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2024年吉林省松原市前郭县三校中考数学一模试卷 （含解析）
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这是一份2024年吉林省松原市前郭县三校中考数学一模试卷 （含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．﹣2
2．（2分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．（a3）4＝a7C．a5+a5＝a10D．2a2÷a2＝2
4．（2分）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．直线比曲线短
5．（2分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．（2分）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解5a2﹣a＝ ．
8．（3分）不等式2x﹣7＞1的解集是 ．
9．（3分）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．
10．（3分）一元二次方程x2+4x﹣9＝0的根的判别式的值是 ．
11．（3分）某种商品原价每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打“八折”，则第二次降价后售价是 元．
12．（3分）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离BC＝0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长CN＝0.5m，AC在地面的影长CM＝2m，则窗户的高度AB为 m．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ ．
14．（3分）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 cm．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（+1），其中x＝．
16．（5分）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．
17．（5分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
18．（5分）为落实“双减”政策，充分利用好课后服务时间，某校成立了陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，现有甲、乙两位同学积极报名参加，其中一名同学随机抽取1张后，放回并混在一起，另一名同学再随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②均是5×5的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）线段AB的长为 ；
（2）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰钝角三角形ABC；
（3）在图②中，以线段AB为边画一个轴对称四边形ABEF，使其面积为8．
20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系式为，如图．
（1）求蓄电池的电压是多少；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
21．（7分）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（7分）为号召学生积极实践创新，创设浓郁学科学氛围，活跃校园科技生活，我校开展了第十一届科技节．学校随机抽取了部分学生对科技节“最喜欢的活动”进行调查：A．中国古代科技发明；B．创意机器人；C．科技改变生活；D．立体模型制作．并将调查结果绘制成了两幅统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查共调查了 名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为 °，“中国古代科技发明”部分所占的百分比是 ；
（4）我校共有2800名学生，估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有多少名？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是 m/s，哥哥让小明先跑了 米，小明后来的速度为 m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
24．（8分）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．
请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连结CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．
求证：四边形APDQ是平行四边形．
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连结EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连结PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连结FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）如图②，当点M落在AB上时，x＝ ；
（2）求点M落在AD上时x的值；
（3）若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
26．（10分）如图，一次函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AB下方的抛物线上有一个点D，求这个四边形ACBD面积的最大值，并写出点D坐标；
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），当线段OA绕点P逆时针旋转90°后得到线段MN．当线段MN与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
2024年吉林省松原市前郭县三校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12分）
1．（2分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．﹣2
【分析】根据正数大于0，负数小于0即可得到结论．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜0＜1，
∴四个数中最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（2分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【解答】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．（a3）4＝a7C．a5+a5＝a10D．2a2÷a2＝2
【分析】“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，“幂的乘方，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”，根据同底数幂的乘除及合并同类项的法则，即可判断各式是否正确．
【解答】解：A、根据同底数幂相乘法则，a4⋅a3＝a7≠a12，计算错误，不符合题意；
B、根据幂的乘方法则，（a3）4＝a12≠a7，故计算错误，不符合题意；
C、根据合并同类项法则，a5+a5＝2a5≠a10，故计算错误，不符合题意；
