高三物理一轮复习精讲精练第一讲万有引力定律(原卷版+解析)

这是一份高三物理一轮复习精讲精练第一讲万有引力定律(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了开普勒定律，万有引力定律等内容，欢迎下载使用。

一、开普勒定律
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
知识训练
考点一、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1、(2022·潍坊二模)中国首个火星探测器“天问一号”已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
例2、 (多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
课堂随练
训练1、某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
训练2、(2021·安徽六安市示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A．8年 B．6年
C．4年 D．2年
考点二、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al( 2,自)。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝Geq \f(M,R2)。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考向1 万有引力定律的理解和简单计算
例1、(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
考向2 不同天体表面引力的比较与计算
例2、(2021·高考山东卷，T5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
考向3 重力和万有引力的关系
例3、某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A．eq \f(4π2,g1T2) B．eq \f(4π2,g2T2)
C． D．
例4、一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A．eq \f(Hg,R) B．eq \f(Rg,H＋R)
C．eq \f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(H＋R))2) D．eq \f(H2g,R2)
考向4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
例5、假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
课堂随练
训练1、(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,QP)) B．eq \r(\f(RPKg,Q))
C. eq \r(\f(RQg,KP)) D．eq \r(\f(RPg,QK))
训练2、(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
训练3、某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A． B．
C． D．
训练4、万有引力定律和库仑定律都满足与距离的二次方成反比的规律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比。例如电场中引入电场强度来反映电场的强弱，其定义式为E=，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映引力场的强弱。设地球质量为m地，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G。如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )
A． B．G
C．G D．
考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
例1、(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图3所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
图3
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
例2、(多选)(2021·八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度为eq \f(v2r,R2)
例3、假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。
课堂随练
训练1、(2022·葫芦岛一模)若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示。ρ与eq \f(1,T2)的关系图像如图所示，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。则该图像的斜率约为( )
A．1.4×1010 kg2/(N·m2)
B．1.4×1011 kg2/(N·m2)
C．7×10－10 N·m2/kg2
D．7×10－11 N·m2/kg2
训练2、(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a­x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．N的密度是M的3倍
D．Q的质量是P的6倍
训练3、已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球视为质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。
(1)北京时间2020年3月9日，中国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星(又称地球同步卫星)，它离地的高度为h，求此卫星进入地球静止轨道后正常运行时的速度v的大小(不考虑地球自转的影响)；
(2)为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F1，在南极时，用测力计测得该小物体的重力为F2，求地球的质量M。(已知地球的自转周期为T)
同步训练
1、根据开普勒第一定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是( )
A．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B．火星运动到近日点时的加速度最大
C．火星在椭圆上运动，速率相等的点总有两个
D．火星绕太阳运行过程中万有引力始终不做功
2、(多选)地球的某卫星的工作轨道为圆轨道，轨道高度为h，运行周期为T。若还知道引力常量G和地球半径R，仅利用以上条件能求出的是( )
A．地球表面的重力加速度
B．地球对该卫星的吸引力
C．该卫星绕地球运行的速度
D．该卫星绕地球运行的加速度
3、(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A．eq \r(\f(3π,Gρ)) B．eq \r(\f(4π,Gρ))
C．eq \r(\f(1,3πGρ)) D．eq \r(\f(1,4πGρ))
4、(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的 eq \r(2) 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝Geq \f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
5、(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
6、假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A．eq \f(4π2R13M,gR22T2) B．eq \f(gR22T2M,4π2R13)
C．eq \f(gR12,G) D．eq \f(gR22,G)
