2024浙江省金丽衢十二校高三下学期3月第二次联考试题（二模）数学含解析

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命题人：永康一中 高雄略 何承生 审核：浦江中学
本卷分选择题和非选择题两部分.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂､写在答题纸上.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若复数z满足：，则为（ ）
A. 2B. C. D. 5
3. 若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A. B. 0C. D. 1
4. 双曲线的离心率e的可能取值为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 在中，“A，B，C成等差数列且成等比数列”是“是正三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知抛物线焦点为F，以F为圆心的圆交于A，B两点，交的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 关于点中心对称
C. 最大值D. 在区间上单调递减
10. 设定义在R上函数的导函数为，若，均有，则（ ）
A. B. （为的二阶导数）
C. D. 是函数的极大值点
11. 已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（ ）
A. 移动两次后，“”的概率为
B. 对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于
C. 对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于
D. 对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）
非选择题部分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 己知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.
13. 某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）
14. 设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为__________.（参考数据：）
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.
（1）证明：//平面BDM；
（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.
17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
18. 已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P.
（1）求椭圆L的标准方程；
（2）若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.
19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）证明：，.
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4