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2024年河南省南阳市唐河县四校联考中考数学模拟试卷（三）（含解析）
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这是一份2024年河南省南阳市唐河县四校联考中考数学模拟试卷（三）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数中，最小的数是( )
A. 2B. −2C. 0D. π
2.我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示．则0.000 025 7用科学记数法表示为( )
A. 2.57×105B. 25.7×10−4C. 2.57×10−5D. 2.57×10−6
3.第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国.小明将“亚、洲、体、育、第、一”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，现在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 亚B. 洲C. 体D. 育
4.下列运算正确的是( )
A. 3a2+4a3=7a5B. (2a)3=2a3C. a6÷a2=a3D. 2a2⋅3a=6a3
5.如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB、CD交于点E、F，点G在直线CD上，EF⊥EG.若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°
6.某中学乒乓球队4名同学的身高分别是165cm，170cm，170cm，175cm，现又加入了1名同学，其身高是170cm，则加入前后，该乒乓球队队员身高的统计量中，发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.若关于x的方程x2+ax+4=0有两个相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. 4C. 2D. −2
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：(1)以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点M，交AB于点N；(2)分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点G；(3)作射线BG，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )
A. (3, 2)
B. ( 2+1,1)
C. ( 2+2, 2)
D. (3,1)
9.下列函数中，当x<0时，y随x的增大而增大的是( )
A. y=−x+1B. y=x2−1C. y=1xD. y=−x2+1
10.如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6B. 3C. 4 3D. 2 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使分式x−1x+4有意义的x满足______．
12.从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，不能组成三角形的概率是______．
13.不等式组3x+5>−7x−63x2<2x3+1的整数解是______．
14.如图，扇形AOB中，OA=1，点P为OB上一个动点，将△OAP沿AP折叠，当点O的对应点Q落在AB上时，图中阴影部分的面积为______．
15.已知x= 3+ 2，y= 3− 2，则x2−y2的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：|−3|− 9+5−1；
(2)化简：(x−2y)2−x(x−4y)．
17.(本小题10分)
某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间情况，简称“作业时间”，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这40名老师的“作业时间”的中位数落在______组；
(2)求这40名老师的平均“作业时间”；
(3)若该校有300名老师，请估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数．
18.(本小题10分)
如图，在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点和直尺，完成下列各题：
(1)补全三角形A′B′C′；
(2)连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是______；
(3)在BB′上找到一点Q，使得三角形BCQ与三角形ABC的面积相等；
(4)如果B(−1,5)，C(−1,1)，请建立合适的平面直角坐标系并写出A′点的坐标．
19.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE//BC，DE=12BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点．
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M，
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′．
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．
20.(本小题10分)
邓州彩虹大桥(如图①横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景.周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度AB(如图②)，先在水岸C处测得弓顶A的仰角为45°，然后沿BC方向后退8米至D处后(CD=8米)，又走上观光台的点E处，DE=3米，且DE⊥BC；接着在点E处测得弓顶A的仰角为40°，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度AB.(结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84)
21.(本小题10分)
某公司于2023年6月举行周年庆，拟购买部分办公用品作为奖品在会上发放.已知购买2个平板电脑和3个蓝牙音箱共需花费7600元；购买3个平板电脑的费用与购买5个蓝牙音箱的费用相同．
(1)求平板电脑和蓝牙音箱的单价；
