最新中考几何专项复习专题04 垂直模型巩固练习（提优）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
垂直模型巩固练习(提优)
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长．
【解答】BD＝
【解析】连接AD，
∵AB的垂直平分线交AB于E，
∴AD＝BD，
设BD＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC＝3，CD＝8﹣x，AD＝x，
∴AC2+CD2＝AD2，
即32+(8﹣x)2＝x2，
解得x＝，
即BD＝．
2．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．
(1)求证：AE＝BF；
(2)求AE的长；
(3)求线段DG的长．
【解答】(1)见解析；(2)AE＝1；(3)DG＝5
【解析】(1)证明：如图连接AD、BD．
∵∠DCE＝∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，
∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，
∵DG垂直平分AB，
∴DA＝DB，
在RT△DEA和RT△DFB中，
，
∴△DEA≌△DFB，
∴AE＝BF．
(2)设AE＝BF＝x，
在RT△CDE和RT△CDF中，
，
∴△CDE≌△CDF，
∴CE＝CF，
∴6+x＝8﹣x，
∴x＝1，
∴AE＝1．
(3)∵△DEA≌△DFB，
∴∠ADE＝∠BDF，
∴∠EDF＝∠ADB，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CED＝∠CFD＝∠ECF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵AG＝GB，
∴DG＝AB＝5．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【解答】(1)DE⊥DP，理由见解析；(2)DE＝4.75
【解析】(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+(8﹣x)2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
4．(1)如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．
(2)如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．
(3)如图3，在(2)的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．
【解答】(1)见解析；(2)相等，理由见解析；(3)见解析
【解析】(1)证明：∵AB＝AD，AC＝AE
∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，
在△CDF和△EBF中，
，
∴△CDF≌△EBF(AAS)
∴CF＝EF；
(2)相等．
理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，
在△BAN和△DAM中，
，
∴△BAN≌△DAM(ASA)
∴AN＝AM，
∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，
在△CMF和△ENF中，
，
∴△CMF≌△ENF(AAS)
∴CF＝EF；
(3)证明：连接AF，
当∠DAM＝30°时，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，
∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，
在△ACF和△AEF中，
，
∴△ACFA≌△AEF(SSS)，
∴∠CAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠EAF＝∠CAN＝30°，
在△ADM和△AFM中，
，
∴△ADM≌△AFM(ASA)
∴DM＝FM，即AC平分DF，
在△CFM和AFM中，
∴△CFM≌AFM(ASA)
∴AM＝CM，即DF平分AC，
综上所述，AC和DF互相垂直平分．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
【解答】(1)见解析；(2)MD长为5
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO(ASA)，
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
(2)∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝(8﹣x)2+42，
解得：x＝5，
答：MD长为5．
6．如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，HC＝AB．
(1)如图1，求证：∠B＝2∠C；
(2)如图2，若2∠DAF＝∠B﹣∠C
①求证：AC＝BF+BA；
②直接写出的值．
【解答】(1)见解析；(2)①见解析；②2
【解析】证明：(1)连接AH
∵H为AC的垂直平分线与BC的交点
∴HA＝HC＝AB
∴∠B＝∠AHC＝2∠C
(2)①∵2∠DAF＝∠B﹣∠C
∴∠DAF＝∠B﹣∠C
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠FAC﹣∠C
∴90°﹣∠FAC﹣∠C＝∠B﹣∠C
∴∠FAC＝90°﹣∠B﹣∠C＝∠BAC，
即AF平分∠BAC
在AC上截取AG＝AB，连接FG
∴△BAF≌△GAF(SAS)，
∴BF＝FG
∴∠B＝∠AGF
∵∠B＝2∠C
∴∠AGF＝2∠C
∴∠GFC＝∠C
∴FG＝GC
∴AC＝AG+GC＝BF+BA
②在DB上截取DM＝DF，连接AM
∴△ADF≌△ADM(SAS)
∴∠DAF＝∠DAM
∴∠MAC＝2∠DAF+∠FAC＝∠B﹣∠C+(180°﹣∠B﹣∠C)
＝90°+∠B﹣∠C
又∠AMC＝∠AFM＝∠C+∠FAC＝∠C+∠BAC＝∠C+(180°﹣∠B﹣∠C)＝90°﹣∠B+∠C
∵∠B＝2∠C
∴∠MAC＝∠AMC＝90°﹣∠C
∴AC＝MC
∴＝2．
7．已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
(1)证明：PE＝PF；
(2)若PF＝26，sinA＝，求EF的长．
【解答】(1)见解析；(2)EF＝20
【解析】(1)∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO＝90°，