7、若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq \r(7).已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，不考虑气体阻力．由此可知，该行星的半径约为( )
A．eq \f(1,2)R B．eq \f(7,2)R
C．2R D．eq \f(\r(7),2)R
8、将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
9、(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
10、若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A．eq \f(R－d,R＋h) B．
C． D．
11、(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
12、(2020·东北三省三校联考一模)如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．卫星的运动属于匀变速曲线运动
B．张角θ越小的卫星，其角速度ω越大
C．根据已知量可以求地球质量
D．根据已知量可以求地球的平均密度
13、(2021·河南省豫南九校高三(上)联考)2020年7月23日，我国成功发射了天问一号火星探测器(简称“天问一号”)，天问一号从地球发射升空顺利送入预定轨道，然后沿地火转移轨道飞向火星并被火星“捕获”。某同学忽略了天问一号进入地火转移轨道后受到的地球和火星的引力影响，并构建了一个如图所示的理想化的“物理模型”：火星和地球的公转轨道均视为圆轨道，天问一号从地球出发时恰好位于地火转移椭圆轨道的近日点位置，被火星“捕获”时恰好到达椭圆轨道远日点位置，中间过程仅在太阳引力作用下运动。已知火星的公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，地球公转周期(1年)均分为12月，根据该理想模型，请帮助该同学求出：(取eq \r(5)＝2.2，eq \r(30)＝5.5)
(1)天问一号在地火转移轨道上运行的时间(以月为单位)；
(2)天问一号从地球出发进入地火转移轨道时日地连线与日火连线的夹角θ。定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其
公转周期T的平方成正比
第一讲 万有引力定律
知识梳理
一、开普勒定律
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
知识训练
考点一、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1、(2022·潍坊二模)中国首个火星探测器“天问一号”已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】B
【解析】设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律，有eq \f(Req \\al( 3,1),Teq \\al( 2,1))＝eq \f(Req \\al( 3,2),Teq \\al( 2,2))，解得T1＝eq \r(\f(27,8))年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝eq \f(2π,T)，代入数据，可得t≈401天。
例2、 (多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解析】由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为eq \f(1,2)T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq \f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
课堂随练
训练1、某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
【答案】D
【解析】据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为eq \f(T,2)，可得tab＝tdaeq \f(T,4)，C错误，D正确．
训练2、(2021·安徽六安市示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A．8年 B．6年
C．4年 D．2年
【答案】A
【解析】由开普勒第三定律得：eq \f(R3,T2)＝eq \f(\f(R＋7R,2)3,T12)，解得T1＝8年，选项A正确．
考点二、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al( 2,自)。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝Geq \f(M,R2)。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考向1 万有引力定律的理解和简单计算
例1、(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
【答案】D
【解析】在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝G，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
考向2 不同天体表面引力的比较与计算
例2、(2021·高考山东卷，T5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】B
【解析】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(mM,R2)，可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,Req \\al( 2,火))∶Geq \f(M月m玉兔,Req \\al( 2,月))＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B。
考向3 重力和万有引力的关系
例3、某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A．eq \f(4π2,g1T2) B．eq \f(4π2,g2T2)
C． D．
【答案】C
【解析】在“极点”处：mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq \f(GMm,R2)－mg1＝m(eq \f(2π,T))2R；解得：R＝，故选C.
例4、一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A．eq \f(Hg,R) B．eq \f(Rg,H＋R)
C．eq \f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(H＋R))2) D．eq \f(H2g,R2)
【答案】C
【解析】忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，有
在地球表面eq \f(Gm地m,R2)＝mg
在离地面的高度为H处eq \f(Gm地m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)＝mg′
解得g′＝eq \f(gR2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)，故C正确。
考向4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
例5、假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
【答案】A
【解析】如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重
力近似等于万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，故g＝eq \f(4,3)πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝eq \f(4,3)πρG(R－d)，联立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A正确．
课堂随练