(2)该公司计划购买平板电脑和蓝牙音箱共30个.某商店有两种优惠活动(两种优惠活动不能同时参加)，活动一：一律打九折；活动二：购物不超过24000元时不优惠，超过24000元时，超过24000元的部分打八折.若设购买平板电脑a个(a>0)，说明选择哪一种活动购买平板电脑和蓝牙音箱更实惠．
22.(本小题9分)
已知二次函数y=−2x2+4x+3．
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
23.(本小题10分)
在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
特殊分析：(1)将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是______(填序号)；
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
E.HL
②请判断∠CDQ的度数为______；
一般研讨：(2)若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：(3)若AP=4 3，BC=6 2，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP=60°时，请直接写出线段DQ的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ 1=1< 2< 4=2，−2<0，π>3，
∴这四个实数中最小的数是−2．
故选：B．
根据实数的大小比较法则比较大小即可得出选项．
本题考查实数的大小比较，无理数的估算．能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：0.000 025 7=2.57×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是“体”，
故选：C．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不正确，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不正确，不符合题意；
D、2a2⋅3a=6a3，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
5.【答案】A
【解析】解：∵GE⊥EF，∠1=50°，
∴∠BEG=90°−50°=40°，
∵AB//CD，
∴∠BEG+∠2=180°，
∴∠2=180°−40°=140°．
故选：A．
利用平行线的性质求解即可．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：加入前，
这4名同学的平均身高是：165+170+170+1754=170(cm)，
这4名同学的中位数是：170+1702=170(cm)，
这4名同学的众数是：170cm，
这4名同学的方差是：s2=14[(165−170)2+(170−170)2×2+(175−170)2]=12.5；
加入1名同学后，这5名同学的身高按从低到高的顺序排列为：165cm，170cm，170cm，170cm，175cm，
这5名同学的平均身高是：165+170+170+170+1755=170(cm)，
这5名同学的中位数是：170cm，
这5名同学的众数是：170cm，
这5名同学的方差是：s2=15[(165−170)2+(170−170)2×3+(175−170)2]=10，
故发生变化的统计量是方差，
故选：D．
先计算加入前4名同学的平均身高，中位数，众数，方差，然后计算加入1名同学后，5名同学的平均身高，中位数，众数，方差，根据计算结果比较即可得出答案．
本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的计算公式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得Δ=a2−4×4=0，
解得a1=4，a2=−4，
即a的值为4或−4．
故选：B．
根据根的判别式的意义得到Δ=a2−4×4=0，然后解a的一元二次方程，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA=∠BAC=∠OAC=45°，∠OAB=90°，OB⊥AC，OD=AD，
∴△OPT为等腰直角三角形，
∵OP=2，
在Rt△OPT中，OT=PT，OP=2，
由勾股定理得：OT2+PT2=OP2，
即：2PT2=22，
∴PT= 2，
由作图可知：BP为∠OBA的平分线，
又PT⊥OB，∠OAB=90°，
∴PA=PT= 2，
∴OA=OP+PA=2+ 2，
在Rt△OAD中，OD=AD，OA=2+ 2，
由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，
即：2AD2=(2+ 2)2，
∴AD= 2+1，
∵∠BAC=∠OAC=45°，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴△AJQ和△AAQK均为等腰直角三角形，
∴JA=JQ，KA=KQ，
∵AC为∠OAB的平分线，QJ⊥AO，QK⊥AB，
∴QK=AK，
∴QJ=AJ=KQ=AK，
∴四边形AKQJ为正方形，
设JQ=a，则AQ= 2a，
∵BP为∠OBA的平分线，MQ⊥OB，QK⊥AB，
∴MQ=QK=a，
∴AD=AM+MD= 2a+a，
∴ 2a+a= 2+1，
解得：a=1，
∴AJ=QJ=1，
∴OJ=OA−AJ=2+ 2−1= 2+1，
∴点Q的坐标为( 2+1,1)．
故选：B．
过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，先在Rt△OPT中求出PT= 2，则OA=2+ 2，进而再求出AD= 2+1，再证四边形AKQJ为正方形，设边长为a，则AQ= 2a，MD=MQ=a，据此得AD= 2a+a，据此可求出a的值，进而即可求出点Q的坐标．
此题主要考查了正方形的判定和性质，基本作图——尺规作已知角的平分线，角平分线的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，理解正方形的性质和角平分线的性质．
9.【答案】D
【解析】解：A、y=−x+1，一次函数，k<0，故y随着x增大而减小，故A错误；
B、y=x2−1(x<0)，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧(x<0)，y随着x的增大而减小，故B错误．
C、y=1x，k=1>0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；
D、y=−x2+1(x<0)，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧(x<0)，y随着x的增大而增大，故D正确；
故选：D．