D、根据同底数幂的除法法则，2a2÷a2＝2，故计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（2分）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．直线比曲线短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选：A．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠2＝30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3＝∠α+∠2，从而求出∠α的度数．
【解答】解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵∠3＝∠α+∠2，且∠3＝45°，
∴∠α＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
6．（2分）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC，从而得到∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠AOB＝2∠BOC＝2×50°＝100°，
∴∠APB＝∠AOB＝50°．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解5a2﹣a＝ a（5a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：原式＝a（5a﹣1）．
故答案为：a（5a﹣1）．
8．（3分）不等式2x﹣7＞1的解集是 x＞4 ．
【分析】利用不等式的基本性质：先移项合并同类项，再系数化1即可求得不等式的解集．
【解答】解：2x﹣7＞1，
2x＞1+7，
2x＞8，
x＞4，
故答案为：x＞4．
9．（3分）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 72 度．
【分析】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，
故最小旋转角为．
故答案为：72．
10．（3分）一元二次方程x2+4x﹣9＝0的根的判别式的值是 52 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣9＝0中，a＝1，b＝4，c＝﹣9，
∴该方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣9）＝52，
故答案为：52．
11．（3分）某种商品原价每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打“八折”，则第二次降价后售价是 （0.8p﹣8） 元．
【分析】第一次降价后的售价（p﹣10）元，第二次降价后的售后（p﹣10）×80%．
【解答】解：（p﹣10）×80%＝（0.8p﹣8）（元），
故答案为：（0.8p﹣8）．
12．（3分）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离BC＝0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长CN＝0.5m，AC在地面的影长CM＝2m，则窗户的高度AB为 1.2 m．
【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
【解答】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴，
∵CN＝0.5m，CM＝2m，BC＝0.4m，
∴，
解得：AC＝1.6m，
∴AB＝AC﹣BC＝1.6﹣0.4＝1.2（m），
故答案为：1.2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ 81° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠C＝∠DAC＝27°，根据三角形外角性质求出∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°，根据折叠的性质求出∠ADB＝∠ADB1＝54°，根据平角定义求出∠CDE＝72°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝27°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°，
∵将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，
∴∠ADB＝∠ADB1＝54°，
∵∠ADB+∠ADB1+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝72°，
∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝81°，
故答案为：81°．
14．（3分）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 5 cm．
【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可．
【解答】解：半径为15cm，圆心角为120°的扇形弧长是：，
设圆锥的底面半径是r cm，则2πr＝10π，
解得：r＝5．
故答案为：5．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（+1），其中x＝．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当时，原式＝．
16．（5分）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由AE＝DB推出AB＝DE，再利用SAS直接证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB
即AB＝DE．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
17．（5分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
【分析】根据A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，列出方程组，求解即可．
【解答】解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，
由题意，，
解得，
答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元．
18．（5分）为落实“双减”政策，充分利用好课后服务时间，某校成立了陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，现有甲、乙两位同学积极报名参加，其中一名同学随机抽取1张后，放回并混在一起，另一名同学再随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，根据题意可得画树状图如下：
共有9种可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的结有5种，
∴甲、乙两位同学中至少有一名参加因艺活动小组的概率为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②均是5×5的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）线段AB的长为 ；
（2）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰钝角三角形ABC；
（3）在图②中，以线段AB为边画一个轴对称四边形ABEF，使其面积为8．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）取格点C，使得AB＝BC，且∠ABC＞90°，连接AC即可；
（3）取格点E，F，使得AB＝BE＝EF＝AF，且，构成菱形ABEF，菱形面积为8，且为一个轴对称图形，即可得解．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）如图1，等腰△ABC如图所示；