训练1、(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,QP)) B．eq \r(\f(RPKg,Q))
C. eq \r(\f(RQg,KP)) D．eq \r(\f(RPg,QK))
【答案】D
【解析】设地球质量为M，在地球表面处，对质量为m的物体有Geq \f(Mm,R2)＝mg。设“嫦娥四号”的质量为m1，根据万有引力提供向心力得Geq \f(\f(M,Q)m1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(K\f(R,P)))2)＝m1eq \f(v2,K\f(R,P))，解得v＝eq \r(\f(RPg,QK))，故D正确。
训练2、(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】B
【解析】设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝Geq \f(M火m,R\\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq \f(M地m,R\\al(2,地))，由题意知eq \f(M火,M地)＝eq \f(1,10)，eq \f(R火,R地)＝eq \f(1,2)。联立以上各式可得eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火,M地)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R地,R火)))2＝eq \f(1,10)×eq \f(4,1)＝0.4，故B正确。
训练3、某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 由万有引力定律得G=1.1m'g，G-m'g=m'ω2R，由以上两式解得，该行星自转的角速度为ω=，B正确，A、C、D错误。
训练4、万有引力定律和库仑定律都满足与距离的二次方成反比的规律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比。例如电场中引入电场强度来反映电场的强弱，其定义式为E=，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映引力场的强弱。设地球质量为m地，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G。如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )
A． B．G
C．G D．
【答案】C
【解析】类比电场强度定义式E=，该点引力场强弱为，所以C正确。
考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
例1、(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图3所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
图3
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】B
【解析】由万有引力提供向心力有eq \f(Gm中m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，整理得eq \f(R3,T2)＝eq \f(Gm中,4π2)，可知eq \f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(\f(Req \\al(3,S2),Teq \\al(2,S2)),\f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地)))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。
例2、(多选)(2021·八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度为eq \f(v2r,R2)
【答案】BD
【解析】根据万有引力提供向心力，有Geq \f(m月m,r2)＝meq \f(v2,r)，解得m月＝eq \f(v2r,G)，月球体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq \f(m月,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有Geq \f(m月m,R2)＝mg月，又m月＝eq \f(v2r,G)，解得g月＝eq \f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。
例3、假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。
【答案】
【解析】由自由落体公式得，解得g=，设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力等于万有引力，有mg=G，设月球体积为V，V=πR3，则月球的密度为ρ=，联立以上各式得ρ=。
课堂随练
训练1、(2022·葫芦岛一模)若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示。ρ与eq \f(1,T2)的关系图像如图所示，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。则该图像的斜率约为( )
A．1.4×1010 kg2/(N·m2)
B．1.4×1011 kg2/(N·m2)
C．7×10－10 N·m2/kg2
D．7×10－11 N·m2/kg2
【答案】B
【解析】令该星球的半径为R，则星球的体积V＝eq \f(4,3)πR3，卫星绕星球做匀速圆周运动，由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，星球的密度为ρ＝eq \f(M,V)，联立解得ρ＝eq \f(3π,GT2)，由数学知识知，题中图像斜率k＝eq \f(3π,G)≈1.4×1011 kg2/（N·m2）。
训练2、(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a­x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．N的密度是M的3倍
D．Q的质量是P的6倍
【答案】AD
【解析】如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝eq \f(kx0,3a0)，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝eq \f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP，B错误，D正确；根据mg＝Geq \f(Mm,R2)得，星球质量M＝eq \f(gR2,G)，则星球的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)，所以M、N的密度之比eq \f(ρM,ρN)＝eq \f(gM,gN)·eq \f(RN,RM)＝eq \f(3,1)×eq \f(1,3)＝1，A正确，C错误。
训练3、已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球视为质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。
(1)北京时间2020年3月9日，中国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星(又称地球同步卫星)，它离地的高度为h，求此卫星进入地球静止轨道后正常运行时的速度v的大小(不考虑地球自转的影响)；
(2)为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F1，在南极时，用测力计测得该小物体的重力为F2，求地球的质量M。(已知地球的自转周期为T)
【答案】(1)eq \r(\f(gR2,R＋h)) (2)eq \f(4π2F2R3,F2－F1T2G)
【解析】(1)设该卫星的质量为m，根据万有引力定律提供向心力可得：
G＝m，
在地球表面，根据万有引力和重力的关系可得：
Geq \f(Mm,R2)＝mg，
解得：v＝eq \r(\f(GM,R＋h))＝eq \r(\f(gR2,R＋h))。