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性(单调性)，是一道难度中等的题目．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
∖
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
在△APB和△APC中
AB=ACPB=PCAP=AP
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cs30°=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】x≠−4
【解析】解：使分式x−1x+4有意义的x满足x+4≠0，
解得x≠−4，
故答案为：x≠−4．
根据分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式求解即可得到答案．
本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件列出不等式求解是解决问题的关键．
12.【答案】34
【解析】解：从1，2，3，4四条线段中任选三条，共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，
∴不能组成三角形的概率是34，
故答案为：34．
共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，从而确定不能构成三角形的结果数，再由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键．
13.【答案】−1、0、1
【解析】解：3x+5>−7x−6⋯ ①3x2<2x3+1⋯ ②，
解①得：x>−1110，
解②得：x<65．
则不等式组的解集是：−1110则不等式组的整数解是：−1、0、1．
故答案是：−1、0、1．
先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14.【答案】π6− 34
【解析】解：如图，连接OQ交AP于点C，
∵将△OAP沿AP折叠得△QAP，且Q点落在AB，
∴AP⊥OQ，OC=QC=12OQ=12OA=12，
∴∠ACO=90°，∠OAC=30°，
∴∠AOQ=90°−30°=60°，AC= OA2−OC2= 1−14= 32，
∴S阴影=S扇形AOQ −S△AOQ
=60π×12360−12×1× 32
=π6− 34，
故答案为：π6− 34．
连接OQ交AP于点C，根据轴对称性质可得AP⊥OQ，OC=QC=12OQ=12OA，从而求得∠AOQ=60°，利用勾股定理求得AC的长度，然后再利用扇形面积公式及三角形面积公式求得扇形AOQ与△AOQ的面积，将它们作差即可．
本题主要考查扇形的面积及轴对称的性质，连接OQ交AP于点C，结合已知条件求得∠ACO=90°，∠OAC=30°，是解题的关键．
15.【答案】4 6
【解析】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x+y= 3+ 2+ 3− 2=2 3，x−y= 3+ 2− 3+ 2=2 2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=2 3×2 2=4 6，
故答案为：4 6．
根据题意，先求出x+y和x−y的值，然后代入计算，即可得到答案．
本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
16.【答案】解：(1)|−3|− 9+5−1=3−3+15=15，
(2)(x−2y)2−x(x−4y)=x2−4xy+4y2−x2+4xy=4y2．
【解析】(1)根据绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可；
(2)根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】B
【解析】解：(1)把40名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在B组，故这40名老师的“作业时间”的中位数落在B组，
故答案为：B；
(2)t=140×(50×8+75×14+10×100+8×135)=88.25(140×(50×8+75×14+100×10+135×8)=88.25(分钟)，
答：这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟；
(3)300×10+840=135(名)，
答：估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数约有135名．
(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据平均数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了中位数，频数(率)分布表．从频数(率)分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．
18.【答案】平行且相等
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
(3)如图所示，作AQ//BC，交BB′于Q点，点Q即为所求；
(4)如图，A′(−11,−2)，
故答案为：(−11,−2)．
(1)根据平移的性质可画出图形；
(2)由平移性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等；
(3)过A点画AQ//BC，交BB′于Q点；
(4)根据点C的坐标，确定坐标原点，从而建立直角坐标系，可得点A′的坐标．
本题主要考查了作图−平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)所画图形如解下图．
(2)真命题为命题II．
证明：如下图，过点E作EM//AB交BC边于点M，连接DM，
又∵DE//BC，
∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM，
又∵DE=12BC，
∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DM=CE，DM//CE，
∴DM//AE，
又∵EM//AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，
∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点．
【一题多解】真命题为命题III．
证明：如下图，延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD．
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠BFD，
∴AC//BF，
∵EF//BC，