（3）如图2，四边形ABEF如图所示，
∵AB＝BE＝EF＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，即为轴对称图形，
∵，
∴菱形面积为AE•BF＝8．
20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系式为，如图．
（1）求蓄电池的电压是多少；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
【分析】（1）根据点A的坐标确定U的值即可确定电压；
（2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（9，3）代入得：
，解得：U＝27，
即这个蓄电池的电压是27V；
（2）由（1）得：电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，
当I＝12时，，
解得：，
∵27＞0，R＞0，
∴I随R的增大而减小，
∵电流不超过12A，
∴电阻应控制的范围为．
21．（7分）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AE⊥CD，过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，构造矩形GEFB和直角△BCF、△AGB，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出BF、AG，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，交FC的延长线于点E．
过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，垂足分别为G、F．
∵AE⊥CD，BG⊥AE，BF⊥CD，
∴四边形GEFB是矩形，GB∥ED．
∴GE＝BF，∠GBC＝∠BCF＝37°．
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣37°＝53°．
在Rt△BCF中，
∵sin∠BCD＝，
∴GE＝BF＝sin∠BCD•BC≈0.6×6＝3.6（cm）．
在Rt△BAG中，∠A＝90°﹣∠ABG＝90°﹣53°＝37°．
∵csA＝，
∴AG＝csA•AB≈0.8×10＝8（cm）．
∴AE＝AG+GE＝8+3.6＝11.6（cm）．
答：点A到CD的距离为11.6cm．
22．（7分）为号召学生积极实践创新，创设浓郁学科学氛围，活跃校园科技生活，我校开展了第十一届科技节．学校随机抽取了部分学生对科技节“最喜欢的活动”进行调查：A．中国古代科技发明；B．创意机器人；C．科技改变生活；D．立体模型制作．并将调查结果绘制成了两幅统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查共调查了 50 名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为 72 °，“中国古代科技发明”部分所占的百分比是 10% ；
（4）我校共有2800名学生，估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有多少名？
【分析】（1）用C类的人数20除以所占的百分比40%即可；
（2）首先求得B和D类的对应人数，即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以D的百分比即可求出“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数，用A类的人数除以总人数即可求出“中国古代科技发明”部分所占的百分比；
（4）总人数乘以样本中C和D人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次调查共调查学生总人数为20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）B类的人数为50×30%＝15（人），
D类的人数为50﹣5﹣15﹣20＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为360°×＝72°，
“中国古代科技发明”部分所占的百分比是×100%＝10%；
故答案为：72，10%；
（4）2800×＝1680（名），
答：估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有1680名．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是 8 m/s，哥哥让小明先跑了 14 米，小明后来的速度为 3 m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间可求出哥哥的速度，由图象可知哥哥让小明先跑了多少米，根据速度＝路程÷时间先求出小明被哥哥追上之前的速度，再由题意求出小明后来的速度；
（2）根据哥哥追上小明时两人跑的路程相等求解即可；
（3）由待定系数法求出l1、l2和l3的函数关系式，根据两人之间的距离列绝对值方程并求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，哥哥的速度是24÷3＝8（m/s），哥哥让小明先跑了14m；
在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32﹣14）÷3＝6（m/s），
∴在哥哥追上小明之后，小明的速度为6÷2＝3（m/s），
故答案为：8，14，3．
（2）设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．
14+6t＝8t，解得t＝7，
∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．
（3）设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）．
将x＝3，y＝24代入y＝kx，
得3k＝24，解得k＝8，
∴y＝8x；
小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：
当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m），
∴图象交点坐标为（7，56）．
当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，
得，解得，
∴y＝6x+14（0≤x＜7）；
哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m），
∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上．
当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，
得，解得，
∴y＝3x+35（x≥7）；
综上，y＝．
两人相距10米时：
当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，
解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；
当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，
解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；
∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
24．（8分）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．
请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连结CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．
求证：四边形APDQ是平行四边形．