(2)设小物体的质量为m0，在赤道处，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和测力计的作用力，有：Geq \f(Mm0,R2)－F1＝m0eq \f(4π2,T2)R，
在南极有：Geq \f(Mm0,R2)＝F2，
联立可得地球的质量M＝。
同步训练
1、根据开普勒第一定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是( )
A．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B．火星运动到近日点时的加速度最大
C．火星在椭圆上运动，速率相等的点总有两个
D．火星绕太阳运行过程中万有引力始终不做功
【答案】B
【解析】根据开普勒第一定律可知，火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，结合万有引力定律F＝Geq \f(Mm,r2)可知，由于它们之间的距离在变化，则太阳对火星的万有引力的大小在变化，故A错误；根据牛顿第二定律得出：a＝Geq \f(M,r2)，故火星运动到近日点时的加速度最大，B正确；火星在椭圆上运动，对于远日点和近日点，没有其他点的速率与这两个点相等，故C错误；火星绕太阳运行的轨道是椭圆，万有引力指向地心，与运动方向不总是垂直，所以万有引力不是始终不做功，故D错误。
2、(多选)地球的某卫星的工作轨道为圆轨道，轨道高度为h，运行周期为T。若还知道引力常量G和地球半径R，仅利用以上条件能求出的是( )
A．地球表面的重力加速度
B．地球对该卫星的吸引力
C．该卫星绕地球运行的速度
D．该卫星绕地球运行的加速度
【答案】ACD
【解析】该卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)，得M＝，故根据已知量可以求得地球的质量M，再根据物体在地球表面时的重力与万有引力相等，有Geq \f(mM,R2)＝mg，在已知地球质量和半径及引力常量的情况下可以求得地球表面的重力加速度，故A正确；由于不知道该卫星的质量，故无法求出地球对该卫星的吸引力，故B错误；已知该卫星的轨道半径和周期，根据v＝eq \f(2πr,T)知，可以求出卫星绕地球运行的速度，故C正确；该卫星绕地球运动的加速度也就是卫星的向心加速度，根据a＝eq \f(4π2,T2)r，已知该卫星的轨道半径和周期可以求出其加速度，故D正确。
3、(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A．eq \r(\f(3π,Gρ)) B．eq \r(\f(4π,Gρ))
C．eq \r(\f(1,3πGρ)) D．eq \r(\f(1,4πGρ))
【答案】A
【解析】对在该星体表面附近绕其做圆周运动的卫星有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，对该星体有V＝eq \f(4,3)πR3，ρ＝eq \f(M,V)，联立可得，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，A正确。
4、(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的 eq \r(2) 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝Geq \f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
【答案】CD
【解析】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F＝Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma。因为在不同半径的轨道处g值不同，故不能由v＝eq \r(gR)得出甲、乙的速度关系，卫星的线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，可得eq \f(v甲,v乙)＝eq \r(\f(r乙,r甲))＝eq \f(\r(2),2)，故A错误；因为在不同半径的轨道上卫星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出两卫星的加速度关系，卫星的加速度a＝eq \f(GM,r2)，可得eq \f(a甲,a乙)＝eq \f(r\\al(2,乙),r\\al(2,甲))＝eq \f(1,4)，故B错误；卫星所受的向心力F＝Geq \f(Mm,r2)，两颗人造卫星质量相等，可得eq \f(F甲,F乙)＝eq \f(r\\al(2,乙),r\\al(2,甲))＝eq \f(1,4)，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，可得eq \f(T甲,T乙)＝eq \r(\f(r\\al(3,甲),r\\al(3,乙)))＝2eq \r(2)，故D正确。
5、(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
【答案】AD
【解析】设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝eq \f(2v0,g)，因此得eq \f(g′,g)＝eq \f(t,5t)＝eq \f(1,5)，选项A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(gR2,G)，则eq \f(M星,M地)＝eq \f(g′R星2,gR地2)＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,80)，选项C错误，D正确．
6、假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
A．eq \f(4π2R13M,gR22T2) B．eq \f(gR22T2M,4π2R13)
C．eq \f(gR12,G) D．eq \f(gR22,G)
【答案】A
【解析】对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知：
Geq \f(Mm,R22)＝mg
对绕火星表面做匀速圆周运动的物体有：
eq \f(GM火m,R12)＝m(eq \f(2π,T))2R1
结合两个公式可解得：M火＝eq \f(4π2R13M,gR22T2)，故A对．
7、若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq \r(7).已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，不考虑气体阻力．由此可知，该行星的半径约为( )
A．eq \f(1,2)R B．eq \f(7,2)R
C．2R D．eq \f(\r(7),2)R
【答案】C
【解析】由平抛运动规律：x＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2，得x＝v0eq \r(\f(2h,g))，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故eq \f(g行,g地)＝eq \f(7,4)；由Geq \f(Mm,R02)＝mg，可得g＝eq \f(GM,R02)，故eq \f(g行,g地)＝eq \f(\f(M行,R行2),\f(M地,R2))＝eq \f(7,4)，解得R行＝2R，选项C正确．
8、将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
【答案】C
【解析】设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误．
9、(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
【答案】C
【解析】忽略火星自转，设火星半径为R，
则火星表面处有eq \f(GMm,R2)＝mg①
可知GM＝gR2
设与周期为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知
eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r②
设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1③
设远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2④
由开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝⑤
联立①②③④⑤可得d2≈6×107 m，故选C.