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴E是AC的中点．
【解析】(1)根据小明尺规作图的方法画出图形即可；
(2)分别以命题Ⅱ，Ⅲ为真命题，加以证明．
本题考查了作图—基本作图，有关三角形中位线定理的证明，平行四边形、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意作出恰当辅助线．
20.【答案】解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
由题意得：BF=DE=3米，EF=BD，
设BC=x米，
∵CD=8米，
∴EF=BD=BC+CD=(8+x)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC⋅tan45°=x(米)，
在Rt△AEF中，∠AEF=40°，
∴AF=EF⋅tan40°≈0.84(x+8)米，
∵AF+BF=AB，
∴0.84(x+8)+3=x，
解得：x=60.75，
∴AB=60.75≈61(米)，
∴彩虹大桥弓顶距水面的高度AB约为61米．
【解析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，根据题意可得：BF=DE=3米，EF=BD，然后设BC=x米，则EF=BD=(8+x)米，从而分别在Rt△ABC和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和AF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设平板电脑每个x元，蓝牙音箱每个y元，根据题意得：
2x+3y=76003x=5y，
解得：x=2000y=1200，
答：平板电脑每个2000元，蓝牙音箱每个1200元；
(2)由题意得：购买蓝牙音箱(30−a)个，
价值：2000a+1200(30−a)=36000+800a，
∵36000+800a>24000，
∴可以参加活动二，
按活动一需付款：0.9(36000+800a)=32400+720a，
活动二付款：24000+0.8(36000+800a−24000)=33600+640a，
若活动一更实惠：32400+720a<33600+640a，
解得：a<15；
若活动一和活动二一样实惠：32400+720a=33600+640a，
解得：a=15；
若活动二更实惠：32400+720a>33600+640a，
解得：a>15，
综上所述，当购买平板电脑低于15个时，选择活动一更实惠；
当购买平板电脑等于15个时，两个活动一样实惠；
当购买平板电脑超过15个时，选择活动二更实惠．
【解析】(1)设平板电脑每个x元，蓝牙音箱每个y元，根据题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
(2)列出一元一次方程及一元一次不等式可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22.【答案】解：(1)y=−2x2+4x+3=−2(x−1)2+5，
∵−2<0，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：(1,5)；
(2)∵抛物线的开口向下，
∴x>1时，y随x增大而减小，x<1时，y随x增大而增大．
【解析】(1)根据二次函数的性质进行解答即可；
(2)根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可．
本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)B；90°；
(2)不变化．
理由：如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．
由等腰直角三角形的性质可得，点M，N分别为AP，AB的中点，
又∵点D为BP的中点，
∴DN，DM为△PAB的中位线，
∴DN=12AP，DM=12AB，
又∵QM=12AP，CN=12AB，
∴DN=QM，DM=CN，
∵DN，DM为△PAB的中位线，
∴DM//AB，DN//AP，
∴∠PMD=∠PAB，∠BND=∠PAB，
∴∠PMD=∠BND，
∵∠QMP=∠BNC=90°，
∴∠PMD+∠QMP=∠BND+∠BNC，即∠QMD=∠DNC．
∴△QMD≌△DNC(SAS)，
∴DQ=DC；
(3)DQ的长为2 3或2 21．
【解析】【分析】
(1)利用全等三角形的判定和性质解决问题；
(2)不变化．如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN.证明△QMD≌△DNC(SAS)，可得结论；
(3)分两种情形：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，分别求解即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【解答】
解：(1)全等的理由是SAS，
∵△QMD≌△DNC，
∴∠QDM=∠DCN，
∵∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠CDN+∠QDM=90°，
∴∠CDQ=90°，
故答案为：B；90°；
(2)见答案；
(3)DQ的长为2 3或2 21．
理由：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于点H，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=6 2，CN⊥AB，
∴AB=12，AN=NB=CN=12AB=6，
∵点D是BP的中点，
∴ND=12AP=2 3，DN//AP，
∴∠BNH=∠BAP=60°，
∴∠CNH=30°，
∴CH=12CN=3，NH= 3CH=3 3，
∴DH=NH−DN= 3，
∴DC= CH2+DH2= 32+( 3)2=2 3，
由(2)可得：DQ=DC=2 3；
当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于点H，
同理可求：DQ=DC=2 21．
综上所述，DQ=2 3或2 21．组别
“作业时间”t/分钟
频数
组内老师的平均“作业时间”/分钟
A
t<60
8
50
B
60≤t<90
14
75
C
90≤t<120
10
100
D
t≥120
8
135
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴QM=AM=PM=12AP，CN=BN=AN=12AB，∠QMP=∠CND=90°．
∵点D是BP的中点，
∴BD=DP=12BP．
∴DM=DP+PM=12BP+12AP=12AB．
∴DM=CN=AN．
∴AM=DN=QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ=DC．
1.下列实数中，最小的数是( )
A. 2B. −2C. 0D. π