∴∠PEF＝90°﹣∠AEO，∠PFE＝∠AFB＝90°﹣∠A，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF；
(2)过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠PGF＝∠ABF＝90°，
∵∠PFG＝∠AFB，
∴∠FPG＝∠A，
∴FG＝PF•sinA＝26×＝10，
∵PE＝PF，
∴EF＝2FG＝20．
8．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝2，BE＝1．
求证：
(1)四边形FADC是菱形；
(2)FC是⊙O的切线．
【解答】(1)见解析；(2)见解析
【解析】证明：(1)连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×2＝，
设OC＝x，
∵BE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝(x﹣1)2+()2，
解得：x＝2，
∴OA＝OC＝2，OE＝2，
∴AE＝3，
在Rt△AED中，AD＝，
∴AD＝CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
(2)连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，
即∠OCF＝∠OAF＝90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
9．已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．
(1)求证：EF＝BE+DF；
(2)线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；
(3)在(2)的条件下，若tan∠DFG＝，EF＝，求S△AEF．
【解答】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】(1)过点A作AH⊥EF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEF，
∴∠BEA＝∠AEF，
在△ABE和△AHE中，
∵，
∴△ABE≌△AHE(AAS)，
∴AB＝AH，BE＝HE，
∴AH＝AD，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，
∴DF＝HF，
∵EF＝HE+HF，
∴EF＝BE+DF；
(2)如图2，由题意知GA＝GF，
∴∠GAF＝∠GFA，
由(1)知∠AFE＝∠AFD，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，
∴∠GFA+∠AFE＝90°，
∴∠EFG＝90°；
(3)由tan∠DFG＝可设DG＝3x，DF＝4x，
则，EH＝DF＝4x，
∴BC＝CD＝AD＝8x，
∴CF＝CD﹣DF＝4x，
∵EF＝，
∴BE＝EH＝EF﹣FH＝﹣4x，
则EC＝BC﹣BE＝8x﹣(﹣4x)＝12x﹣，
在Rt△ECF中，由EF2＝EC2+CF2得()2＝(12x﹣)2+(4x)2，
解得：x1＝0(舍)，x2＝1，
即AH＝AD＝8x＝8，
∴S△AEF＝EF•AH＝××8＝．
10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿
AC翻转得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若B为OG的中点，CE＝，求⊙O的半径长；
(3)①求证：∠CAG＝∠BCG；
②若⊙O的面积为4π，GC＝2，求GB的长．
【解答】(1)见解析；(2)2；(3)①见解析；②GB＝2
【解析】(1)证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠OAC＝∠FAC，∠F＝∠AEC＝90°，
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；
(2)连接BC．
∵点B是Rt△OCG斜边的中点，
∴CB＝OG＝OB＝OC，
∴△OCB是等边三角形，且EC是OB上的高，
在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+CE2，
即OC2＝OC2+()2，
∴OC＝2，即⊙O的半径为2．
(3)①∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠OCB，
∵∠CAG+∠CBA＝90°，∠BCG+∠BCO＝90°，
∴∠CAG＝∠BCG．
②∵4π＝π•OB2，
∴OB＝2，
由①可知：△GCB∽△GAC，
∴，即，
∴，
解得GB＝2．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
【解答】见解析
【解析】证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD＝∠CBF＝90°，
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．
∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为边AB上一点，DO垂直平分CE于点O，以CE为直径作⊙O，交BC于点F．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若CD•CF＝12，求⊙O的半径长；
(3)在(2)的条件下，若AE＝OD，求AD的长．
【解答】(1)见解析；(2)；(3)AD＝3
【解析】(1)证明：连接DE，
∵DO垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DB＝DC，
∴DE＝DB，
∴∠DEB＝∠B，
∴∠DEB+∠DEC＝∠DCE+∠B＝90°，即CE⊥BE，
又∵CE为⊙O的直径，
∴AB与⊙O相切；
(2)连接EF，
∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，
∴∠EFC＝90°＝∠COD．
∵∠ECF＝∠DCO
∴△ECF∽△DCO
∴，
∵CE＝2OC，
∴2OC2＝CD•CF，
∵CD•CF＝12，
∴OC＝，
即⊙O的半径长是；
(3)∵DO⊥CE，CE⊥BE，
∴DO∥BE，
∴，
∴BE＝2DO，
又∵AE＝OD，
∴BE＝2AE，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴，
∴CD＝BD＝3FD，
∵CD•CF＝12，
∴FD＝1，ED＝CD＝3，
由勾股定理得，EF＝2，
∴AD＝3．