最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第16讲 导数中的双变量与多变量问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第16讲 导数中的双变量与多变量问题
【典型例题】
例1．（2022秋•天心区校级期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若，且，证明：．
例2．（2022•洛阳二模）已知函数．
（1）若曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有两个零点，，证明．
例3．（2022秋•宜春期末）已知函数，是常数且．
（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；
（2）若是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点，满足．
例4．（2022•盐城三模）已知函数，为常数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）若函数有两个零点、，试证明．
例5．（2022•浙江模拟）已知函数．
（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．（其中为的极小值点）
例6．（2022春•德化县校级月考）已知函数有两个不同的零点，，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：．
例7．（2022春•工农区校级期中）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个不同零点，，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
例8．（2022•台州一模）已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
例9．（2022秋•赤峰期末）已知函数，为常数，当时，有三个极值点，，（其中．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【同步练习】
一．选择题
1．（2022春•沙坪坝区校级期中）已知函数有两个零点，，则下列说法错误的是
A．B．
C．有极大值点，且D．
二．多选题
2．（2022春•石首市期中）已知函数有两个零点，，则
A．的取值范围为B．
C．D．
三．解答题
3．（2022•石家庄模拟）已知为实常数，函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：，且．（注为自然对数的底数）
4．（2022春•越秀区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图像与轴交于，两点，线段中点的横坐标为，证明：．
5．（2022•温州模拟）设函数．
（1）若（其中
求实数的取值范围；
证明：；
（2）是否存在实数，使得在区间内恒成立，且关于的方程在内有唯一解？请说明理由．
6．（2022秋•辽宁期中）已知函数．
（1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，，求证：．
7．已知函数，其中，．
（Ⅰ）若，，证明：当时，；
（Ⅱ）若，函数有三个极值点，，，证明：．
注：是自然对数的底数．
8．（2022春•玉林期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若函数有三个极值点，，，且．证明：．66666666666666
9．（2022秋•永州月考）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个极值点，，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：为定值．
10．（2022•中卫模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个极值点，，，求的取值范围．
11．（2022•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．
12．（2022秋•广东月考）已知，（其中为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，函数有两个零点，，求证：．
13．（2022•德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
14．（2022•德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，且正实数使成立，求正实数的取值范围．
15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
16．（2022春•河北月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
17．（2022•南通模拟）已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点，．
①求的取值范围；
②证明：当时，．
18．（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
19．（2022•陕西模拟）已知函数．
（1）当，求函数在的单调性；
（2）有两个零点，，且，求证：．
20．（2022•浙江模拟）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点分别为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．
21．（2022秋•未央区校级月考）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立．
22．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
23．（2022秋•城关区校级月考）已知函数，函数只有两个零点，设这两个零点为，．
（1）证明：，．
（2）证明：．
24．（2022秋•登封市校级月考）已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）已知图象与图象关于对称，证明：当时，．
（3）设，是两个零点，证明：．
25．（2022•辽阳二模）已知函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若有3个极值点，，（其中，证明：．
26．（2022秋•10月份月考）已知函数，其中．
（1）对于任意，恒有，求的取值范围：
（2）设，存在实数使关于的方程有两个实根式，，求证：函数在处的切线斜率大于0．
27．（2022•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若的两个零点分别为，，证明：．
28．（2022秋•湖北月考）已知．
（1）若有两个零点，求的范围；
（2）若有两个极值点，求的范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个极值点为，，求证：．
29．（2022•唐山二模）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
30．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知函数，其中．
（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；
（2）若函数有三个极值点，，，求证：．
31．（2022•天津模拟）已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个零点，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）是的极值点，求证：．