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连结EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连结PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连结FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为 4 ．
【分析】【教材呈现】证明△ABD≌△ECD，进而得出结论；
【结论应用】（1）由【教材呈现】得：CE＝FE，进而得出QE＝PE，进一步得出结论；
（2）根据轴对称性质可得OP＝OB＝，从而得出点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，当△EOP的边EO上的高最大时，四边形PEQF的面积最大，当hOE＝时，四边形PEQF的面积最大，进一步得出结果．
【解答】【教材呈现】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠CED，∠B＝∠ECD，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED；
【结论应用】
（1）证明：在▱ABCD中，AB∥CD，
∵点E是边AD的中点，
∴由【教材呈现】得：CE＝FE，
∵CP＝FQ，QE＝FE﹣FQ，PE＝CE﹣CP，
∴QE＝PE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴四边形APDQ是平行四边形；
（2）解：如图，
连接OB作PH⊥EF于H，
由（1）得：四边形PEQF是平行四边形，
∴S四边形PEQF＝4S△POE＝4×（）＝4×（）＝4PH，
∴当OH最大时，▱PEQF的面积最大，
∵PH≤OP，
∴当PH＝OP时，▱PEQF的面积最大，
∵点B与点P关于l对称，
∴直线l是BP的垂直平分线，
∴OP＝OB＝＝＝，
∴点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，作OP′⊥EF，交⊙O于P′，
当P运动到P′时，PH＝OP′＝，
∴S四边形PEQF最大＝4，
故答案为：4．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）如图②，当点M落在AB上时，x＝ 4 ；
（2）求点M落在AD上时x的值；
（3）若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
【分析】（1）当点M落在AB上时，可证四边形APQM是正方形，得AP＝PQ，又△CPQ是等腰直角三角形，可得CP＝PQ，即得CP＝AP＝AC，从而得到答案；
（2）点M落在AD上时，可证∠C＝∠APM＝45°，得△CAD∽△PAM，设CP＝PQ＝m，则PM＝PQ＝m，有＝，即可解得答案；
（3）分两种情况：①当Q在D下方时，可得KT＝AT，y＝S△PKT＝S△PAT，由△PAT∽△CAD，得＝（）2，即可得y＝x2；②当Q在D上方时，由AC＝8，AP＝x，得CP＝8﹣x＝PQ，即有QM＝8﹣x，PM＝（8﹣x），在等腰直角三角形APW中，PW＝＝，即得MW＝PM﹣PW＝8﹣x，故y＝S△PQM﹣S△RWM＝﹣x2+16x﹣32．
【解答】解：（1）当点M落在AB上时，如图：
∵∠BAC＝90°，PQ∥AB，△PQM是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠APQ＝∠PQM＝90°，PQ＝QM，
∴四边形APQM是正方形，
∴AP＝PQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴CP＝PQ，
∴CP＝AP＝AC＝4（cm），
∴x＝＝4（s），
故答案为：4；
（2）点M落在AD上时，如图：
∵等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠DAC＝45°＝∠C，△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝8cm，
∴CD＝4，
∵PQ∥AB，∠BAC＝90°，
∴∠APQ＝90°，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴∠QPM＝45°，
∴∠APM＝∠APQ﹣∠QPM＝45°，
∴∠C＝∠APM＝45°，
又∠CAD＝∠PAM，
∴△CAD∽△PAM，
∴＝，
设CP＝PQ＝m，则PM＝PQ＝m，
∴＝，
解得m＝，
∴AP＝AC﹣CP＝8﹣＝，
∴x＝＝；
（3）①当Q在D下方时，如图：
∵∠APQ＝90°，∠QPM＝45°，
∴∠APT＝45°＝∠PAT，
∴△APK、△APT是等腰直角三角形，
∴KT＝AT，
∴y＝S△PKT＝S△PAT，
∵∠ATP＝90°＝∠ADC，∠PAT＝∠CAD，
∴△PAT∽△CAD，
∴＝（）2，
∵CD＝AD＝4，
∴S△ADC＝16，
∵AP＝x，AC＝8，
∴＝（）2，
∴y＝x2；
②当Q在D上方时，如图：
∵AC＝8，AP＝x，
∴CP＝8﹣x＝PQ，
∴QM＝8﹣x，PM＝（8﹣x），
在等腰直角三角形APW中，
PW＝＝，
∴MW＝PM﹣PW＝8﹣x，
∴y＝S△PQM﹣S△RWM＝（8﹣x）2﹣（8﹣x）2＝﹣x2+16x﹣32，
综上所述，y＝．
26．（10分）如图，一次函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C．
（1）点A的坐标是 （0，﹣2） ，点B的坐标是 （4，0） ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AB下方的抛物线上有一个点D，求这个四边形ACBD面积的最大值，并写出点D坐标；
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），当线段OA绕点P逆时针旋转90°后得到线段MN．当线段MN与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，即可求得点的坐标．
（2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．
（3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
（4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2．
当y＝0时，0＝×x﹣2，x＝4，
∴点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（4，0）．
故答案为：（0，﹣2），（4，0）；
（2）抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A，点B，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，
设点D横坐标为d，
∴yF＝d﹣2，yD＝d2﹣d﹣2，
DF＝yF﹣yD，
则FD＝﹣d2+d，
抛物线上，y＝0时，x2﹣x﹣2＝0．
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝6，
∴S△ABC＝×6，2＝6．
∴S△ABD＝S△ADF+S△BDF＝×DF×OE+×DF×BE＝×DF×OB＝2DF＝﹣d2+2d．
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ADB＝﹣（d﹣2）2+8．
∴当d＝2时，四边形ADBC面积最大值为8．
∴四边形ADBC面积最大值为8，点D坐标为（2，﹣2）；
（4）如图：
，
∵点P（m，0），将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN，
∴M（m，﹣m），N（m+2，﹣m），
当点N在抛物线上时，﹣m＝（m+2）2﹣（m+2）﹣2，
解得m＝﹣3±．
当点M在抛物线上时，﹣m＝m2﹣m﹣2，
解得m＝﹣4或2．
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段MN与抛物线只有一个公共点．
例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