2.我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示．则0.000 025 7用科学记数法表示为( )
A. 2.57×105B. 25.7×10−4C. 2.57×10−5D. 2.57×10−6
3.第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国.小明将“亚、洲、体、育、第、一”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，现在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 亚B. 洲C. 体D. 育
4.下列运算正确的是( )
A. 3a2+4a3=7a5B. (2a)3=2a3C. a6÷a2=a3D. 2a2⋅3a=6a3
5.如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB、CD交于点E、F，点G在直线CD上，EF⊥EG.若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°
6.某中学乒乓球队4名同学的身高分别是165cm，170cm，170cm，175cm，现又加入了1名同学，其身高是170cm，则加入前后，该乒乓球队队员身高的统计量中，发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.若关于x的方程x2+ax+4=0有两个相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. 4C. 2D. −2
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：(1)以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点M，交AB于点N；(2)分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点G；(3)作射线BG，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )
A. (3, 2)
B. ( 2+1,1)
C. ( 2+2, 2)
D. (3,1)
9.下列函数中，当x<0时，y随x的增大而增大的是( )
A. y=−x+1B. y=x2−1C. y=1xD. y=−x2+1
10.如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6B. 3C. 4 3D. 2 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使分式x−1x+4有意义的x满足______．
12.从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，不能组成三角形的概率是______．
13.不等式组3x+5>−7x−63x2<2x3+1的整数解是______．
14.如图，扇形AOB中，OA=1，点P为OB上一个动点，将△OAP沿AP折叠，当点O的对应点Q落在AB上时，图中阴影部分的面积为______．
15.已知x= 3+ 2，y= 3− 2，则x2−y2的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：|−3|− 9+5−1；
(2)化简：(x−2y)2−x(x−4y)．
17.(本小题10分)
某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间情况，简称“作业时间”，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这40名老师的“作业时间”的中位数落在______组；
(2)求这40名老师的平均“作业时间”；
(3)若该校有300名老师，请估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数．
18.(本小题10分)
如图，在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点和直尺，完成下列各题：
(1)补全三角形A′B′C′；
(2)连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是______；
(3)在BB′上找到一点Q，使得三角形BCQ与三角形ABC的面积相等；
(4)如果B(−1,5)，C(−1,1)，请建立合适的平面直角坐标系并写出A′点的坐标．
19.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE//BC，DE=12BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点．
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M，
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′．
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．
20.(本小题10分)
邓州彩虹大桥(如图①横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景.周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度AB(如图②)，先在水岸C处测得弓顶A的仰角为45°，然后沿BC方向后退8米至D处后(CD=8米)，又走上观光台的点E处，DE=3米，且DE⊥BC；接着在点E处测得弓顶A的仰角为40°，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度AB.(结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84)
21.(本小题10分)
某公司于2023年6月举行周年庆，拟购买部分办公用品作为奖品在会上发放.已知购买2个平板电脑和3个蓝牙音箱共需花费7600元；购买3个平板电脑的费用与购买5个蓝牙音箱的费用相同．
(1)求平板电脑和蓝牙音箱的单价；
(2)该公司计划购买平板电脑和蓝牙音箱共30个.某商店有两种优惠活动(两种优惠活动不能同时参加)，活动一：一律打九折；活动二：购物不超过24000元时不优惠，超过24000元时，超过24000元的部分打八折.若设购买平板电脑a个(a>0)，说明选择哪一种活动购买平板电脑和蓝牙音箱更实惠．
22.(本小题9分)
已知二次函数y=−2x2+4x+3．
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
23.(本小题10分)
