证：1AB+1CD=1EF；

小雅同学的想法是将结论转化为EFAB+EFCD=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE与BC相交于点G，点H在AB上，AE=AC．求证：1GH−1AC=2BD．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD交于点M，过点M作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，连接EC，FD交于点N，过点N作GH∥AB，交AD于点G，交BC于点H，若AB=3，CD=5，直接写出GH的长．
52．（2022上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．
(1)求证：AB∥EF；
(2)求AB:EF:CD．
题型08 手拉手模型（旋转模型）
【扩展一】如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则存在多组相似三角形.
【扩展二】如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O，则
存在多组相似三角形.
53．（2019·河南·统考中考真题）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
54．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4，AC=23，直接写出AD的长．
55．（2020·山东枣庄·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2=CE⋅CF恒成立；
（3）若CD=2，CF=2，求DN的长．
56．（2023上·河南周口·九年级统考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.
(1)观察猜想
如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
57．（2020·河南南阳·统考一模）（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M.填空：①ACBD的值为______；②∠AMB的度数为______．
（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=3，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长．
58．（2020·河南郑州·郑州市第八中学校考模拟预测）几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC=22，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
59．（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
60．（2020·山东济南·统考二模）在ΔABC中，∠ACB=90°,BC=AC=2，将ΔABC绕点A顺时针方向旋转α角(0°<α<180°)至ΔAB'C'的位置．
（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C'C与AB交于点M，则C'C= ．

（2）如图2，在（1）条件下，连接BB'，延长CC'交BB'于点D，求CD的长．

（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC'、BB',CC'所在直线交BB'于点D，那么CD的长有没有最大值?如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．

61．（2020·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求CFBE的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
已知
图示
结论（性质）
若DE∥BC
①∆ADE~∆ABC
②ADAB=AEAC=DEBC
若∠1=∠2或∠3=∠4或ADAB=AEAC
①∆ADE~∆ABC
②AC2=AB•AD
若∠1=∠2
①∆ADE~∆ABC
②AC2=AB•AD
[补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型
[双反A字模型]
若∠1=∠2=∠3
①∆AEB~∆DEA~∆DAC
②AB•AC=BE•CD
③(AEAD)2=BECD
已知
图示
结论（性质）
若AB∥CD
①∆AOB~∆COD
②AOCO=BODO=ABCD
若∠1=∠2或∠3=∠4或AODO=BOCO
①∆AOB~∆COD
已知
图示
结论（性质）
若∠ABC=∠ADB=90°
①∆ABC~∆ADB~∆BDC
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD
（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
已知
图示
结论（性质）
若∠B=∠D=∠ACE=90°
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE 或BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰)
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
若∠B=∠D=∠ACE=α
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
已知
图示
结论（性质）
若DE∥BC
①DFEF=BGCG （左图）
②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）
若AB∥CD
①AEBE=DFCF（左图）
②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）
已知
图示
结论（性质）
若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC
①∆ABC~∆ADG
②ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
③若四边形DEFG为正方形
即DGBC= AMAN 若假设DG=x
则xBC= AN−xAN 若已知BC、AN长，即可求出x的值
已知
图示
结论（性质）
若AB∥EF∥CD
①1AB+1CD=1EF
②1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
已知
图示
结论（性质）
若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度，且∆ADE~∆ABC
∆ABD~∆ACE