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高三物理一轮复习精讲精练第一讲电场力的性质(原卷版+解析)
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这是一份高三物理一轮复习精讲精练第一讲电场力的性质(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了电荷守恒定律，库仑定律，电场等内容，欢迎下载使用。
一、电荷守恒定律
1．电荷
(1)两种电荷：自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(2)电荷量：电荷的多少叫作电荷量，用Q(或q)表示。在国际单位制中，它的单位是库仑，简称库，符号是C。正电荷的电荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。
(3)元电荷：通常把e＝1.60×10－19 C的电荷量叫做元电荷，电子和质子所带的电荷量与元电荷相同，电性相反。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)物体带电的实质：物体带电的实质是电子的得失。
二、库仑定律
1．点电荷
当带电体本身的形状和大小对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k eq \f(q1q2,r2) ，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：①真空中；②点电荷。
三、电场、电场强度及电场线
1．电场：基本性质：对放入其中的电荷有电场力的作用。
2．电场强度
(1)定义式：E＝ eq \f(F,q) ，单位：N/C或V/m。
(2)方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
(3)点电荷的电场强度：E＝k eq \f(Q,r2) ，适用于计算真空中的点电荷产生的电场。
(4)电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
(5)匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
3．电场线
(1)定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的强弱及方向，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
(2)电场线的特点
①电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
②电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
③电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
④在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
⑤沿电场线的方向电势逐渐降低。
⑥电场线和等势面在相交处垂直。
(3)几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
知识训练
考点一、库仑定律的理解与应用
1．对库仑定律的理解
(1)F＝keq \f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1、如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
例2、(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9) B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27) D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
例3、(多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放
置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是( )
A. 三个小球之间的距离均等于eq \r(2)R
B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内
C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面
D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，k为静电力常量
例4、如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
例5、如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q、QB＝3q、QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．eq \f(4,3)F B．F
C．eq \f(2,3)F D．eq \f(1,3)F
课堂随练
训练1、两个分别带有电荷量－Q和＋5Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为eq \f(r,2)，则两球间库仑力的大小为( )
A．eq \f(5F,16) B．eq \f(F,5)
C．eq \f(4F,5) D．eq \f(16F,5)
训练2、如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．eq \f(\r(2)kq2,l2)
C．eq \f(kq2,l2) D．eq \f(3kq2,2l2)
训练3、(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4eq \r(6)×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
训练4、有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)( )
A．eq \f(kq2,L2) B．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)
C．qE＋eq \f(kq2,L2) D．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)＋qE
考点二、电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式的比较
例1、真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
例2、如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O处的电场强度大小和方向为( )
A．eq \f(2kq,R2)；由O指向F B．eq \f(4kq,R2)；由O指向F
C．eq \f(2kq,R2)；由O指向C D．eq \f(4kq,R2)；由O指向C
例3、(2021·湖南高考)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
例4、直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴正向 B．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴负向
C．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴正向 D．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴负向
课堂随练
训练1、一边长为r的正三角形的三个顶点，固定有3个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q和－2q，如图，静电力常量为k，则三角形中心处O点的电场强度大小和方向( )
A．eq \f(12kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
B．eq \f(9kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
C．eq \f(12kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
D．eq \f(9kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
训练2、直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(\r(3),2)
D．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(1,2)
训练3、如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为eq \f(1,2)E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A．eq \f(\r(2)EL2,k) B．eq \f(EL2,k)
C．eq \f(2EL2,k) D．eq \f(EL2,2k)
训练4、(2022·河南省3月适应性测试)如图，一电荷量为Q的点电荷P与均匀带电圆板相距2r，此点电荷到带电圆板的垂线通过板的几何中心，A、B为垂线上两点到圆板的距离均为r，静电力常量为k。若B点的电场强度为0，则A点的电场强度大小为( )
A．eq \f(10kQ,9r2) B．eq \f(9kQ,10r2)
C．eq \f(8kQ,9r2) D．eq \f(3kQ,10r2)
题型三、电场线的性质与应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例1、某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
例2、两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
例3、(2022·山东临沂市调研)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C．粒子在M点的动能大于在N点的动能
D．粒子一定从M点运动到N点
例4、(多选)电场线能直观、方便地反映电场的分布情况．如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点向O点运动的电子加速度逐渐减小
例5、一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
课堂随练
训练1、如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
训练2、(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
训练3、如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受电场力。则点电荷由C到D运动的vt图象，以下可能正确的是( )
同步训练
1、光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
2、电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
3、一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
4、(2019·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
5、如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为( )
图6
A．eq \f(\r(3),2)E B．eq \r(3)E
C．E D．eq \f(2\r(3),3)E
6、如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．a、c两点的电场强度相同
C．b、d两点的电场强度一定等大且反向
D．e点的电场强度不为零