1．（2分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．﹣2
2．（2分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．（a3）4＝a7C．a5+a5＝a10D．2a2÷a2＝2
4．（2分）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．直线比曲线短
5．（2分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．（2分）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解5a2﹣a＝ ．
8．（3分）不等式2x﹣7＞1的解集是 ．
9．（3分）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．
10．（3分）一元二次方程x2+4x﹣9＝0的根的判别式的值是 ．
11．（3分）某种商品原价每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打“八折”，则第二次降价后售价是 元．
12．（3分）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离BC＝0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长CN＝0.5m，AC在地面的影长CM＝2m，则窗户的高度AB为 m．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ ．
14．（3分）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 cm．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（+1），其中x＝．
16．（5分）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．
17．（5分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
18．（5分）为落实“双减”政策，充分利用好课后服务时间，某校成立了陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，现有甲、乙两位同学积极报名参加，其中一名同学随机抽取1张后，放回并混在一起，另一名同学再随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②均是5×5的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）线段AB的长为 ；
（2）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰钝角三角形ABC；
（3）在图②中，以线段AB为边画一个轴对称四边形ABEF，使其面积为8．
20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系式为，如图．
（1）求蓄电池的电压是多少；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
21．（7分）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（7分）为号召学生积极实践创新，创设浓郁学科学氛围，活跃校园科技生活，我校开展了第十一届科技节．学校随机抽取了部分学生对科技节“最喜欢的活动”进行调查：A．中国古代科技发明；B．创意机器人；C．科技改变生活；D．立体模型制作．并将调查结果绘制成了两幅统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查共调查了 名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为 °，“中国古代科技发明”部分所占的百分比是 ；
（4）我校共有2800名学生，估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有多少名？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是 m/s，哥哥让小明先跑了 米，小明后来的速度为 m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
24．（8分）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．
请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连结CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．
求证：四边形APDQ是平行四边形．
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连结EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连结PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连结FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）如图②，当点M落在AB上时，x＝ ；
（2）求点M落在AD上时x的值；
（3）若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
26．（10分）如图，一次函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AB下方的抛物线上有一个点D，求这个四边形ACBD面积的最大值，并写出点D坐标；
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），当线段OA绕点P逆时针旋转90°后得到线段MN．当线段MN与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
2024年吉林省松原市前郭县三校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12分）
1．（2分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．﹣2
【分析】根据正数大于0，负数小于0即可得到结论．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜0＜1，
∴四个数中最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（2分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【解答】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．（a3）4＝a7C．a5+a5＝a10D．2a2÷a2＝2
【分析】“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，“幂的乘方，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”，根据同底数幂的乘除及合并同类项的法则，即可判断各式是否正确．
【解答】解：A、根据同底数幂相乘法则，a4⋅a3＝a7≠a12，计算错误，不符合题意；
B、根据幂的乘方法则，（a3）4＝a12≠a7，故计算错误，不符合题意；
C、根据合并同类项法则，a5+a5＝2a5≠a10，故计算错误，不符合题意；