10、若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A．eq \f(R－d,R＋h) B．
C． D．
【答案】C
【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有g＝Geq \f(M,R2).由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R)．根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以eq \f(a,g)＝，eq \f(g′,a)＝，故C正确，A、B、D错误．
11、(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：eq \f(GMm,R2)≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R，ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，代入可得：ρ≥eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，故C正确。
12、(2020·东北三省三校联考一模)如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．卫星的运动属于匀变速曲线运动
B．张角θ越小的卫星，其角速度ω越大
C．根据已知量可以求地球质量
D．根据已知量可以求地球的平均密度
【答案】D
【解析】卫星做匀速圆周运动，其加速度指向圆心，方向时刻在变化，它的运动为变加速曲线运动，故A错误；设地球的半径为R，则卫星的轨道半径为r＝eq \f(R,sin\f(θ,2))，可知张角θ越小的卫星的轨道半径越大，由Geq \f(Mm,r2)＝mrω2可知ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则轨道半径越大角速度越小，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，可得地球的质量M＝，则地球的平均密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝＝eq \f(3ω2,4Gπ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))3)，ω、θ、G已知，R未知，故C错误，D正确。
13、(2021·河南省豫南九校高三(上)联考)2020年7月23日，我国成功发射了天问一号火星探测器(简称“天问一号”)，天问一号从地球发射升空顺利送入预定轨道，然后沿地火转移轨道飞向火星并被火星“捕获”。某同学忽略了天问一号进入地火转移轨道后受到的地球和火星的引力影响，并构建了一个如图所示的理想化的“物理模型”：火星和地球的公转轨道均视为圆轨道，天问一号从地球出发时恰好位于地火转移椭圆轨道的近日点位置，被火星“捕获”时恰好到达椭圆轨道远日点位置，中间过程仅在太阳引力作用下运动。已知火星的公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，地球公转周期(1年)均分为12月，根据该理想模型，请帮助该同学求出：(取eq \r(5)＝2.2，eq \r(30)＝5.5)
(1)天问一号在地火转移轨道上运行的时间(以月为单位)；
(2)天问一号从地球出发进入地火转移轨道时日地连线与日火连线的夹角θ。
【答案】(1)8.25月 (2)48°
【解析】(1)根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知，天问一号在地火转移椭圆轨道上的运动周期为
T探＝＝eq \f(5\r(5),8)×12月＝16.5月
则天问一号在地火转移轨道上运行的时间为
t＝eq \f(T探,2)＝8.25月。
(2)同理可得火星运行周期为
T火＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r火,r地)))3)T地＝eq \f(3\r(6),4)×12月＝eq \f(3,4)×eq \f(\r(30),\r(5))×12月＝22.5月
火星运动的时间为t′＝eq \f(180°－θ,360°)T火
要保证天问一号正好在远日点与火星相遇，两者运动的时间应相等，即t＝t′，则有：eq \f(T探,2)＝eq \f(180°－θ,360°)T火，
解得θ＝48°。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其
公转周期T的平方成正比