7、如图所示，带电荷量为＋Q1和－Q2的两个点电荷分别固定于x轴的负半轴上某点和坐标原点O处，将一个带正电的带电粒子放在x轴正半轴上的a点时恰好能处于静止，若将该粒子在x轴正半轴上b点(图中未标出)由静止释放时，该粒子向右运动，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
A．Q1＜Q2
B．b点一定在a点的右侧
C．此粒子此后做往复运动
D．此粒子此后运动的加速度一直减小
8、为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝eq \f(\r(3),q)mg B．E＝eq \f(\r(3),2q)mg
C．E＝eq \f(\r(3),3q)mg D．E＝eq \f(mg,q)
9、如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则( )
A．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,ml2)
B．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,3ml2)
C．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,3l2)
D．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,l2)
10、(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
11、在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示。若A点的电场强度大小为E，取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，则在A、B两点的连线上，电场强度的最大值为( )
A．eq \f(5,4)E B．eq \f(5,3)E
C．eq \f(25,16)E D．eq \f(25,9)E 比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
第一讲 电场力的性质
知识梳理
一、电荷守恒定律
1．电荷
(1)两种电荷：自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(2)电荷量：电荷的多少叫作电荷量，用Q(或q)表示。在国际单位制中，它的单位是库仑，简称库，符号是C。正电荷的电荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。
(3)元电荷：通常把e＝1.60×10－19 C的电荷量叫做元电荷，电子和质子所带的电荷量与元电荷相同，电性相反。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)物体带电的实质：物体带电的实质是电子的得失。
二、库仑定律
1．点电荷
当带电体本身的形状和大小对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k eq \f(q1q2,r2) ，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：①真空中；②点电荷。
三、电场、电场强度及电场线
1．电场：基本性质：对放入其中的电荷有电场力的作用。
2．电场强度
(1)定义式：E＝ eq \f(F,q) ，单位：N/C或V/m。
(2)方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
(3)点电荷的电场强度：E＝k eq \f(Q,r2) ，适用于计算真空中的点电荷产生的电场。
(4)电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
(5)匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
3．电场线
(1)定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的强弱及方向，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
(2)电场线的特点
①电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
②电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
③电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
④在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
⑤沿电场线的方向电势逐渐降低。
⑥电场线和等势面在相交处垂直。
(3)几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
知识训练
考点一、库仑定律的理解与应用
1．对库仑定律的理解
(1)F＝keq \f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1、如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
【答案】C
【解析】设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
例2、(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9) B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27) D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
【答案】D
【解析】由于小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，根据受力分析知，a、b的电荷异号。
根据库仑定律，a对c的库仑力为Fa＝k0①
b对c的库仑力为Fb＝k0②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形，得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
联立①②③式得
k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝＝eq \f(64,27)。
例3、(多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放
置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是( )
A. 三个小球之间的距离均等于eq \r(2)R
B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内
C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面
D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，k为静电力常量
【答案】CD
【解析】由小球受力分析可知，三个小球受到球壳的作用力都应沿半径指向圆心，则三小球对称分布，如图所示，
三个小球之间的距离均等于L＝2Rcs 30°＝eq \r(3)R，故A错误；由小球的平衡可知，三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面，故B错误，C正确；由库仑定律可知
FAC＝FBC＝keq \f(Q2,（\r(3)R）2)＝eq \f(kQ2,3R2)
其合力为F＝2FACcs 30°＝eq \f(\r(3)kQ2,3R2)
由平衡条件可知，每个小球对球壳内壁的作用力大小均为FN＝eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，故D正确。
例4、如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
【答案】C
【解析】根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以keq \f(Qq,x2)＝，解得x＝0.2 m，C正确。
例5、如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q、QB＝3q、QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．eq \f(4,3)F B．F
C．eq \f(2,3)F D．eq \f(1,3)F
【答案】A
【解析】对三个球的整体进行分析，根据牛顿第二定律得F＝3ma
对A、B的整体分析，根据牛顿第二定律得F1＝2ma，解得F1＝eq \f(2,3)F
即A、B对C的库仑力的合力为eq \f(2,3)F，根据库仑定律得eq \f(FBC,FAC)＝keq \f(3q·8q,L2)∶keq \f(6q·8q,4L2)＝eq \f(2,1)
分析库仑力的方向后可知FBC－FAC＝eq \f(2,3)F，解得FBC＝eq \f(4,3)F，故A正确，B、C、D错误。
课堂随练
训练1、两个分别带有电荷量－Q和＋5Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为eq \f(r,2)，则两球间库仑力的大小为( )
A．eq \f(5F,16) B．eq \f(F,5)
C．eq \f(4F,5) D．eq \f(16F,5)
【答案】D
【解析】两球相距r时，根据库仑定律F＝keq \f(Q·5Q,r2)，两球接触后，带电荷量均为2Q，则F′＝k，由以上两式可解得F′＝eq \f(16F,5)，选项D正确。
训练2、如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．eq \f(\r(2)kq2,l2)
C．eq \f(kq2,l2) D．eq \f(3kq2,2l2)
【答案】D
【解析】根据库仑定律，c电荷对a的库仑引力大小为：Fc＝，b、d电荷对a的库仑力大小均为：Fb＝Fd＝keq \f(q2,l2)，且b对a的库仑力是斥力，d对a的库仑力是引力；根据平行四边形定则，a电荷所受的静电力的合力大小为：F＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq2,l2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq2,l2)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kq2,\r(2)l2)))2)＝eq \f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确。
训练3、(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4eq \r(6)×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
【答案】ACD
【解析】两相同的小球接触后电荷量均分，故两球所带电荷量相等，选项A正确；如图所示，由几何关系可知，两球分开后，悬线与竖直方向的夹角为θ＝37°，A球所受的静电力F＝mgtan 37°＝8.0×10－4×10×0.75 N＝6.0×10－3 N，选项B错误；根据库仑定律得，F＝keq \f(qAqB,l2)＝keq \f(qB2,l2)，解得qB＝eq \r(\f(Fl2,k))＝eq \r( \f(6×10－3×0.122,9×109)) C＝4eq \r(6)×10－8 C，选项C正确；A、B两球带等量的同种电荷，故在A、B两球连线中点处的电场强度为0，选项D正确．
训练4、有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)( )
A．eq \f(kq2,L2) B．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)
C．qE＋eq \f(kq2,L2) D．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)＋qE
【答案】D