在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图1，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P为AC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，点D为BP的中点，连接CD，DQ．
特殊分析：(1)将△APQ绕点A顺时针旋转，当点P落在AB上时，如图2，探究CD与DQ的数量关系；小明同学的分析如上：填空：①小明判断△QMD≌△DNC的依据是______(填序号)；
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
E.HL
②请判断∠CDQ的度数为______；
一般研讨：(2)若将△APQ绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，CD与DQ的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：(3)若AP=4 3，BC=6 2，在△AQP绕点A旋转的过程中，当∠BAP=60°时，请直接写出线段DQ的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ 1=1< 2< 4=2，−2<0，π>3，
∴这四个实数中最小的数是−2．
故选：B．
根据实数的大小比较法则比较大小即可得出选项．
本题考查实数的大小比较，无理数的估算．能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：0.000 025 7=2.57×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是“体”，
故选：C．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不正确，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不正确，不符合题意；
D、2a2⋅3a=6a3，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
5.【答案】A
【解析】解：∵GE⊥EF，∠1=50°，
∴∠BEG=90°−50°=40°，
∵AB//CD，
∴∠BEG+∠2=180°，
∴∠2=180°−40°=140°．
故选：A．
利用平行线的性质求解即可．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：加入前，
这4名同学的平均身高是：165+170+170+1754=170(cm)，
这4名同学的中位数是：170+1702=170(cm)，
这4名同学的众数是：170cm，
这4名同学的方差是：s2=14[(165−170)2+(170−170)2×2+(175−170)2]=12.5；
加入1名同学后，这5名同学的身高按从低到高的顺序排列为：165cm，170cm，170cm，170cm，175cm，
这5名同学的平均身高是：165+170+170+170+1755=170(cm)，
这5名同学的中位数是：170cm，
这5名同学的众数是：170cm，
这5名同学的方差是：s2=15[(165−170)2+(170−170)2×3+(175−170)2]=10，
故发生变化的统计量是方差，
故选：D．
先计算加入前4名同学的平均身高，中位数，众数，方差，然后计算加入1名同学后，5名同学的平均身高，中位数，众数，方差，根据计算结果比较即可得出答案．
本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的计算公式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得Δ=a2−4×4=0，
解得a1=4，a2=−4，
即a的值为4或−4．
故选：B．
根据根的判别式的意义得到Δ=a2−4×4=0，然后解a的一元二次方程，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA=∠BAC=∠OAC=45°，∠OAB=90°，OB⊥AC，OD=AD，
∴△OPT为等腰直角三角形，
∵OP=2，
在Rt△OPT中，OT=PT，OP=2，
由勾股定理得：OT2+PT2=OP2，
即：2PT2=22，
∴PT= 2，
由作图可知：BP为∠OBA的平分线，
又PT⊥OB，∠OAB=90°，
∴PA=PT= 2，
∴OA=OP+PA=2+ 2，
在Rt△OAD中，OD=AD，OA=2+ 2，
由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，
即：2AD2=(2+ 2)2，
∴AD= 2+1，
∵∠BAC=∠OAC=45°，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴△AJQ和△AAQK均为等腰直角三角形，
∴JA=JQ，KA=KQ，
∵AC为∠OAB的平分线，QJ⊥AO，QK⊥AB，
∴QK=AK，
∴QJ=AJ=KQ=AK，
∴四边形AKQJ为正方形，
设JQ=a，则AQ= 2a，
∵BP为∠OBA的平分线，MQ⊥OB，QK⊥AB，
∴MQ=QK=a，
∴AD=AM+MD= 2a+a，
∴ 2a+a= 2+1，
解得：a=1，
∴AJ=QJ=1，
∴OJ=OA−AJ=2+ 2−1= 2+1，
∴点Q的坐标为( 2+1,1)．
故选：B．
过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，先在Rt△OPT中求出PT= 2，则OA=2+ 2，进而再求出AD= 2+1，再证四边形AKQJ为正方形，设边长为a，则AQ= 2a，MD=MQ=a，据此得AD= 2a+a，据此可求出a的值，进而即可求出点Q的坐标．
此题主要考查了正方形的判定和性质，基本作图——尺规作已知角的平分线，角平分线的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，理解正方形的性质和角平分线的性质．
9.【答案】D
【解析】解：A、y=−x+1，一次函数，k<0，故y随着x增大而减小，故A错误；
B、y=x2−1(x<0)，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧(x<0)，y随着x的增大而减小，故B错误．
C、y=1x，k=1>0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；
D、y=−x2+1(x<0)，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧(x<0)，y随着x的增大而增大，故D正确；
故选：D．
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性(单调性)，是一道难度中等的题目．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
∖