D、根据同底数幂的除法法则，2a2÷a2＝2，故计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（2分）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．直线比曲线短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选：A．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，一三角板直角边在l1上，三角板斜边在同一直线上，则∠α＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠2＝30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3＝∠α+∠2，从而求出∠α的度数．
【解答】解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵∠3＝∠α+∠2，且∠3＝45°，
∴∠α＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
6．（2分）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC，从而得到∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠AOB＝2∠BOC＝2×50°＝100°，
∴∠APB＝∠AOB＝50°．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解5a2﹣a＝ a（5a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：原式＝a（5a﹣1）．
故答案为：a（5a﹣1）．
8．（3分）不等式2x﹣7＞1的解集是 x＞4 ．
【分析】利用不等式的基本性质：先移项合并同类项，再系数化1即可求得不等式的解集．
【解答】解：2x﹣7＞1，
2x＞1+7，
2x＞8，
x＞4，
故答案为：x＞4．
9．（3分）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 72 度．
【分析】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，
故最小旋转角为．
故答案为：72．
10．（3分）一元二次方程x2+4x﹣9＝0的根的判别式的值是 52 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣9＝0中，a＝1，b＝4，c＝﹣9，
∴该方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣9）＝52，
故答案为：52．
11．（3分）某种商品原价每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打“八折”，则第二次降价后售价是 （0.8p﹣8） 元．
【分析】第一次降价后的售价（p﹣10）元，第二次降价后的售后（p﹣10）×80%．
【解答】解：（p﹣10）×80%＝（0.8p﹣8）（元），
故答案为：（0.8p﹣8）．
12．（3分）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离BC＝0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长CN＝0.5m，AC在地面的影长CM＝2m，则窗户的高度AB为 1.2 m．
【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
【解答】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴，
∵CN＝0.5m，CM＝2m，BC＝0.4m，
∴，
解得：AC＝1.6m，
∴AB＝AC﹣BC＝1.6﹣0.4＝1.2（m），
故答案为：1.2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ 81° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠C＝∠DAC＝27°，根据三角形外角性质求出∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°，根据折叠的性质求出∠ADB＝∠ADB1＝54°，根据平角定义求出∠CDE＝72°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝27°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°，
∵将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，
∴∠ADB＝∠ADB1＝54°，
∵∠ADB+∠ADB1+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝72°，
∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝81°，
故答案为：81°．
14．（3分）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 5 cm．
【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可．
【解答】解：半径为15cm，圆心角为120°的扇形弧长是：，
设圆锥的底面半径是r cm，则2πr＝10π，
解得：r＝5．
故答案为：5．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（+1），其中x＝．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当时，原式＝．
16．（5分）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由AE＝DB推出AB＝DE，再利用SAS直接证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB
即AB＝DE．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
17．（5分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
【分析】根据A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，列出方程组，求解即可．
【解答】解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，
由题意，，
解得，
答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元．
18．（5分）为落实“双减”政策，充分利用好课后服务时间，某校成立了陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，现有甲、乙两位同学积极报名参加，其中一名同学随机抽取1张后，放回并混在一起，另一名同学再随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片A、B、C表示，根据题意可得画树状图如下：
共有9种可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的结有5种，
∴甲、乙两位同学中至少有一名参加因艺活动小组的概率为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②均是5×5的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）线段AB的长为 ；
（2）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰钝角三角形ABC；
（3）在图②中，以线段AB为边画一个轴对称四边形ABEF，使其面积为8．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）取格点C，使得AB＝BC，且∠ABC＞90°，连接AC即可；
（3）取格点E，F，使得AB＝BE＝EF＝AF，且，构成菱形ABEF，菱形面积为8，且为一个轴对称图形，即可得解．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）如图1，等腰△ABC如图所示；