【解析】对小球受力分析如图所示，由平衡条件有FTcseq \f(θ,2)＝mg
F弹＝FTsineq \f(θ,2)＋qE＋keq \f(q2,L2)
解得F弹＝eq \f(\r(3),3)mg＋keq \f(q2,L2)＋qE，
D正确。
考点二、电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式的比较
例1、真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
【答案】C
【解析】由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝k＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误．
例2、如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O处的电场强度大小和方向为( )
A．eq \f(2kq,R2)；由O指向F B．eq \f(4kq,R2)；由O指向F
C．eq \f(2kq,R2)；由O指向C D．eq \f(4kq,R2)；由O指向C
【答案】B
【解析】由点电荷的电场强度公式可知，在A、B、C、E、F五个位置的点电荷在O点产生的电场强度大小为E＝eq \f(kq,R2)，在D位置的点电荷在O产生的场强大小为E＝eq \f(3kq,R2)，电场强度是矢量，求合电场强度应用平行四边形定则，作出电场强度的示意图，如图所示，可得A点的电场强度与D点电场强度合成后大小为E1＝ED－EA＝eq \f(2kq,R2)，方向指向A点；B点的电场强度与E点的电场强度合成后大小为E2＝EB＋EE＝eq \f(2kq,R2)，方向指向E点，C点的电场强度与F点的电场强度合成后大小为E3＝EC＋EF＝eq \f(2kq,R2)，方向指向F点，故E1、E2、E3大小相等，且E3刚好在E1与E2的角平分线上，由几何关系可知两者之间的夹角为120°，故将E1、E2合成后大小仍为E4＝eq \f(2kq,R2)，方向指向F点，再将E4与E3合成，则最终O点的合电场强度为EO＝E3＋E4＝eq \f(4kq,R2)，方向由O指向F，故选B。
例3、(2021·湖南高考)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
【答案】B
【解析】根据点电荷场强公式E＝keq \f(Q,r2)，两电荷量为q的点电荷产生的电场在P点的场强大小均为E0＝eq \f(kq,a2)，方向如图所示，则这两点电荷产生的电场在P点的合场强为E1＝eq \r(2)E0＝eq \r(2)eq \f(kq,a2)，方向如图所示；Q在P点产生的电场的场强大小为E2＝k＝eq \f(kQ,2a2)，P点的合场强为0，则E2方向如图所示，且有E1＝E2，解得Q＝2eq \r(2)q，Q为正点电荷，由几何关系可知Q的位置坐标为(0,2a)，B正确。
例4、直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴正向 B．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴负向
C．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴正向 D．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴负向
【答案】B
【解析】处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝eq \f(3kQ,4a2)，方向沿y轴负向．
课堂随练
训练1、一边长为r的正三角形的三个顶点，固定有3个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q和－2q，如图，静电力常量为k，则三角形中心处O点的电场强度大小和方向( )
A．eq \f(12kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
B．eq \f(9kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
C．eq \f(12kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
D．eq \f(9kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
【答案】B
【解析】O点是三角形的中心，到三个电荷的距离为l＝eq \f(2,3)r×sin 60°＝eq \f(\r(3),3)r，两个＋q电荷在O处产生的电场强度大小均为E1＝E2＝keq \f(q,l2)；根据对称性和几何知识得知：两个＋q在O处产生的合电场强度为E12＝E1＝keq \f(q,l2)；再与－2q在O处产生的电场强度合成，得到O点的合电场强度为E＝E12＋E3＝keq \f(q,l2)＋keq \f(2q,l2)＝keq \f(3q,l2)＝eq \f(9kq,r2)，方向指向电荷量为－2q的点电荷，故选B。
训练2、直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(\r(3),2)
D．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】若两点电荷都带正电，则两点电荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故A错误；若A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，
则A点的点电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故B错误；同理分析可知，A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电，它们在B点的场强如图所示，则cs 30°＝ eq \f(EC,EA)，设AC＝L，则AB＝ eq \r(3)L，BC＝2L，EA＝k eq \f(qA,（\r(3)L）2)，EC＝k eq \f(qC,4L2)，解得 eq \f(qA,qC)＝ eq \f(\r(3),2)，故C正确，D错误。
训练3、如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为eq \f(1,2)E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A．eq \f(\r(2)EL2,k) B．eq \f(EL2,k)
C．eq \f(2EL2,k) D．eq \f(EL2,2k)
【答案】B
【解析】因直线MN上a点的场强最大，可知场源电荷位于过a点且垂直于直线MN的直线上，设场源电荷在距离a点x的位置，则E＝keq \f(Q,x2)，场源电荷距b点的距离为eq \r(L2＋x2)，则b点的场强为eq \f(1,2)E＝keq \f(Q,x2＋L2)，联立可解得：x＝L，Q＝eq \f(EL2,k)，故B正确。
训练4、(2022·河南省3月适应性测试)如图，一电荷量为Q的点电荷P与均匀带电圆板相距2r，此点电荷到带电圆板的垂线通过板的几何中心，A、B为垂线上两点到圆板的距离均为r，静电力常量为k。若B点的电场强度为0，则A点的电场强度大小为( )
A．eq \f(10kQ,9r2) B．eq \f(9kQ,10r2)
C．eq \f(8kQ,9r2) D．eq \f(3kQ,10r2)
【答案】A
【解析】由题意可知带电圆板与点电荷P的电性相反，P和圆板在B点形成的电场强度大小均为E1＝keq \f(Q,9r2)，由对称性可知，圆板在A点的电场强度大小为keq \f(Q,9r2)，P在A点的电场强度大小为keq \f(Q,r2)，且两者方向相同，根据矢量的合成法则得A点的电场强度大小为E2＝keq \f(Q,9r2)＋keq \f(Q,r2)＝eq \f(10kQ,9r2)。
题型三、电场线的性质与应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例1、某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
【答案】C
【解析】电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线方向，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
例2、两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
【答案】C
【解析】电场线的疏密代表电场的强弱，电场线越密，代表电场越强，电场强度方向为电场线的切线方向，故从图可以看出A、B两点电场强度的大小和方向均不同，A、B错误；电场线从正电荷指向负电荷，C正确；右边点电荷周围的电场线比较密集，故此点电荷的电荷量较大，D错误。
例3、(2022·山东临沂市调研)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C．粒子在M点的动能大于在N点的动能
D．粒子一定从M点运动到N点
【答案】B
【解析】由粒子的运动轨迹可知，粒子的受力方向沿着电场线的方向，所以粒子带正电，故A错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，N点的场强大于M点场强，故粒子在N点受到的静电力大于在M点受到的静电力，所以粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，故B正确；粒子带正电，假设粒子从M运动到N，这个过程中静电力做正功，动能增大，粒子在M点的动能小于在N点的动能，故C错误；根据粒子的运动轨迹可以判断其受力方向，但不能判断出粒子一定是从M点运动到N点，故D错误．
例4、(多选)电场线能直观、方便地反映电场的分布情况．如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点向O点运动的电子加速度逐渐减小
【答案】AC
【解析】等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点场强方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其场强大小也相等，故A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点场强大小相同，由题图甲看出，A、D两点场强方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，场强最小，故C正确；由题图可知，电子从E点向O点运动过程中，电场强度逐渐增大，则静电力逐渐增大，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐增大，故D错误．
例5、一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且从A到B场强变大，电场线变密，C正确。
课堂随练
训练1、如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
【答案】C
【解析】A选项，正电荷形成的电场线是直线不是曲线，故A错；B选项，B处的电场线是没有画出来，故B错误；C选项，A点的电场线密度比B处的小，故电场力也小，所以C正确；D选项，负电荷受到的电场力沿切线的反方向，故D错误。
训练2、(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
【答案】BCD
【解析】电场线越密，场强越大，电荷受到的电场力越大，与电荷的正、负无关，故A错误，B、C、D正确。
训练3、如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受电场力。则点电荷由C到D运动的vt图象，以下可能正确的是( )
【答案】BD
【解析】由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
同步训练
1、光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
【答案】C
【解析】根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝keq \f(qAqB,r2)，即随r增加，F非线性减小．故选C.
