2024八年级数学下册第十七章勾股定理综合素质评价试卷（人教版附答案）

这是一份2024八年级数学下册第十七章勾股定理综合素质评价试卷（人教版附答案），共11页。
第十七章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，是勾股数的是(　D　)A.1.5，2，2.5 B.1，2，5 C.2，3，5 D.5，12，132.[2023·人大附中期中]如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为13的是(　B　)(第2题)A.线段AB B.线段BC C.线段CD D.线段AD3.(母题：教材P27图17.1－10)如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(　B　)(第3题)A.1.4 B.2 C.3 D.24.[2023·广东实验中学期中]已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(　A　)A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B.∠C＝∠A－∠BC.a2＋b2＝c2 D.a∶b∶c＝6∶8∶105.[2023·铁岭]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为(　D　)(第5题)A.35 B.34 C.43 D.536.[2022·金华]如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，－2).下列各地点中，离原点最近的是(　A　)(第6题)A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校7.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是(　C　)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定8.[2022·张家界]如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为(　C　)(第8题)A.34 B.32 C.334 D.39.“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高为(　D　)(第9题)A.2651 cm B.69 cm C.12 cm D.48 cm10.[2023·重庆一中月考]如图，在桌面ABCD上建立平面直角坐标系(每个小正方形边长为一个单位长度)，小球从点P(－4，0)出发，撞击桌面边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒2个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第2 023秒时小球所在位置的纵坐标为(　C　)(第10题)A.2 B.1 C.－1 D.－2二、填空题(每题3分，共24分)11.请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：　如果b－a＜0，那么a＞b　.12.如图，已知正方形ABCD的面积为8，则对角线BD的长为　4　.(第12题)13.[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为　4　.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为　12或7＋7　.15.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为　(10，3)　.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为　2　dm2.(第16题)17.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于　2π　.(第17题)18.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为　5　.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.[2023·长沙]如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长.(1)【证明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.在△ABE和△ACD中，∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(AAS).(2)【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝62＋82＝10.∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.20.(母题：教材P39复习题T9)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.【解】(1)∵AB＝22＋12＝5，AC＝22＋42＝25，BC＝32＋42＝5，∴AB＋AC＋BC＝5＋25＋5＝35＋5，即△ABC的周长为35＋5.(2)∵AB2＋AC2＝(5)2＋(25)2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形.21.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【解】(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，如图.在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，则AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到这次台风的影响.(2)如图，设BF上有点D，连接DA，使DA＝200 km，则还有一点G，连接GA，使AG＝200 km.∵DA＝AG，∴△ADG是等腰三角形.∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC.在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km，∴由勾股定理得，CD＝DA2－AC2＝2002－1602＝120(km)，则DG＝2DC＝240 km，∴A城遭受这次台风影响的时间是240÷40＝6(h).22.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地边界的周长(结果保留根号).【解】连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，如图.∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°.∵AB∥CD，∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°.∴CE＝12AC＝10米.∴AE＝AC2－CE2＝103米.∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.∴DE＝AE＝103米.由勾股定理得AD＝AE2＋DE2＝106米.∴该绿地边界的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋103＋106＝50＋103＋106(米).23.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.故小明的猜想是正确的.请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论.【解】当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.