2023年吉林省松原市前郭县北部学区中考数学一模试卷（含答案）

2023年吉林省松原市前郭县北部学区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个几何体如图所示，它从左面看的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副三角板按如图所示放置，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

6.  如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是(    )

A. 或
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降______

8.  分解因式： ______ ．

9.  在甲、乙两位射击运动员的次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是          填“甲”、“乙”中的一个．

10.  不等式组的解集为______ ．

11.  一副三角尺按如图所示的位置摆放顶点与顶点重合，边与边重合，顶点，，在同一条直线上将三角尺绕着点逆时针旋转后，如果，那么为______ ．

12.  如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是______．
 

13.  学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度如图，身高的小明从路灯灯泡的正下方点处，沿着平直的道路走到达点处，测得影子长是，则路灯灯泡离地面的高度为______

14.  如图，等腰直角三角形中，，分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为______ ．
 

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
九章算术是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买本．若每人出元，则多了元；若每人出元，则少了元．问学生人数和该书单价各是多少？

17.  本小题分
如图，在▱中，点、分别在边、的延长线上，且，分别与、交于点、求证：．

18.  本小题分
年杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，现将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片，，卡片的形状、大小、质地都相同背面朝上洗匀．若先从中任意抽取张，记录后放回并洗匀，再从中任意抽取张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片图案相同的概率．
 

19.  本小题分
一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆出发，沿北偏东的方向行走米到达石鼓书院处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东方向的雁峰公园处，如图所示．
求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
若这名徒步爱好者以米分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在分钟内能否到达宾馆？

20.  本小题分
如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上．
在图中画出线段，使，其中是格点．
在图中画出平行四边形，其中是格点．

21.  本小题分
为庆祝七一党的生日，某校开展了“红心向党”经典诵读比赛，从六、九年级中各随机抽取了名学生的比赛成绩百分制进行统计，下面给出部分信息：
Ⅰ八年级学生比赛成绩如下：
Ⅱ八、九年级各名学生比赛成绩的频数分布统计表如表：

Ⅲ八、九年级各名学生比赛成绩的平均数、众数、中位数如表：

根据以上信息．回答下列问题：
表中______，____________；
根据调查结果，求该校名九年级学生不低于分的人数；
在抽取的学生中，若八年级的小明和九年级的小林的成绩都为分，请根据数据说明谁的成绩在本年级抽取的学生成绩中从高到低排序更靠前．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
求，的值；
请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围；
将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积．

23.  本小题分
Ⅰ号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度无人机海拔高度与时间的关系如图两架无人机都上升了．
求的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式；
问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高米．
 

24.  本小题分
如图，已知，是射线上一动点，连接，是的中点，连接，作点关于的对称点，连接，．
当时，判断的形状，并说明理由；
当时，的形状是______ ；
当时，若，则的面积是______ ．
 

25.  本小题分
如图，在矩形中，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形当经过点时，点停止运动．设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为
当点落在边上时，______；
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
设的中点为，直接写出在整个运动过程中，点移动的距离．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点．

求的值；
点为轴上一点，其纵坐标为，连接，以为边向右作正方形．
设抛物线的顶点为，当点在上时，求的值；
当点在抛物线上时，求的值；
当抛物线与正方形有两个交点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在数轴上，和之间的整数是，所以被遮住的整数是，即，是的相反数，所以．
故选：．
根据相反数的几何意义解答，即数轴上表示相反数的两个点在原点两侧，并且到原点的距离相等．
本题考查相反数的定义，任何数前面加“”，就得到这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：．
分析：
本题考查简单几何体从不同方向看的形状，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】
解：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由三角形外角性质，可得：，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程没有实数根，
故选：．
先把一元二次方程整理为一般形式，再计算的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可判断．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
是劣弧的中点，
．
故选：．
根据圆周角与圆心角的关系可得的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案．
此题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
即气温下降，
故答案为：．
根据每登高气温的变化量为，可以得到登后，气温下降的度数．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接提取公因式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

9.【答案】乙 

【解析】

【分析】
此题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
【解答】
解：两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，
，
考核成绩更为稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．  

10.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
旋转的角度；
如图，

，
，
，
旋转的角度，
，
此种情况不合题意．
综上，．
故答案为：．
根据题意可分两种情况讨论，分别画出图形即可解答．
本题主要考查旋转的性质、平行线的性质，根据题意，能根据不同情况正确画出图形是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
【解答】
解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，
由勾股定理知：，
点的坐标是：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，
解得：，
答：路灯灯泡离地面的高度为米，
故答案为：．
由，，得到，推出∽，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，证得∽是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：等腰直角三角形中，，，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为．
本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
根据等腰直角三角形的性质结合阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案．
 