2、电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
【答案】B
【解析】两球之间的库仑力为F＝keq \f(qAqB,r2)＝9.0×109×eq \f(4×10－6×5×10－6,0.32) N＝2 N，小球B受到的重力大小为GB＝2 N，且F与竖直方向夹角为60°，F＝GB，故小球B受到的库仑力，重力以及细线的拉力，组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B正确。
3、一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
【答案】B
【解析】根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加A球带电荷量，根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使A球带电荷量变为－Q，则小球B受到向右的库仑引力，向右偏，与A球的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误．
4、(2019·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
【答案】D
【解析】对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受静电力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，Q对P的静电力水平向右，则匀强电场对P的静电力应水平向左，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项C错误，D正确．
5、如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为( )
图6
A．eq \f(\r(3),2)E B．eq \r(3)E
C．E D．eq \f(2\r(3),3)E
【答案】D
【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)可知，B、C处所放正电荷在A处的电场强度大小相等，设为E1，两电荷的合电场强度方向竖直向上，由于A点的电场强度刚好为零，故匀强电场方向竖直向下，满足2E1cs 30°＝E；若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则两电荷的合电场强度大小等于E1，方向水平向左，与匀强电场叠加后，A点的电场强度大小为E′＝eq \r(E2＋Eeq \\al(2,1))，联立可解得E′＝eq \f(2\r(3),3)E，故D正确。
6、如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．a、c两点的电场强度相同
C．b、d两点的电场强度一定等大且反向
D．e点的电场强度不为零
【答案】C
【解析】设正方形边长为L，每个电荷电量为Q，对a点研究，左侧的一正一负两个电荷在a点的合电场强度方向向下，大小为：F1＝eq \f(2kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)L))2)＝eq \f(8kQ,L2)，右侧的一正一负两个电荷在a点的合电场强度方向向上，大小为E2＝eq \f(2kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)L))2)·eq \f(\f(1,2)L,\f(\r(5)L,2))＝eq \f(8\r(5)kQ,25L2)，a点的合电场强度的方向向下，大小为：Ea＝E1－E2，同理，可以求出bcd各点的电场强度的大小都是E1－E2，方向分别是向右、向上、向左。所以a、c两点的电场强度一定等大而反向，b、d两点的电场强度一定等大而反向。故A、B错误， C正确；由图可知，两个正电荷在e点产生的电场强度大小相等，方向相反；两个负电荷在e点产生的电场强度也是大小相等，方向相反；所以e点的合电场强度为0。故D错误。
7、如图所示，带电荷量为＋Q1和－Q2的两个点电荷分别固定于x轴的负半轴上某点和坐标原点O处，将一个带正电的带电粒子放在x轴正半轴上的a点时恰好能处于静止，若将该粒子在x轴正半轴上b点(图中未标出)由静止释放时，该粒子向右运动，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
A．Q1＜Q2
B．b点一定在a点的右侧
C．此粒子此后做往复运动
D．此粒子此后运动的加速度一直减小
【答案】B
【解析】粒子能在a点静止，则该粒子受到两个点电荷的库仑力大小相等，方向相反，由库仑定律可知，Q1＞Q2，A项错误；根据电场叠加可知，x轴正半轴上O、a间电场强度方向向左，a点右侧电场强度方向向右，由于粒子在b点由静止释放后向右运动，因此b点一定在a点右侧，B项正确；此后粒子在电场力作用下一直向右运动，C项错误；从a点沿x轴正向电场强度先增大后减小，因此粒子运动的加速度可能先增大后减小，可能一直减小，D项错误。
8、为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝eq \f(\r(3),q)mg B．E＝eq \f(\r(3),2q)mg
C．E＝eq \f(\r(3),3q)mg D．E＝eq \f(mg,q)
【答案】D
【解析】设该匀强电场方向与竖直方向的夹角为β，则开始时，根据平衡条件，水平方向有：T1sin60°＝qEsinβ，竖直方向有：T1cs60°＋qEcsβ＝mg；当用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后电荷量减半，此时水平方向有：T2sin30°＝eq \f(1,2)qEsinβ，竖直方向有：T2cs30°＋eq \f(1,2)qEcsβ＝mg，联立解得qE＝mg，β＝60°，即E＝eq \f(mg,q)，故D正确。
9、如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则( )
A．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,ml2)
B．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,3ml2)
C．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,3l2)
D．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,l2)
【答案】B
【解析】设轻绳的拉力为FT，则对A：FT＋FTcs 60°＝keq \f(q2,l2)，FTcs 30°＝maA，联立解得aA＝eq \f(\r(3)kq2,3ml2)，故B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝eq \f(2\r(3)kq2,3l2)，故C、D错误。
10、(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
【答案】BC
【解析】根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq \f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq \f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcs 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq \f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误。
11、在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示。若A点的电场强度大小为E，取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，则在A、B两点的连线上，电场强度的最大值为( )
A．eq \f(5,4)E B．eq \f(5,3)E
C．eq \f(25,16)E D．eq \f(25,9)E
【答案】D
【解析】沿两场强方向指示线反向延长，交点O为带正电的场源电荷位置，如图所示，设O、A距离为r，由点电荷场强公式可得，A点场强为E＝keq \f(Q,r2)，过O点作AB垂线，垂足为C，A、B连线上的C点离场源电荷最近，场强最大，最大值为E′＝k，联立解得E′＝eq \f(25,9)E，故选D。
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
一、电荷守恒定律
1．电荷
(1)两种电荷：自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(2)电荷量：电荷的多少叫作电荷量，用Q(或q)表示。在国际单位制中，它的单位是库仑，简称库，符号是C。正电荷的电荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。
(3)元电荷：通常把e＝1.60×10－19 C的电荷量叫做元电荷，电子和质子所带的电荷量与元电荷相同，电性相反。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)物体带电的实质：物体带电的实质是电子的得失。
二、库仑定律
1．点电荷
当带电体本身的形状和大小对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k eq \f(q1q2,r2) ，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：①真空中；②点电荷。
三、电场、电场强度及电场线
1．电场：基本性质：对放入其中的电荷有电场力的作用。
2．电场强度
(1)定义式：E＝ eq \f(F,q) ，单位：N/C或V/m。
(2)方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
(3)点电荷的电场强度：E＝k eq \f(Q,r2) ，适用于计算真空中的点电荷产生的电场。
(4)电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
(5)匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
3．电场线
(1)定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的强弱及方向，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
(2)电场线的特点
①电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
②电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
③电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
④在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
⑤沿电场线的方向电势逐渐降低。
⑥电场线和等势面在相交处垂直。
(3)几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
知识训练
考点一、库仑定律的理解与应用
