最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第24讲 数列性质常见考题

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第24讲 数列性质常见考题
【题型归纳目录】
题型一：数列公共项问题
题型二：数列插项问题
题型三：数列规律问题
题型四：绝对值数列问题
题型五：数列中存在性、任意性问题
题型六：奇偶性问题
题型七：数列的取整问题
【典型例题】
题型一：数列公共项问题
例1．已知集合，，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：集合，奇数，
，，，，3，7，，
，
则．
故选：．
例2．已知无穷等比数列和满足，，的各项和为9，则数列的各项和为 ．
【解析】解：设无穷等比数列的公比为，
则，即，所以，
所以，
由，知无穷等比数列的公比为，
所以．
故答案为：．
例3．已知数列是公差不为0的等差数列，从该数列中抽取某些项：，，，，，组成等比数列．
（1）求公比；
（2）求数列的通项公式，求数列的最大值项．
【解析】解：（1）设的首项为，
，，成等比数列，
．
得，
公比．
（2），
又，
．
．
若第项最大，则满足：
，
即，
，
，
即或时，最大．
变式1．已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列．
①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；
②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列．
在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的前30项和．
【解析】解：（1）因为数列为等比数列，且，，
所以，
又因为，所以，
又，则，
故等差数列的通项公式为；
（2）因为，
所以，，，，，，，
而，，，，
若选①，
因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，
则数列前30项和为：；
若选②，
因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，
则数列前30项和为：．
题型二：数列插项问题
例4．构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，2，，第三组是，3，2，3，，，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组．设第组中有个数，且这个数的和为．则
A．B．C．D．
【解析】解：设中数组是，，，，即，
则的数组是，，，，，，，，
比的数组中多了这些数：
，十，，，，
这些数相加，除，只出现1次外，，，，均出现2次，
而，
所以，
因此，
又，，
所以是等比数列，公比为3，
，
所以，
从而，
故选：．
例5．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；．若第次“扩展”后得到的数列为1，，，，，2，并记，，其中，，则数列的前项和为 ．
【解析】解：，
可得
．
．
则是首项为，公比为3的等比数列，
可得，
，
，
故答案为：
例6．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；．设第次“扩展”后所得数列为1，，，，，2，并记，则数列的通项公式为 ．
【解析】解：，
可得
．
设，
即为，可得，
则是首项为，公比为3的等比数列，
可得，
即为，．
故答案为：，．
变式2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；第次得到数列1，，，2，则第次得到的数列项数为 ．
【解析】解：设第次“扩展”得到的数列项数为，
则，，，
第次“扩展”后得到的数列可在第次“扩展”后得到的项数中任意相邻的两项中取其平均数，共增加了个数，
，，
又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，，
由题意可知，每次“扩展”后所得到的数列均为等差数列，
则，
，
故答案为：，．
变式3．构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，，，第三组是，，，，，在每一组的相邻两个数组之间插入这两个数的和的倍得到下一组，其中，设第组有个数，且这个数的和为．
（1）求和；
（2）求证：．
【解析】解：（1）由题意可知，当时，，．
．．
由数列的构造规则可知，，
，．
（2）设，则，
，，，，
．即．是递增数列．
．
，即．
变式4．已知数列的首项为2，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和．
【解析】解：（1）当时，，，
，
即，
且时，，也满足上式，
；
（2）根据题意，，
，
的前项和．
题型三：数列规律问题
例7．周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，，2，，且存在正整数，使得，2，成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，，2，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足，2，3，的序列是
A．B．C．D．
【解析】解：对于选项：序列11010 11010
（1），
（2），不满足，2，3，，故排除；
对于选项：序列11011 11011
（1），不满足条件，排除；
对于选项：序列10001 10001 10001
（1），
（2），
（3），
（4），符合条件，
对于选项：序列11001 11001
（1）不满足条件．
故选：．
例8．已知，，为整数，集合，中的数从小到大排列，组成数列，如，，
A．515B．896C．1027D．1792
【解析】解：当时，只能取0，只能取1，故符合条件的项有项；
当时，和从0，1，2中取两个，故符合条件的项有项；
同理，当时，符合条件的项有项；
以此类推可知，因为；
是当时，，，所组成的最小的项，即，；
；
故选：．
例9．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（4） ；
A．35 B．36
C．37 D．38
【解析】解：由图可得（2）（1），（3）（2），
则（4）（3），（5）（4），
因此，当时，有，
所以（2）（1）（1）．
又（1），所以．
当时，（4）．
故选：．
变式5．“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设是一个有限“0，1数列”， （A）表示把中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，，则（A），1，0，1，0，．设是一个有限“0，1数列”，定义，，2，3，．若有限“0，1数列” ，1，，则数列的所有项之和为 ．
【解析】解：因为，1，，
所以，0，1，0，1，0，1，0，，
，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，，
显然中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，
中有9项，其中4项为0，5项为1，同理可得中有27项，其中14项为0，13项为1，
由此可得中有项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1，
当为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项；当为偶数时，0的项数为奇数，比1的项数少1项；
因此，数列有项，0的项数比1的项数少1项，
所以数列的所有项之和为．
故答案为：．
题型四：绝对值数列问题
例10．普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作，其中为1，11，21，1211，111221，，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，，按照相同的规则可得其它项，例如为3，13，1113，3113，132113，若；的第项记作，的第项记作，其中，，，若，则的前项和为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意得，，，，，，；
，，，，，；