（3）如图2，四边形ABEF如图所示，
∵AB＝BE＝EF＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，即为轴对称图形，
∵，
∴菱形面积为AE•BF＝8．
20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系式为，如图．
（1）求蓄电池的电压是多少；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
【分析】（1）根据点A的坐标确定U的值即可确定电压；
（2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（9，3）代入得：
，解得：U＝27，
即这个蓄电池的电压是27V；
（2）由（1）得：电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，
当I＝12时，，
解得：，
∵27＞0，R＞0，
∴I随R的增大而减小，
∵电流不超过12A，
∴电阻应控制的范围为．
21．（7分）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AE⊥CD，过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，构造矩形GEFB和直角△BCF、△AGB，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出BF、AG，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，交FC的延长线于点E．
过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，垂足分别为G、F．
∵AE⊥CD，BG⊥AE，BF⊥CD，
∴四边形GEFB是矩形，GB∥ED．
∴GE＝BF，∠GBC＝∠BCF＝37°．
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣37°＝53°．
在Rt△BCF中，
∵sin∠BCD＝，
∴GE＝BF＝sin∠BCD•BC≈0.6×6＝3.6（cm）．
在Rt△BAG中，∠A＝90°﹣∠ABG＝90°﹣53°＝37°．
∵csA＝，
∴AG＝csA•AB≈0.8×10＝8（cm）．
∴AE＝AG+GE＝8+3.6＝11.6（cm）．
答：点A到CD的距离为11.6cm．
22．（7分）为号召学生积极实践创新，创设浓郁学科学氛围，活跃校园科技生活，我校开展了第十一届科技节．学校随机抽取了部分学生对科技节“最喜欢的活动”进行调查：A．中国古代科技发明；B．创意机器人；C．科技改变生活；D．立体模型制作．并将调查结果绘制成了两幅统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查共调查了 50 名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为 72 °，“中国古代科技发明”部分所占的百分比是 10% ；
（4）我校共有2800名学生，估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有多少名？
【分析】（1）用C类的人数20除以所占的百分比40%即可；
（2）首先求得B和D类的对应人数，即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以D的百分比即可求出“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数，用A类的人数除以总人数即可求出“中国古代科技发明”部分所占的百分比；
（4）总人数乘以样本中C和D人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次调查共调查学生总人数为20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）B类的人数为50×30%＝15（人），
D类的人数为50﹣5﹣15﹣20＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中“立体模型制作”部分所对应的圆心角度数为360°×＝72°，
“中国古代科技发明”部分所占的百分比是×100%＝10%；
故答案为：72，10%；
（4）2800×＝1680（名），
答：估计最喜欢“科技改变生活”和“立体模型制作”的学生大约有1680名．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是 8 m/s，哥哥让小明先跑了 14 米，小明后来的速度为 3 m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间可求出哥哥的速度，由图象可知哥哥让小明先跑了多少米，根据速度＝路程÷时间先求出小明被哥哥追上之前的速度，再由题意求出小明后来的速度；
（2）根据哥哥追上小明时两人跑的路程相等求解即可；
（3）由待定系数法求出l1、l2和l3的函数关系式，根据两人之间的距离列绝对值方程并求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，哥哥的速度是24÷3＝8（m/s），哥哥让小明先跑了14m；
在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32﹣14）÷3＝6（m/s），
∴在哥哥追上小明之后，小明的速度为6÷2＝3（m/s），
故答案为：8，14，3．
（2）设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．
14+6t＝8t，解得t＝7，
∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．
（3）设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）．
将x＝3，y＝24代入y＝kx，
得3k＝24，解得k＝8，
∴y＝8x；
小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：
当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m），
∴图象交点坐标为（7，56）．
当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，
得，解得，
∴y＝6x+14（0≤x＜7）；
哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m），
∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上．
当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，
得，解得，
∴y＝3x+35（x≥7）；
综上，y＝．
两人相距10米时：
当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，
解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；
当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，
解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；
∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
24．（8分）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．
请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连结CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．
求证：四边形APDQ是平行四边形．