1．对库仑定律的理解
(1)F＝keq \f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1、如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
例2、(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9) B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27) D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
例3、(多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放
置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是( )
A. 三个小球之间的距离均等于eq \r(2)R
B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内
C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面
D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，k为静电力常量
例4、如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
例5、如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q、QB＝3q、QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．eq \f(4,3)F B．F
C．eq \f(2,3)F D．eq \f(1,3)F
课堂随练
训练1、两个分别带有电荷量－Q和＋5Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为eq \f(r,2)，则两球间库仑力的大小为( )
A．eq \f(5F,16) B．eq \f(F,5)
C．eq \f(4F,5) D．eq \f(16F,5)
训练2、如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．eq \f(\r(2)kq2,l2)
C．eq \f(kq2,l2) D．eq \f(3kq2,2l2)
训练3、(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4eq \r(6)×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
训练4、有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)( )
A．eq \f(kq2,L2) B．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)
C．qE＋eq \f(kq2,L2) D．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)＋qE
考点二、电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式的比较
例1、真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
例2、如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O处的电场强度大小和方向为( )
A．eq \f(2kq,R2)；由O指向F B．eq \f(4kq,R2)；由O指向F
C．eq \f(2kq,R2)；由O指向C D．eq \f(4kq,R2)；由O指向C
例3、(2021·湖南高考)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
例4、直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴正向 B．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴负向
C．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴正向 D．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴负向
课堂随练
训练1、一边长为r的正三角形的三个顶点，固定有3个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q和－2q，如图，静电力常量为k，则三角形中心处O点的电场强度大小和方向( )
A．eq \f(12kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
B．eq \f(9kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
C．eq \f(12kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
D．eq \f(9kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
训练2、直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(\r(3),2)
D．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(1,2)
训练3、如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为eq \f(1,2)E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A．eq \f(\r(2)EL2,k) B．eq \f(EL2,k)
C．eq \f(2EL2,k) D．eq \f(EL2,2k)
训练4、(2022·河南省3月适应性测试)如图，一电荷量为Q的点电荷P与均匀带电圆板相距2r，此点电荷到带电圆板的垂线通过板的几何中心，A、B为垂线上两点到圆板的距离均为r，静电力常量为k。若B点的电场强度为0，则A点的电场强度大小为( )
A．eq \f(10kQ,9r2) B．eq \f(9kQ,10r2)
C．eq \f(8kQ,9r2) D．eq \f(3kQ,10r2)
题型三、电场线的性质与应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例1、某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
例2、两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
例3、(2022·山东临沂市调研)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C．粒子在M点的动能大于在N点的动能
D．粒子一定从M点运动到N点
例4、(多选)电场线能直观、方便地反映电场的分布情况．如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点向O点运动的电子加速度逐渐减小
例5、一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
课堂随练
训练1、如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
训练2、(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
训练3、如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受电场力。则点电荷由C到D运动的vt图象，以下可能正确的是( )
同步训练
1、光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
2、电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
3、一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
4、(2019·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
5、如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为( )
图6
A．eq \f(\r(3),2)E B．eq \r(3)E
C．E D．eq \f(2\r(3),3)E
6、如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．a、c两点的电场强度相同
C．b、d两点的电场强度一定等大且反向
D．e点的电场强度不为零
7、如图所示，带电荷量为＋Q1和－Q2的两个点电荷分别固定于x轴的负半轴上某点和坐标原点O处，将一个带正电的带电粒子放在x轴正半轴上的a点时恰好能处于静止，若将该粒子在x轴正半轴上b点(图中未标出)由静止释放时，该粒子向右运动，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
A．Q1＜Q2
B．b点一定在a点的右侧
C．此粒子此后做往复运动
D．此粒子此后运动的加速度一直减小
8、为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝eq \f(\r(3),q)mg B．E＝eq \f(\r(3),2q)mg
C．E＝eq \f(\r(3),3q)mg D．E＝eq \f(mg,q)
9、如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则( )
A．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,ml2)
B．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,3ml2)
C．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,3l2)
D．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,l2)
10、(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
11、在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示。若A点的电场强度大小为E，取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，则在A、B两点的连线上，电场强度的最大值为( )
A．eq \f(5,4)E B．eq \f(5,3)E
C．eq \f(25,16)E D．eq \f(25,9)E 比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
第一讲 电场力的性质
知识梳理
一、电荷守恒定律
1．电荷
