最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题42 计数原理

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题42 计数原理
【考点预测】
知识点1、分类加法计数原理
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
知识点2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.
知识点3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．【题型归纳目录】
题型一：分类加法计数原理的应用
题型二：分步乘法计数原理的应用
题型三：两个计数原理的综合应用
【典例例题】
题型一：分类加法计数原理的应用
例1．（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）
【答案】14
【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，
编程在周一、二、四.
①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，
阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.
②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，
阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.
③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，
阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.
综上，共有种方案.
故答案为：
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18B．16C．14D．10
【答案】C
【解析】分两类情况讨论：
第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；
第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、
体育、编程
口语、阅读、
编程、美术
手工、阅读、
科技、体育
口语、阅读、
体育、编程
音乐、口语、
美术、科技
由分类加法计数原理，所以所求个数为．
故选：C
例3．（2022·全国·高三专题练习）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A．10B．11C．12D．7
【答案】B
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有（个）；
②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有（个）；
③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．
综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（个）．
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．7种B．9种C．14种D．70种
【答案】C
【解析】分为三类:
从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;
故选：C
例5．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7B．9C．10D．13
【答案】C
【解析】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．
共有个，
故选：C．
例6．（2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种?（ ）A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；
②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克
④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种，
故选：A
例7．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）正整数484有个不同的正约数___________.
【答案】9
【解析】
设为484的正约数，则，（，，，，，）
例如：，时，是484的约数，
，时，是484的约数，
，时，是484的约数，
因此，484的正约数个数，即的不同取值个数，第一步确定的值，有3种可能，第二步确定的值，有3种可能，因此的取值共有种.
故答案为：9.
题型二：分步乘法计数原理的应用
例8．（2022·云南·高三阶段练习）图中的矩形的个数为（ ）
A．12B．30C．60D．120
【答案】C
【解析】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，
从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有种情况；
第二步再确定“竖边”，共有种情况，所以图中矩形共有.
故选：C.
例9．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24B．18C．12D．6
【答案】C
【解析】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为．
故选：C．
例10．（2022·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．216种
【答案】C
【解析】依题意，每名同学都有种选择方法，
所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.
故选：C
例11．（2022·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故A，C，D错误.
故选：B.
例12．（2022·全国·高三专题练习）某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．30B．14C．33D．90
【答案】D
【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，
所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种
故选：D题型三：两个计数原理的综合应用
例13．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【解析】携带工具方案有两类：
第一类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
第二类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
所以不同的安排方案共有种，
故选：A
例14．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个B．540个C．480个D．420个
【答案】A
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
例15．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36B．48C．60D．72
【答案】C
【解析】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
例16．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）A．360B．480C．600D．720
【答案】B
【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有.
故选：B.
例17．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【答案】
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
例18．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.
【答案】264
【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；
当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；
当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，
综上：96+144+24=264种选择
故答案为：264
例19．（2022·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．
（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）．
（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有 个．
由分类加法计数原理知，共有（个）．
【方法技巧与总结】
要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的，若需分类按加法数原理，若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”，分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类，又需要分步，此时要综合运用两个原理.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为（ ）
A．49B．70C．265D．1854
【答案】B
【解析】第一步，从7个行李箱中挑选3个，有种方法；
第二步，3个行李箱标签贴错的方法有2种，
所以恰有3个行李箱标签贴错的种数为．
故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种．故A，B，D错误.
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（ ）
A．种B．种C．4种D．24科
【答案】A
【解析】将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，根据乘法原理共有种
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（ ）
A．16B．24C．12D．36
【答案】B
【解析】甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为种.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350B．500C．550D．700
【答案】C
【解析】所选医生中只有一名男主任医师的选法有，
所选医生中只有一名女主任医师的选法有，
所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，
故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（ ）
A．36个B．48个C．66个D．72个【答案】A
【解析】先排末位数，有和在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的个元素中选两个进行排列有种结果，
所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数个，
故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．648个B．720个C．810个D．891个
【答案】D
【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有种.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正整数有序数对满足：
①；
②．
则满足条件的正整数有序数对共有（ ）组．
A．24B．12C．9D．6
【答案】B
【解析】由题意知，为正整数，
故由可得，
因为 ，故，则满足的数为3和2，
则有序数对可能为 ，
再由可得 ，
则的可能有共6种情况，
故满足条件的正整数有序数对共有组，
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
【答案】D
【解析】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：
和为6的回文数：1221,2112，3003， 3个．
和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006， 6个．
和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．
和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．
和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．
和为36的回文数：9999，1个．
故共有3+6+9+7+4+1＝30个．
故选：D
二、多选题
10．（2022·全国·高三专题练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成个不重复的四位数
B．可组成个不重复的四位偶数
C．可组成个能被整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
【答案】BC
【解析】A选项，有个，错，
B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，
∴共有种，对，
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错，
故选：BC.
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 ．
因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 ，
故选：AB
12．（2022·全国·高三专题练习）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
A．此人有4种选课方式B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节D．自习可安排在4节课中的任一节
【答案】BD
【解析】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，
则地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，
则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有______种.
【答案】
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，有种选法，
②、当甲从，，中选2门时，有种选法，
则甲的选择方法有种，
故答案为：15．
14．（2022·全国·高三专题练习）国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.
【答案】6
【解析】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙与丙两人有种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.
故答案为：6
15．（2022·全国·高三专题练习）有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
______．
【答案】96
【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；
3个颜色互不相同的取法有：种；所以满足题意的取法共有：种.
故答案为：96.
16．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
【答案】
【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，
上线路中有种，
中线路中只有种，
下线路中有（种．
根据分类计数原理，共有（种）．
故答案为：．