证明如下：如图③，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.设CD＝y.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋y)2.∴b2－y2＝c2－(a＋y)2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay.∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.24.[2022·北京]在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.(1)【证明】在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.(2)【解】由题意补全图形如图②.CD＝CH.证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.第十七章综合素质评价一、1.D2.B 【点拨】由题意得AB＝12＋22＝5，BC＝22＋32＝13，CD＝12＋12＝2，AD＝12＋32＝10，故选B.3.B4.A 【点拨】根据三角形内角和等于180度，求出三角形每个内角的度数，即可判断A，B；根据勾股定理的逆定理即可判断C，D，进而得出答案.5.D 【点拨】过点D作DM⊥AB于M，由勾股定理可求得AC＝4，由题意可证明△ADC≌△ADM，则可得AM＝AC＝4，从而有BM＝1，在Rt△DMB中，由勾股定理建立方程求解即可.6.A　7.C8.C 【点拨】如图，将△BAO绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，∴OB＝OD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2.∴△BOD是等边三角形.∴OD＝OB＝1.∵OD2＋OC2＝12＋（3）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2＋OC2＝CD2.∴∠DOC＝90°.∴△AOB与△BOC的面积之和为S△AOB＋S△BOC＝S△BOC＋S△BCD＝S△BOD＋S△COD＝34×1＋12×1×3＝334.9.D 【点拨】如图为该圆柱的侧面展开图，由题意得AE＝BE＝26 cm，AD＝10 cm，∠D＝90°，DE＝CE.∴CD＝2DE＝2AE2－AD2＝2262－102＝48（cm），即柱子高为48 cm.10.C 【点拨】根据小球的运动方向可得小球运动一周所走的路程为162个单位长度，再由运动速度求得运动一周所用时间为16秒，再由2 023除以16，从而求出答案.二、11.如果b－a＜0，那么a＞b　12.413.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝52－32＝4.14.12或7＋7【点拨】设直角三角形的第三边长为x，当第三边为斜边时，32＋42＝x2，x＝5（负值已舍去），则三角形周长为3＋4＋5＝12；当长度为4的边为斜边时，32＋x2＝42，x＝7（负值已舍去），则三角形周长为3＋4＋7＝7＋7.15.（10，3）【点拨】由折叠可知AD＝AF＝10，∵AO＝8，∴OF＝102－82＝6，∴FC＝4.令EF＝x，则EC＝8－x，∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴EC＝3，∴E（10，3）.16.2 【点拨】如图所示，依题意，得OD＝22AD＝22 dm，OE＝12OD＝2 dm.∴阴影部分的面积为OE2＝（2）2＝2（dm2）.17.2π 【点拨】令BC＝a，AC＝b，由题知a2＋b2＝42＝16，S1＝12×π×b22＝π8b2，同理S2＝π8a2，则S1＋S2＝π8（a2＋b2）＝π8×16＝2π.18.5 【点拨】连接PD，易知PD＝BP，则EP＋BP＝EP＋PD.当E，P，D三点共线时，EP＋PD最短，为ED＝32＋42＝5.三、19.（1）【证明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.在△ABE和△ACD中，∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（AAS）.（2）【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝62＋82＝10.∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.20.【解】（1）∵AB＝22＋12＝5，AC＝22＋42＝25，BC＝32＋42＝5，∴AB＋AC＋BC＝5＋25＋5＝35＋5，即△ABC的周长为35＋5.（2）∵AB2＋AC2＝（5）2＋（25）2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形.21.【解】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，如图.在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，则AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到这次台风的影响.（2）如图，设BF上有点D，连接DA，使DA＝200 km，则还有一点G，连接GA，使AG＝200 km.∵DA＝AG，∴△ADG是等腰三角形.∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC.在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km，∴由勾股定理得，CD＝DA2－AC2＝2002－1602＝120（km），则DG＝2DC＝240 km，∴A城遭受这次台风影响的时间是240÷40＝6（h）.22.【解】连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，如图.∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°.∵AB∥CD，∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°.∴CE＝12AC＝10米.∴AE＝AC2－CE2＝103米.∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.∴DE＝AE＝103米.由勾股定理得AD＝AE2＋DE2＝106米.∴该绿地边界的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋103＋106＝50＋103＋106（米）.23.【解】当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.证明如下：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.设CD＝y.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－（a＋y）2.∴b2－y2＝c2－（a＋y）2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay.∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.24.（1）【证明】在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE（SAS）.∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.（2）【解】由题意补全图形如图：CD＝CH.证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由（1）可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.