八年级上册数学培优试题

这是一份八年级上册数学培优试题，共8页。
1.如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．3．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在OAB与OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．（1）如图1，OAB与OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）如图2，OAB与OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．（3）如图3，OAB与OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．4．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如图2，求证：BE⊥AE；②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长5．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则ABD≌ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°，其中正确的有_____．(将所有正确的序号填在横线上）（延伸应用）（3）如图3，在四边形ABCD中，BD=CD，AB=BE，∠ABE=∠BDC=60°，试探究∠A与∠BED的数量关系，并证明．6．如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE与AD交于点O．（1）求证：AD＝BE（2）如图2，若AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连接MN，求证：△CMN为等边三角形．（3）在（2）的条件下，如图3，BG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，当AG＝OH时，试探究线段BD、MN、AM之间的关系．7．在等边的两边，所在直线上分别有两点，，点为外一点，且，，．（1）如图1，点，在边，上，，求的长；（2）如图2，点，在边，上，，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明；（3）当点，在，的延长线上时，若等边的周长为，的长为，则的周长为______（用含有，的代数式表示）．8．如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．（1）求∠AFD的度数；（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，则四边形ANQF的面积为______；（只写出答案即可，不要求写解题过程）（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC的长，并说明理由．9．如图1，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为________．（3）如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又＝＝，求的值（用含有a，b，c的代数式表示）（4）如图，∠BAC＝90°，AB＝11，AC＝14．点P从B点出发沿B－A－C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C－A－B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）10．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，，另一个等边的顶点D从O点出发，沿的方向以的速度运动，在运动过程中的形状始终保持不变，且点D不与点A重合．设运动时间为．（1）求证：；（2）如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长：若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值：若不存在，请说明理由．