(1)两种电荷：自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(2)电荷量：电荷的多少叫作电荷量，用Q(或q)表示。在国际单位制中，它的单位是库仑，简称库，符号是C。正电荷的电荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。
(3)元电荷：通常把e＝1.60×10－19 C的电荷量叫做元电荷，电子和质子所带的电荷量与元电荷相同，电性相反。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)物体带电的实质：物体带电的实质是电子的得失。
二、库仑定律
1．点电荷
当带电体本身的形状和大小对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k eq \f(q1q2,r2) ，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：①真空中；②点电荷。
三、电场、电场强度及电场线
1．电场：基本性质：对放入其中的电荷有电场力的作用。
2．电场强度
(1)定义式：E＝ eq \f(F,q) ，单位：N/C或V/m。
(2)方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
(3)点电荷的电场强度：E＝k eq \f(Q,r2) ，适用于计算真空中的点电荷产生的电场。
(4)电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
(5)匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
3．电场线
(1)定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的强弱及方向，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
(2)电场线的特点
①电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
②电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
③电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
④在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
⑤沿电场线的方向电势逐渐降低。
⑥电场线和等势面在相交处垂直。
(3)几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
知识训练
考点一、库仑定律的理解与应用
1．对库仑定律的理解
(1)F＝keq \f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1、如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
【答案】C
【解析】设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
例2、(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9) B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27) D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
【答案】D
【解析】由于小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，根据受力分析知，a、b的电荷异号。
根据库仑定律，a对c的库仑力为Fa＝k0①
b对c的库仑力为Fb＝k0②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形，得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
联立①②③式得
k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝＝eq \f(64,27)。
例3、(多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放
置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是( )
A. 三个小球之间的距离均等于eq \r(2)R
B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内
C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面
D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，k为静电力常量
【答案】CD
【解析】由小球受力分析可知，三个小球受到球壳的作用力都应沿半径指向圆心，则三小球对称分布，如图所示，
三个小球之间的距离均等于L＝2Rcs 30°＝eq \r(3)R，故A错误；由小球的平衡可知，三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面，故B错误，C正确；由库仑定律可知
FAC＝FBC＝keq \f(Q2,（\r(3)R）2)＝eq \f(kQ2,3R2)
其合力为F＝2FACcs 30°＝eq \f(\r(3)kQ2,3R2)
由平衡条件可知，每个小球对球壳内壁的作用力大小均为FN＝eq \f(\r(3)kQ2,3R2)，故D正确。
例4、如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
【答案】C
【解析】根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以keq \f(Qq,x2)＝，解得x＝0.2 m，C正确。
例5、如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q、QB＝3q、QC＝8q。现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等。不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．eq \f(4,3)F B．F
C．eq \f(2,3)F D．eq \f(1,3)F
【答案】A
【解析】对三个球的整体进行分析，根据牛顿第二定律得F＝3ma
对A、B的整体分析，根据牛顿第二定律得F1＝2ma，解得F1＝eq \f(2,3)F
即A、B对C的库仑力的合力为eq \f(2,3)F，根据库仑定律得eq \f(FBC,FAC)＝keq \f(3q·8q,L2)∶keq \f(6q·8q,4L2)＝eq \f(2,1)
分析库仑力的方向后可知FBC－FAC＝eq \f(2,3)F，解得FBC＝eq \f(4,3)F，故A正确，B、C、D错误。
课堂随练
训练1、两个分别带有电荷量－Q和＋5Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为eq \f(r,2)，则两球间库仑力的大小为( )
A．eq \f(5F,16) B．eq \f(F,5)
C．eq \f(4F,5) D．eq \f(16F,5)
【答案】D
【解析】两球相距r时，根据库仑定律F＝keq \f(Q·5Q,r2)，两球接触后，带电荷量均为2Q，则F′＝k，由以上两式可解得F′＝eq \f(16F,5)，选项D正确。
训练2、如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．eq \f(\r(2)kq2,l2)
C．eq \f(kq2,l2) D．eq \f(3kq2,2l2)
【答案】D
【解析】根据库仑定律，c电荷对a的库仑引力大小为：Fc＝，b、d电荷对a的库仑力大小均为：Fb＝Fd＝keq \f(q2,l2)，且b对a的库仑力是斥力，d对a的库仑力是引力；根据平行四边形定则，a电荷所受的静电力的合力大小为：F＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq2,l2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq2,l2)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kq2,\r(2)l2)))2)＝eq \f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确。
训练3、(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4eq \r(6)×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
【答案】ACD
【解析】两相同的小球接触后电荷量均分，故两球所带电荷量相等，选项A正确；如图所示，由几何关系可知，两球分开后，悬线与竖直方向的夹角为θ＝37°，A球所受的静电力F＝mgtan 37°＝8.0×10－4×10×0.75 N＝6.0×10－3 N，选项B错误；根据库仑定律得，F＝keq \f(qAqB,l2)＝keq \f(qB2,l2)，解得qB＝eq \r(\f(Fl2,k))＝eq \r( \f(6×10－3×0.122,9×109)) C＝4eq \r(6)×10－8 C，选项C正确；A、B两球带等量的同种电荷，故在A、B两球连线中点处的电场强度为0，选项D正确．
训练4、有两个完全相同的小球A、B，质量均为m，带等量异种电荷，其中A所带电荷量为＋q，B所带电荷量为－q。现用两长度均为L、不可伸长的细线悬挂在天花板的O点上，两球之间夹着一根绝缘轻质弹簧。在小球所挂的空间加上一个方向水平向右、大小为E的匀强电场。如图所示，系统处于静止状态时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ＝60°，则弹簧的弹力为(静电力常量为k，重力加速度为g)( )
A．eq \f(kq2,L2) B．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)
C．qE＋eq \f(kq2,L2) D．eq \f(\r(3),3)mg＋eq \f(kq2,L2)＋qE
【答案】D
【解析】对小球受力分析如图所示，由平衡条件有FTcseq \f(θ,2)＝mg
F弹＝FTsineq \f(θ,2)＋qE＋keq \f(q2,L2)
解得F弹＝eq \f(\r(3),3)mg＋keq \f(q2,L2)＋qE，
D正确。
考点二、电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式的比较
例1、真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
【答案】C
【解析】由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝k＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误．
例2、如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O处的电场强度大小和方向为( )
A．eq \f(2kq,R2)；由O指向F B．eq \f(4kq,R2)；由O指向F
C．eq \f(2kq,R2)；由O指向C D．eq \f(4kq,R2)；由O指向C
【答案】B