16.【答案】解：设学生有人，该书单价元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有人，该书单价元． 

【解析】设有人，该书单价元，根据“如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在和中
，
． 

【解析】利用平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
 

18.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种所有等可能出现的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的有种，
所以两次抽取的卡片图案相同． 

【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的前提．
 

19.【答案】解：作于，

由题意可得出：，米，
则；
在中，，，
，
这名徒步爱好者以米分的速度从雁峰公园返回宾馆，
他到达宾馆需要的时间为，
他在分钟内能到达宾馆． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数等知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
作于，解，即可求得的长；
在中，，，则可求出，再根据时间路程速度求出他到达宾馆需要的时间，与分钟比较即可．
 

20.【答案】解：线段即为所求．
平行四边形即为所求．
 

【解析】本题考查作图应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
利用数形结合的思想解决问题即可．
根据平行四边形的判定即可解决问题．
 

21.【答案】     

【解析】解：由题意可知，八年级学生比赛成绩在范围的有：人，故；
八年级学生比赛成绩中出现次数最多的是分，故众数；
把八年级学生比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为、中位数．
故答案为：；；；
人，
答：该校名九年级学生不低于分的人数为人；
因为，
所以小明的成绩高于全级中位数，在本年级抽取的学生成绩中从高到低排序更靠前；小林的成绩低于全级中位数，在本年级抽取的学生成绩中从高到低排序比较靠后．
由八年级学生比赛成绩可得的值，分别根据众数和中位数的定义可得、的值；
利用样本估计总体即可；
根据中位数的定义解答即可．
本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义和计算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：将代入，得
，
该反比例函数解析式为：．
将代入，得．
综上所述：，．
当时，一次函数的取值范围为，反比例函数的取值范围为．
将，代入，得
．
解得．
一次函数的解析式为，其图象与轴交于点．
将图象沿轴翻折后，得．
的面积为． 

【解析】将点坐标代入求得的值；然后将点代入反比例函数解析式求得的值即可；
用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
求出对称点坐标，求面积．
本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
 

23.【答案】解：，
设函数的表达式为，
将、代入上式得，解得，
故函数表达式为；
由题意得：，
解得，
故无人机上升，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高米． 

【解析】本题考查的是一次函数的应用，根据题意确定和的表达式是本题解题的关键．
由题意得：；再用待定系数法求出函数表达式即可；
由题意得：，即可求解．
 

24.【答案】等腰直角三角形  

【解析】解：结论：是等边三角形．
理由：如图中，

点关于的对称点为点，
，，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
结论：是等腰直角三角形．
理由：如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
如图中，

，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积的面积的面积．
故答案为：．
结论：是等边三角形．证明三边相等可得结论；
结论：是等腰直角三角形．证明，可得结论；
证明是等边三角形，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图中，

是等腰直角三角形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：；

当时，如图中，重叠部分是

，
．
当时，如图中，重叠部分是四边形，


．
当时，如图中，重叠部分是五边形，



．
综上所述：；

如图中，连接．

当点落在上时，，此时点与重合，
的中点的运动轨迹是线段，．
如图中，利用勾股定理求出，，可得结论；
分三种情形：当时，如图中，重叠部分是当时，如图中，重叠部分是四边形，当时，如图中，重叠部分是五边形，分别求解即可；
当点落在上时，，此时点与重合，推出的中点的运动轨迹是线段，利用勾股定理求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：抛物线与轴相交于点，
把点代入得，
的值为；
如图，

，
顶点的坐标为，
点在上，且点的坐标为，
；
当时，如图，

由，得，
四边形为正方形，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
把点代入得：
，
解得舍去，；
当时，如图，

由，得，
四边形为正方形，
，
点的坐标为，
点在抛物线上，
把点代入得：
，
解得舍去，，
综上可知：当点在抛物线上时，或；
当时，如图：

若在抛物线上，则抛物线与正方形有两个交点，
，
，
代入得：
，
解得或舍去，
此时的值为；
当时，如图：

若在抛物线内部，抛物线与正方形有两个交点，
由知，时在抛物线上，
此时；
若在顶点下方时，抛物线与正方形有两个交点，如图：

由知，当时，顶点在抛物线上，
此时；
综上所述，抛物线与正方形有两个交点，的范围是：或或． 

【解析】把点代入即得；
由顶点的坐标为，可得；
分两种情况：当时，点的坐标为，代入得，当时，点的坐标为，代入得，解方程可得答案；
分三种情况：当时，若在抛物线上，则抛物线与正方形有两个交点，而，代入得，可知此时的值为；当时，若在抛物线内部，抛物线与正方形有两个交点，此时；若在顶点下方时，抛物线与正方形有两个交点，此时．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是分类讨论思想的应用．