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
在△APB和△APC中
AB=ACPB=PCAP=AP
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cs30°=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】x≠−4
【解析】解：使分式x−1x+4有意义的x满足x+4≠0，
解得x≠−4，
故答案为：x≠−4．
根据分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式求解即可得到答案．
本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件列出不等式求解是解决问题的关键．
12.【答案】34
【解析】解：从1，2，3，4四条线段中任选三条，共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，
∴不能组成三角形的概率是34，
故答案为：34．
共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，从而确定不能构成三角形的结果数，再由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键．
13.【答案】−1、0、1
【解析】解：3x+5>−7x−6⋯ ①3x2<2x3+1⋯ ②，
解①得：x>−1110，
解②得：x<65．
则不等式组的解集是：−1110
故答案是：−1、0、1．
先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14.【答案】π6− 34
【解析】解：如图，连接OQ交AP于点C，
∵将△OAP沿AP折叠得△QAP，且Q点落在AB，
∴AP⊥OQ，OC=QC=12OQ=12OA=12，
∴∠ACO=90°，∠OAC=30°，
∴∠AOQ=90°−30°=60°，AC= OA2−OC2= 1−14= 32，
∴S阴影=S扇形AOQ −S△AOQ
=60π×12360−12×1× 32
=π6− 34，
故答案为：π6− 34．
连接OQ交AP于点C，根据轴对称性质可得AP⊥OQ，OC=QC=12OQ=12OA，从而求得∠AOQ=60°，利用勾股定理求得AC的长度，然后再利用扇形面积公式及三角形面积公式求得扇形AOQ与△AOQ的面积，将它们作差即可．
本题主要考查扇形的面积及轴对称的性质，连接OQ交AP于点C，结合已知条件求得∠ACO=90°，∠OAC=30°，是解题的关键．
15.【答案】4 6
【解析】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x+y= 3+ 2+ 3− 2=2 3，x−y= 3+ 2− 3+ 2=2 2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=2 3×2 2=4 6，
故答案为：4 6．
根据题意，先求出x+y和x−y的值，然后代入计算，即可得到答案．
本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
16.【答案】解：(1)|−3|− 9+5−1=3−3+15=15，
(2)(x−2y)2−x(x−4y)=x2−4xy+4y2−x2+4xy=4y2．
【解析】(1)根据绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可；
(2)根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】B
【解析】解：(1)把40名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在B组，故这40名老师的“作业时间”的中位数落在B组，
故答案为：B；
(2)t=140×(50×8+75×14+10×100+8×135)=88.25(140×(50×8+75×14+100×10+135×8)=88.25(分钟)，
答：这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟；
(3)300×10+840=135(名)，
答：估计老师的“作业时间”不少于90分钟的人数约有135名．
(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据平均数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了中位数，频数(率)分布表．从频数(率)分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．
18.【答案】平行且相等
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
(3)如图所示，作AQ//BC，交BB′于Q点，点Q即为所求；
(4)如图，A′(−11,−2)，
故答案为：(−11,−2)．
(1)根据平移的性质可画出图形；
(2)由平移性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等；
(3)过A点画AQ//BC，交BB′于Q点；
(4)根据点C的坐标，确定坐标原点，从而建立直角坐标系，可得点A′的坐标．
本题主要考查了作图−平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)所画图形如解下图．
(2)真命题为命题II．
证明：如下图，过点E作EM//AB交BC边于点M，连接DM，
又∵DE//BC，
∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM，
又∵DE=12BC，
∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DM=CE，DM//CE，
∴DM//AE，
又∵EM//AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，
∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点．
【一题多解】真命题为命题III．
证明：如下图，延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD．
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠BFD，
∴AC//BF，
∵EF//BC，
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴E是AC的中点．
【解析】(1)根据小明尺规作图的方法画出图形即可；
(2)分别以命题Ⅱ，Ⅲ为真命题，加以证明．