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连结EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连结PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连结FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为 4 ．
【分析】【教材呈现】证明△ABD≌△ECD，进而得出结论；
【结论应用】（1）由【教材呈现】得：CE＝FE，进而得出QE＝PE，进一步得出结论；
（2）根据轴对称性质可得OP＝OB＝，从而得出点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，当△EOP的边EO上的高最大时，四边形PEQF的面积最大，当hOE＝时，四边形PEQF的面积最大，进一步得出结果．
【解答】【教材呈现】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠CED，∠B＝∠ECD，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED；
【结论应用】
（1）证明：在▱ABCD中，AB∥CD，
∵点E是边AD的中点，
∴由【教材呈现】得：CE＝FE，
∵CP＝FQ，QE＝FE﹣FQ，PE＝CE﹣CP，
∴QE＝PE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴四边形APDQ是平行四边形；
（2）解：如图，
连接OB作PH⊥EF于H，
由（1）得：四边形PEQF是平行四边形，
∴S四边形PEQF＝4S△POE＝4×（）＝4×（）＝4PH，
∴当OH最大时，▱PEQF的面积最大，
∵PH≤OP，
∴当PH＝OP时，▱PEQF的面积最大，
∵点B与点P关于l对称，
∴直线l是BP的垂直平分线，
∴OP＝OB＝＝＝，
∴点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，作OP′⊥EF，交⊙O于P′，
当P运动到P′时，PH＝OP′＝，
∴S四边形PEQF最大＝4，
故答案为：4．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）如图②，当点M落在AB上时，x＝ 4 ；
（2）求点M落在AD上时x的值；
（3）若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
【分析】（1）当点M落在AB上时，可证四边形APQM是正方形，得AP＝PQ，又△CPQ是等腰直角三角形，可得CP＝PQ，即得CP＝AP＝AC，从而得到答案；
（2）点M落在AD上时，可证∠C＝∠APM＝45°，得△CAD∽△PAM，设CP＝PQ＝m，则PM＝PQ＝m，有＝，即可解得答案；
（3）分两种情况：①当Q在D下方时，可得KT＝AT，y＝S△PKT＝S△PAT，由△PAT∽△CAD，得＝（）2，即可得y＝x2；②当Q在D上方时，由AC＝8，AP＝x，得CP＝8﹣x＝PQ，即有QM＝8﹣x，PM＝（8﹣x），在等腰直角三角形APW中，PW＝＝，即得MW＝PM﹣PW＝8﹣x，故y＝S△PQM﹣S△RWM＝﹣x2+16x﹣32．
【解答】解：（1）当点M落在AB上时，如图：
∵∠BAC＝90°，PQ∥AB，△PQM是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠APQ＝∠PQM＝90°，PQ＝QM，
∴四边形APQM是正方形，
∴AP＝PQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴CP＝PQ，
∴CP＝AP＝AC＝4（cm），
∴x＝＝4（s），
故答案为：4；
（2）点M落在AD上时，如图：
∵等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠DAC＝45°＝∠C，△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝8cm，
∴CD＝4，
∵PQ∥AB，∠BAC＝90°，
∴∠APQ＝90°，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴∠QPM＝45°，
∴∠APM＝∠APQ﹣∠QPM＝45°，
∴∠C＝∠APM＝45°，
又∠CAD＝∠PAM，
∴△CAD∽△PAM，
∴＝，
设CP＝PQ＝m，则PM＝PQ＝m，
∴＝，
解得m＝，
∴AP＝AC﹣CP＝8﹣＝，
∴x＝＝；
（3）①当Q在D下方时，如图：
∵∠APQ＝90°，∠QPM＝45°，
∴∠APT＝45°＝∠PAT，
∴△APK、△APT是等腰直角三角形，
∴KT＝AT，
∴y＝S△PKT＝S△PAT，
∵∠ATP＝90°＝∠ADC，∠PAT＝∠CAD，
∴△PAT∽△CAD，
∴＝（）2，
∵CD＝AD＝4，
∴S△ADC＝16，
∵AP＝x，AC＝8，
∴＝（）2，
∴y＝x2；
②当Q在D上方时，如图：
∵AC＝8，AP＝x，
∴CP＝8﹣x＝PQ，
∴QM＝8﹣x，PM＝（8﹣x），
在等腰直角三角形APW中，
PW＝＝，
∴MW＝PM﹣PW＝8﹣x，
∴y＝S△PQM﹣S△RWM＝（8﹣x）2﹣（8﹣x）2＝﹣x2+16x﹣32，
综上所述，y＝．
26．（10分）如图，一次函数与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C．
（1）点A的坐标是 （0，﹣2） ，点B的坐标是 （4，0） ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AB下方的抛物线上有一个点D，求这个四边形ACBD面积的最大值，并写出点D坐标；
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），当线段OA绕点P逆时针旋转90°后得到线段MN．当线段MN与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，即可求得点的坐标．
（2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．
（3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
（4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2．
当y＝0时，0＝×x﹣2，x＝4，
∴点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（4，0）．
故答案为：（0，﹣2），（4，0）；
（2）抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A，点B，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，
设点D横坐标为d，
∴yF＝d﹣2，yD＝d2﹣d﹣2，
DF＝yF﹣yD，
则FD＝﹣d2+d，
抛物线上，y＝0时，x2﹣x﹣2＝0．
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝6，
∴S△ABC＝×6，2＝6．
∴S△ABD＝S△ADF+S△BDF＝×DF×OE+×DF×BE＝×DF×OB＝2DF＝﹣d2+2d．
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ADB＝﹣（d﹣2）2+8．
∴当d＝2时，四边形ADBC面积最大值为8．
∴四边形ADBC面积最大值为8，点D坐标为（2，﹣2）；
（4）如图：
，
∵点P（m，0），将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN，
∴M（m，﹣m），N（m+2，﹣m），
当点N在抛物线上时，﹣m＝（m+2）2﹣（m+2）﹣2，
解得m＝﹣3±．
当点M在抛物线上时，﹣m＝m2﹣m﹣2，
解得m＝﹣4或2．
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段MN与抛物线只有一个公共点．
例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
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