【解析】由点电荷的电场强度公式可知，在A、B、C、E、F五个位置的点电荷在O点产生的电场强度大小为E＝eq \f(kq,R2)，在D位置的点电荷在O产生的场强大小为E＝eq \f(3kq,R2)，电场强度是矢量，求合电场强度应用平行四边形定则，作出电场强度的示意图，如图所示，可得A点的电场强度与D点电场强度合成后大小为E1＝ED－EA＝eq \f(2kq,R2)，方向指向A点；B点的电场强度与E点的电场强度合成后大小为E2＝EB＋EE＝eq \f(2kq,R2)，方向指向E点，C点的电场强度与F点的电场强度合成后大小为E3＝EC＋EF＝eq \f(2kq,R2)，方向指向F点，故E1、E2、E3大小相等，且E3刚好在E1与E2的角平分线上，由几何关系可知两者之间的夹角为120°，故将E1、E2合成后大小仍为E4＝eq \f(2kq,R2)，方向指向F点，再将E4与E3合成，则最终O点的合电场强度为EO＝E3＋E4＝eq \f(4kq,R2)，方向由O指向F，故选B。
例3、(2021·湖南高考)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，eq \r(2)q B．(0,2a)，2eq \r(2)q
C．(2a,0)，eq \r(2)q D．(2a,0)，2eq \r(2)q
【答案】B
【解析】根据点电荷场强公式E＝keq \f(Q,r2)，两电荷量为q的点电荷产生的电场在P点的场强大小均为E0＝eq \f(kq,a2)，方向如图所示，则这两点电荷产生的电场在P点的合场强为E1＝eq \r(2)E0＝eq \r(2)eq \f(kq,a2)，方向如图所示；Q在P点产生的电场的场强大小为E2＝k＝eq \f(kQ,2a2)，P点的合场强为0，则E2方向如图所示，且有E1＝E2，解得Q＝2eq \r(2)q，Q为正点电荷，由几何关系可知Q的位置坐标为(0,2a)，B正确。
例4、直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴正向 B．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴负向
C．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴正向 D．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴负向
【答案】B
【解析】处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝eq \f(3kQ,4a2)，方向沿y轴负向．
课堂随练
训练1、一边长为r的正三角形的三个顶点，固定有3个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q和－2q，如图，静电力常量为k，则三角形中心处O点的电场强度大小和方向( )
A．eq \f(12kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
B．eq \f(9kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷
C．eq \f(12kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
D．eq \f(9kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷
【答案】B
【解析】O点是三角形的中心，到三个电荷的距离为l＝eq \f(2,3)r×sin 60°＝eq \f(\r(3),3)r，两个＋q电荷在O处产生的电场强度大小均为E1＝E2＝keq \f(q,l2)；根据对称性和几何知识得知：两个＋q在O处产生的合电场强度为E12＝E1＝keq \f(q,l2)；再与－2q在O处产生的电场强度合成，得到O点的合电场强度为E＝E12＋E3＝keq \f(q,l2)＋keq \f(2q,l2)＝keq \f(3q,l2)＝eq \f(9kq,r2)，方向指向电荷量为－2q的点电荷，故选B。
训练2、直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(\r(3),2)
D．A点处电荷的带电量与C点处电荷的带电量的绝对值之比为 eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】若两点电荷都带正电，则两点电荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故A错误；若A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，
则A点的点电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故B错误；同理分析可知，A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电，它们在B点的场强如图所示，则cs 30°＝ eq \f(EC,EA)，设AC＝L，则AB＝ eq \r(3)L，BC＝2L，EA＝k eq \f(qA,（\r(3)L）2)，EC＝k eq \f(qC,4L2)，解得 eq \f(qA,qC)＝ eq \f(\r(3),2)，故C正确，D错误。
训练3、如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为eq \f(1,2)E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A．eq \f(\r(2)EL2,k) B．eq \f(EL2,k)
C．eq \f(2EL2,k) D．eq \f(EL2,2k)
【答案】B
【解析】因直线MN上a点的场强最大，可知场源电荷位于过a点且垂直于直线MN的直线上，设场源电荷在距离a点x的位置，则E＝keq \f(Q,x2)，场源电荷距b点的距离为eq \r(L2＋x2)，则b点的场强为eq \f(1,2)E＝keq \f(Q,x2＋L2)，联立可解得：x＝L，Q＝eq \f(EL2,k)，故B正确。
训练4、(2022·河南省3月适应性测试)如图，一电荷量为Q的点电荷P与均匀带电圆板相距2r，此点电荷到带电圆板的垂线通过板的几何中心，A、B为垂线上两点到圆板的距离均为r，静电力常量为k。若B点的电场强度为0，则A点的电场强度大小为( )
A．eq \f(10kQ,9r2) B．eq \f(9kQ,10r2)
C．eq \f(8kQ,9r2) D．eq \f(3kQ,10r2)
【答案】A
【解析】由题意可知带电圆板与点电荷P的电性相反，P和圆板在B点形成的电场强度大小均为E1＝keq \f(Q,9r2)，由对称性可知，圆板在A点的电场强度大小为keq \f(Q,9r2)，P在A点的电场强度大小为keq \f(Q,r2)，且两者方向相同，根据矢量的合成法则得A点的电场强度大小为E2＝keq \f(Q,9r2)＋keq \f(Q,r2)＝eq \f(10kQ,9r2)。
题型三、电场线的性质与应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例1、某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
【答案】C
【解析】电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线方向，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
例2、两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
【答案】C
【解析】电场线的疏密代表电场的强弱，电场线越密，代表电场越强，电场强度方向为电场线的切线方向，故从图可以看出A、B两点电场强度的大小和方向均不同，A、B错误；电场线从正电荷指向负电荷，C正确；右边点电荷周围的电场线比较密集，故此点电荷的电荷量较大，D错误。
例3、(2022·山东临沂市调研)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C．粒子在M点的动能大于在N点的动能
D．粒子一定从M点运动到N点
【答案】B
【解析】由粒子的运动轨迹可知，粒子的受力方向沿着电场线的方向，所以粒子带正电，故A错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，N点的场强大于M点场强，故粒子在N点受到的静电力大于在M点受到的静电力，所以粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，故B正确；粒子带正电，假设粒子从M运动到N，这个过程中静电力做正功，动能增大，粒子在M点的动能小于在N点的动能，故C错误；根据粒子的运动轨迹可以判断其受力方向，但不能判断出粒子一定是从M点运动到N点，故D错误．
例4、(多选)电场线能直观、方便地反映电场的分布情况．如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点场强相同
B．A、D两点场强不同
C．B、O、C三点中，O点场强最小
D．从E点向O点运动的电子加速度逐渐减小
【答案】AC
【解析】等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点场强方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其场强大小也相等，故A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点场强大小相同，由题图甲看出，A、D两点场强方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，场强最小，故C正确；由题图可知，电子从E点向O点运动过程中，电场强度逐渐增大，则静电力逐渐增大，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐增大，故D错误．
例5、一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且从A到B场强变大，电场线变密，C正确。
课堂随练
训练1、如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
【答案】C
【解析】A选项，正电荷形成的电场线是直线不是曲线，故A错；B选项，B处的电场线是没有画出来，故B错误；C选项，A点的电场线密度比B处的小，故电场力也小，所以C正确；D选项，负电荷受到的电场力沿切线的反方向，故D错误。
训练2、(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
【答案】BCD
【解析】电场线越密，场强越大，电荷受到的电场力越大，与电荷的正、负无关，故A错误，B、C、D正确。
训练3、如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受电场力。则点电荷由C到D运动的vt图象，以下可能正确的是( )
【答案】BD
【解析】由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
同步训练
1、光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
【答案】C
【解析】根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝keq \f(qAqB,r2)，即随r增加，F非线性减小．故选C.