本题考查了作图—基本作图，有关三角形中位线定理的证明，平行四边形、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意作出恰当辅助线．
20.【答案】解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
由题意得：BF=DE=3米，EF=BD，
设BC=x米，
∵CD=8米，
∴EF=BD=BC+CD=(8+x)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC⋅tan45°=x(米)，
在Rt△AEF中，∠AEF=40°，
∴AF=EF⋅tan40°≈0.84(x+8)米，
∵AF+BF=AB，
∴0.84(x+8)+3=x，
解得：x=60.75，
∴AB=60.75≈61(米)，
∴彩虹大桥弓顶距水面的高度AB约为61米．
【解析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，根据题意可得：BF=DE=3米，EF=BD，然后设BC=x米，则EF=BD=(8+x)米，从而分别在Rt△ABC和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和AF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设平板电脑每个x元，蓝牙音箱每个y元，根据题意得：
2x+3y=76003x=5y，
解得：x=2000y=1200，
答：平板电脑每个2000元，蓝牙音箱每个1200元；
(2)由题意得：购买蓝牙音箱(30−a)个，
价值：2000a+1200(30−a)=36000+800a，
∵36000+800a>24000，
∴可以参加活动二，
按活动一需付款：0.9(36000+800a)=32400+720a，
活动二付款：24000+0.8(36000+800a−24000)=33600+640a，
若活动一更实惠：32400+720a<33600+640a，
解得：a<15；
若活动一和活动二一样实惠：32400+720a=33600+640a，
解得：a=15；
若活动二更实惠：32400+720a>33600+640a，
解得：a>15，
综上所述，当购买平板电脑低于15个时，选择活动一更实惠；
当购买平板电脑等于15个时，两个活动一样实惠；
当购买平板电脑超过15个时，选择活动二更实惠．
【解析】(1)设平板电脑每个x元，蓝牙音箱每个y元，根据题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
(2)列出一元一次方程及一元一次不等式可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22.【答案】解：(1)y=−2x2+4x+3=−2(x−1)2+5，
∵−2<0，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：(1,5)；
(2)∵抛物线的开口向下，
∴x>1时，y随x增大而减小，x<1时，y随x增大而增大．
【解析】(1)根据二次函数的性质进行解答即可；
(2)根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可．
本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)B；90°；
(2)不变化．
理由：如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN．
由等腰直角三角形的性质可得，点M，N分别为AP，AB的中点，
又∵点D为BP的中点，
∴DN，DM为△PAB的中位线，
∴DN=12AP，DM=12AB，
又∵QM=12AP，CN=12AB，
∴DN=QM，DM=CN，
∵DN，DM为△PAB的中位线，
∴DM//AB，DN//AP，
∴∠PMD=∠PAB，∠BND=∠PAB，
∴∠PMD=∠BND，
∵∠QMP=∠BNC=90°，
∴∠PMD+∠QMP=∠BND+∠BNC，即∠QMD=∠DNC．
∴△QMD≌△DNC(SAS)，
∴DQ=DC；
(3)DQ的长为2 3或2 21．
【解析】【分析】
(1)利用全等三角形的判定和性质解决问题；
(2)不变化．如图1，分别过点Q，C作QM⊥AP，CN⊥AB，垂足分别为M，N，连接DM，DN.证明△QMD≌△DNC(SAS)，可得结论；
(3)分两种情形：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于H，当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于H，分别求解即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【解答】
解：(1)全等的理由是SAS，
∵△QMD≌△DNC，
∴∠QDM=∠DCN，
∵∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠CDN+∠QDM=90°，
∴∠CDQ=90°，
故答案为：B；90°；
(2)见答案；
(3)DQ的长为2 3或2 21．
理由：当点P在AB的下方时，如图2，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交ND的延长线于点H，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=6 2，CN⊥AB，
∴AB=12，AN=NB=CN=12AB=6，
∵点D是BP的中点，
∴ND=12AP=2 3，DN//AP，
∴∠BNH=∠BAP=60°，
∴∠CNH=30°，
∴CH=12CN=3，NH= 3CH=3 3，
∴DH=NH−DN= 3，
∴DC= CH2+DH2= 32+( 3)2=2 3，
由(2)可得：DQ=DC=2 3；
当点P在AB上方时，如图3，过点C作CN⊥AB于N，连接DN，过点C作CH⊥ND，交DN的延长线于点H，
同理可求：DQ=DC=2 21．
综上所述，DQ=2 3或2 21．组别
“作业时间”t/分钟
频数
组内老师的平均“作业时间”/分钟
A
t<60
8
50
B
60≤t<90
14
75
C
90≤t<120
10
100
D
t≥120
8
135
分别过点Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分别为M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴QM=AM=PM=12AP，CN=BN=AN=12AB，∠QMP=∠CND=90°．
∵点D是BP的中点，
∴BD=DP=12BP．
∴DM=DP+PM=12BP+12AP=12AB．
∴DM=CN=AN．
∴AM=DN=QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ=DC．
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