2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练37空间向量及其运算

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练37空间向量及其运算，共6页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,c=，给出下列命题,其中正确命题有，若a=,b=,则|a-2b|=，已知a=,b=等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若a⊥(b-c),则x的值为( )
A.-2B.2C.3D.-3
2.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )
A.
B.
C.=0
D.=0
3.(多选)给出下列命题,其中正确命题有( )
A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都能构成空间的一个基底
C.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面
D.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
4.下列向量与向量a=(1,-,1)共线的单位向量为( )
A.B.
C.D.
5.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则( )
A.AP⊥ABB.AP⊥BP
C.BC=D.AP∥BC
6.
如图,设=a,=b,=c,若=2,则=( )
A.a+b-c
B.-a-b+c
C.a-b-c
D.-a+b+c
7.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=( )
A.7B.5C.3D.6
8.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是( )
A.若|a|=2,则m=±
B.若a⊥b,则m=-1
C.不存在实数λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)
9.已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ= ;若a∥b,则λ+μ= .
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下面四个命题:
①()2=3()2;②夹角为120°;③=0;④正方体的体积是||,则所有正确的命题的序号是 .
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:;
(2)设E是棱DD1上的点,且,若=x+y+z,试求实数x,y,z的值.
综合提升组
12.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A.B.
C.D.
13.已知空间直角坐标系O-xyz中,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为( )
A.B.
C.D.
14.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1.若BD⊥AN,则λ的值为 ;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为 .
创新应用组
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥PD;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.
参考答案
课时规范练37 空间向量及其运算
1.A ∵b-c=(-2,3,1),∴a·(b-c)=4+3x+2=0,解得x=-2.故选A.
2.C M与A,B,C一定共面的充要条件是=x+y+z,x+y+z=1,
对于A选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;
对于B选项,由于1,所以不能得出M,A,B,C共面;
对于C选项,由于=-,则为共面向量,所以M,A,B,C共面;
对于D选项,由=0,得=-,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.
3.ACD 选项A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A正确;
选项B,根据空间基底的概念,可得B不正确;
选项C,由不能构成空间的一个基底,可得共面,
又由过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;
选项D,由{a,b,c}是空间的一个基底,则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.故选ACD.
4.C 由|a|==2,
∴与向量a共线的单位向量为故选C.
5.AC 因为=0,故A正确;=(3,-3,-3),=3+6-3=6≠0,故B不正确;=(6,1,-4),||=,故C正确;=(1,-2,1),=(6,1,-4),则不平行,故D不正确.故选AC.
6.A 由题可知,)-)=a+b-c,故选A.
7.C ∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),∴|a-2b|==3故选C.
8.AC 对于A,由|a|=2,可得=2,解得m=±,故A正确;
对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;
对于C,若存在实数λ,使得a=λb,则显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb,故C正确;
对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.
9.- 因为a⊥b,则a·b=3(μ+1)+0+2μ=0,解得μ=-
若a∥b,则a=mb,即(3,2λ-1,1)=m(μ+1,0,2μ),故
解得故λ+μ=
10.①②③
设正方体的棱长为1.建立空间直角坐标系,如图,
=(0,0,1),=(1,0,0),=(0,1,0),则=(1,1,1),故()2=||2=3,3()2=3||2=3.故①正确;
=(1,0,-1),=(0,1,1),设夹角为θ,所以csθ==-,
因为0°≤θ≤180°,所以夹角为120°,故②正确;
=(1,1,1),=(0,-1,1),=0-1+1=0,故③正确;
正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||||||,但是||=0,故④错误.
11.解(1),)=
(2)
=)
=
=,
∴x=,y=-,z=-
12.B 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为故选B.
13.C 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ使得=,
即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),则=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=时,取得最小值-,此时Q故选C.
14-1 (1)取空间中一个基底:=a,=b,=c,设AB=AD=AA1=1,因为BD⊥AN,所以=0,因为=b-a,=c+λb,
所以(b-a)·(c+λb)=0,所以+λ-=0,所以λ=-1.
(2)在AD上取一点M1使得A1N=AM1,连接M1N,M1M,M1B,
因为A1N∥AM1,且A1N=AM1,所以四边形AA1NM1是平行四边形,所以AA1∥NM1,AA1=NM1,又AA1∥BB1,AA1=BB1,所以BB1∥NM1,BB1=NM1,所以四边形BB1NM1是平行四边形,所以NB1∥M1B,NB1=M1B,
又因为M1B⊄平面AB1N,NB1⊂平面AB1N,所以M1B∥平面AB1N,
又因为BM∥平面AB1N,且BM∩M1B=B,所以平面M1MB∥平面AB1N,所以MM1∥平面AB1N,
又因为平面AA1D1D∩平面AB1N=AN,且MM1⊂平面AA1D1D,所以M1M∥AN,所以△AA1N∽△MDM1,
所以=2,所以λ=
15.
(1)证明 ∵PA⊥底面ABCD,
AD⊥AB,
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
由题意B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),=(0,1,1),=(0,2,-2),
则=0+2-2=0,,即BE⊥PD.
(2)解 =(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),
由点F在棱PC上,设==(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1,
=(1-2λ,2-2λ,2λ),
∵BF⊥AC,=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,
∴||=1-||=,即线段PF的长为