由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，
所以，
所以的前项和为，
故选：．
例11．（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“峰值”， 是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？
A．1B．3C．6D．12
【解析】解：因为，所以，
，只有，，所以“3”是“峰值点”，其它选项不是．
故选：．
例12．（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”， 是数列的“谷值点”，在数列中，若，则数列的“谷值点”为
A．2B．3C．5D．7
【解析】解：，
，，，，，，，
当，时，，
，此时数列单调递增，
又，，，，
所以数列的“谷值点”为2，7，
故选：．
变式6．已知等差数列的前项和为，，．
（1）当为多少时取最大值？
（2）若数列的每一项都有，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设数列的公差为，
由，，知，
所以，
令，则，即数列的前5项均为正数，从第6项开始为负数，
所以当为5时，取最大值．
（2）由（1）知，，，
当时，；
当时，，
综上，．
题型五：数列中存在性、任意性问题
例13．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】解：因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，
令，解得，表示取整函数，
所以存在正整数，当时，，充分性成立；
当时，，，则，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：．
例14．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和” ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得：，
时，，
相减可得：，
化为：，
时，，满足上式，
，．
，
对任意的恒成立，
，即，
解得．
故选：．
例15．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．已知数列是首项和公差均为1的等差数列．设为正整数，若存在“数列” ，对任意的正整数，当时，都有成立，则的最大值为 ．
【解析】解：由题意知，，，
，，，恒成立，
当时，，
当时，，即，
当时，两边取对数，可得对有解，
即，
令，则，
当时，，此时，单调递减，
所以当时，，
令，则，
令，则，
当时，，即，
所以在，上单调递减，
即当时，，则，
化简，得，
令，则，
由，得，则，
所以在，上单调递减，
又因为（5），
（6），
所以存在，使得，
所以整数的最大值为5，此时，．
故答案为：5．
变式7．已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：当时，，，，
当时，由①，得②，
①②得，，
，，又，
是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）①由，得，
所以，，
两式相减得
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，有，得；
当时，有，得；
综上，实数的取值范围为，．
变式8．已知数列中，，，且，设数列．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：．
【解析】证明：（1），，
又．
，，
数列是等比数列，首项为3，公比为3，
．
（2）数列的前项和为．
，
数列的前项和为
，
．
题型六：奇偶性问题
例16．已知数列满足，若，则 ，前60项和为 ．
【解析】解：数列满足，，，解得．
，解得．
，
有，，，，，，．
从而可得，，，，，，，，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
的前60项和为，
故答案为：1，1830．
例17．已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
【解析】解：先考虑偶数项，有：，
，，，
．
同理考虑奇数项有，，，
．
，．，
．
例18．已知数列的前项和满足，．
（1）写出数列的前三项，，；
（2）试判断数列是否为等比数列，如果是，求出的通项公式；如果不是，请说明理由；
（3）证明：对任意的整数，有．
【解析】解：（1）当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知，，；
（2）是等比数列，理由如下：
由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可知：，
所以
．
变式9．已知为等差数列，为等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【解析】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，
，解得，
，，
设等比数列的公比为，
则，，，
，
，
化简整理，得，
解得，
，．
（2）由（1），可得
，
设数列的前项和为，
则
，
令，
则，
两式相减，
可得
，
，
．
变式10．已知为等差数列，为等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，
①求
②求
【解析】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，即，可得，
从而的通项公式为；
由，，即，
又，可得，解得，
从而的通项公式为．
（2）①当为奇数时，，
所以；
②当为偶数时，，
，③
所以，④
③④，，
由于，
从而得：．
题型七：数列的取整问题
例19．设为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．则的值为
A．11B．1C．约等于1D．2
【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
故，
，
．
故选：．
例20．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．
（1）求，，；
（2）求数列的前2019项和．
【解析】解：（1）设的公差为，据已知有，
解得．
所以的通项公式为．
， ，
．
（2）因为
所以数列的前2019项和为．
例21．已知公比大于1的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．
【解析】解：（1）设等比数列的公比为，
，，
，
解得或（舍去），
，
，
（2）记为在区间，中的项的个数，
，
，
故，，，，，，，
，，，，，，，，，，
可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，
由，
可知，．
数列的前100项和．
变式11．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对一切，都有为正整数）成立．求的最小值．
【解析】解：（1）由题意得，，
把代入上式，得或，
，，则；
（2），
则，
，
两式作差得：．
，
又，
．
故的最小值为6．
变式12．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）设，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）数列是各项均不为0的等差数列，
由，
又，．
证明：（2）
，
．
解：（3），
，，，
若，，依次成等比数列，则，
．
由，得，
，
解得，又，且，
，此时．
故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．
变式13．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的及前项和；
（3）试求所有的正整数，使得为数列中的项．
【解析】解：（1）设公差为，则，
由等差数列性质得．
因为，所以，即①．
又由得，即②．
联立①②解得，，
所以．
（2）由（1）知，当时，；
当时，．
．
当时，；
当时，．
综上，．
（3），
令，则．
故为8的约数，又是奇数，的可能取值为．
当时，，是数列中的第5项；
当时，，不是数列中的项．
所以满足条件的正整数．