最新中考几何专项复习专题05 对角互补模型巩固练习（基础）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
对角互补模型巩固练习(基础)
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝PF时，AP＝ .
【解答】3
【解析】如图，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于R.
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90º，∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90º＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPE，∴△QPE∽△RPF，，
，
设，则，，，解得，
.
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝ .
【解答】
【解析】如图，过点E分别作于点G，于点H.
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90º，
∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90º，∴∠BEG＝∠FEH，
又∵∠BGE＝∠FHE＝90º，∴△BEG∽△FEH，，
.
3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A(0，2)，B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为 .
【解答】C(6，4)
【解析】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.
∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90º，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90º，AM＝CM，
∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，，
，
∴OB＝CE，AO＝BE，，
又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，
.
4.如图，在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C，分别过点B、D作直线FE的垂线，垂足分别为点E、F，求证：△CBE≌△DCF.
【解答】见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
∵∠BCE＋∠DCF＝90º，∠BCE＋∠CBE＝90º，∴∠CBE＝∠DCF，
在Rt△CBE与Rt△DCF中，，.
5.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，求证：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值.
【解答】25
【解析】当OP∥AD或OP经过点C时，重叠部分面积为正方形面积的，即25；
当点P旋转到如图所示位置时，过点O分别作CD、BC的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△OEG与Rt△OFH中，
∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，
.
6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长.
【解答】5
【解析】如图，连接EF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO，∠OAE＝∠ODF＝45º，∠ADC＝90º，
又∵OE⊥OF，∴∠OFD＋∠EDO＝180º，
∵∠AEO＋DEO＝180º，∴∠OFD＝∠AEO，∴△AEO≌△DFO(AAS)，∴AE＝DE＝4，
又∵AD＝CD，∴DE＝CF＝3，在Rt△EOF中，.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：.
【解答】见解析
【解析】取AB的中点G，连接DG，如图所示：
∵AB＝AC，∠A＝60º，∴△ABC是等边三角形，
∵点D、G分别是AB、BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝DC＝BD，
∵∠B＝60º，∴△BDG是等边三角形，∴∠BGD＝∠C，
∵∠AED＋∠AFD＝180º，且∠AFD＋∠DFC＝180º，∴∠AED＝∠DFC，∴△GED≌△CFD，
∴EG＝FC，∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝.
8.在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且∠MDN＝90º，若，求证：.
【解答】见解析
【解析】证明：过点B作AC的平行线交ND的延长线于点E，连接ME.
∵BD＝DC，∴ED＝DN，
在△BED与△CND中，，∴BE＝NC，
∵∠MDN＝90º，∴MD为EN的中垂线，∴EM＝MN，
∴，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90º，∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90º，
∴∠BAC＝90º，.
9．数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角(相对的两个角)互补．下面我们来研究它外角的性质．
(1)在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相内角的对角(简称内对角)∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；
(2)分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？
(3)如图③，点D是圆上一点，弦AB=3，DC是∠ADB的平分线，∠BAC＝30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？
【解答】(1)∠DCE＝∠A；(2)AB＝AC；(3)3
【解析】(1)画图如图，∠DCE＝∠A．
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠DCE+∠BCD＝180°
∠DCE＝∠A；
(2)AB＝AC，
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠2＝∠ABC，
∵∠1＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠1＝∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
(3)∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
又∵∠ADC＝∠ABC，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∵AB=3，∠BAC＝30°，
∴AC＝BC＝1，
∵S四边形DACB＝S△ABC+S△DAB
S△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，
要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可
在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大
此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC＝90°
∵∠ADC＝∠BAC＝30°，
∴DC＝2AC＝2，
∴四边形DACB的最大面积=12×3×2=3．