2、电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
【答案】B
【解析】两球之间的库仑力为F＝keq \f(qAqB,r2)＝9.0×109×eq \f(4×10－6×5×10－6,0.32) N＝2 N，小球B受到的重力大小为GB＝2 N，且F与竖直方向夹角为60°，F＝GB，故小球B受到的库仑力，重力以及细线的拉力，组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B正确。
3、一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
【答案】B
【解析】根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加A球带电荷量，根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使A球带电荷量变为－Q，则小球B受到向右的库仑引力，向右偏，与A球的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误．
4、(2019·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
【答案】D
【解析】对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受静电力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，Q对P的静电力水平向右，则匀强电场对P的静电力应水平向左，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项C错误，D正确．
5、如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为( )
图6
A．eq \f(\r(3),2)E B．eq \r(3)E
C．E D．eq \f(2\r(3),3)E
【答案】D
【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)可知，B、C处所放正电荷在A处的电场强度大小相等，设为E1，两电荷的合电场强度方向竖直向上，由于A点的电场强度刚好为零，故匀强电场方向竖直向下，满足2E1cs 30°＝E；若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则两电荷的合电场强度大小等于E1，方向水平向左，与匀强电场叠加后，A点的电场强度大小为E′＝eq \r(E2＋Eeq \\al(2,1))，联立可解得E′＝eq \f(2\r(3),3)E，故D正确。
6、如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．a、c两点的电场强度相同
C．b、d两点的电场强度一定等大且反向
D．e点的电场强度不为零
【答案】C
【解析】设正方形边长为L，每个电荷电量为Q，对a点研究，左侧的一正一负两个电荷在a点的合电场强度方向向下，大小为：F1＝eq \f(2kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)L))2)＝eq \f(8kQ,L2)，右侧的一正一负两个电荷在a点的合电场强度方向向上，大小为E2＝eq \f(2kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)L))2)·eq \f(\f(1,2)L,\f(\r(5)L,2))＝eq \f(8\r(5)kQ,25L2)，a点的合电场强度的方向向下，大小为：Ea＝E1－E2，同理，可以求出bcd各点的电场强度的大小都是E1－E2，方向分别是向右、向上、向左。所以a、c两点的电场强度一定等大而反向，b、d两点的电场强度一定等大而反向。故A、B错误， C正确；由图可知，两个正电荷在e点产生的电场强度大小相等，方向相反；两个负电荷在e点产生的电场强度也是大小相等，方向相反；所以e点的合电场强度为0。故D错误。
7、如图所示，带电荷量为＋Q1和－Q2的两个点电荷分别固定于x轴的负半轴上某点和坐标原点O处，将一个带正电的带电粒子放在x轴正半轴上的a点时恰好能处于静止，若将该粒子在x轴正半轴上b点(图中未标出)由静止释放时，该粒子向右运动，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
A．Q1＜Q2
B．b点一定在a点的右侧
C．此粒子此后做往复运动
D．此粒子此后运动的加速度一直减小
【答案】B
【解析】粒子能在a点静止，则该粒子受到两个点电荷的库仑力大小相等，方向相反，由库仑定律可知，Q1＞Q2，A项错误；根据电场叠加可知，x轴正半轴上O、a间电场强度方向向左，a点右侧电场强度方向向右，由于粒子在b点由静止释放后向右运动，因此b点一定在a点右侧，B项正确；此后粒子在电场力作用下一直向右运动，C项错误；从a点沿x轴正向电场强度先增大后减小，因此粒子运动的加速度可能先增大后减小，可能一直减小，D项错误。
8、为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝eq \f(\r(3),q)mg B．E＝eq \f(\r(3),2q)mg
C．E＝eq \f(\r(3),3q)mg D．E＝eq \f(mg,q)
【答案】D
【解析】设该匀强电场方向与竖直方向的夹角为β，则开始时，根据平衡条件，水平方向有：T1sin60°＝qEsinβ，竖直方向有：T1cs60°＋qEcsβ＝mg；当用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后电荷量减半，此时水平方向有：T2sin30°＝eq \f(1,2)qEsinβ，竖直方向有：T2cs30°＋eq \f(1,2)qEcsβ＝mg，联立解得qE＝mg，β＝60°，即E＝eq \f(mg,q)，故D正确。
9、如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则( )
A．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,ml2)
B．小环A的加速度大小为 eq \f(\r(3)kq2,3ml2)
C．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,3l2)
D．恒力F的大小为 eq \f(\r(3)kq2,l2)
【答案】B
【解析】设轻绳的拉力为FT，则对A：FT＋FTcs 60°＝keq \f(q2,l2)，FTcs 30°＝maA，联立解得aA＝eq \f(\r(3)kq2,3ml2)，故B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝eq \f(2\r(3)kq2,3l2)，故C、D错误。
10、(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
【答案】BC
【解析】根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq \f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq \f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcs 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq \f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误。
11、在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示。若A点的电场强度大小为E，取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，则在A、B两点的连线上，电场强度的最大值为( )
A．eq \f(5,4)E B．eq \f(5,3)E
C．eq \f(25,16)E D．eq \f(25,9)E
【答案】D
【解析】沿两场强方向指示线反向延长，交点O为带正电的场源电荷位置，如图所示，设O、A距离为r，由点电荷场强公式可得，A点场强为E＝keq \f(Q,r2)，过O点作AB垂线，垂足为C，A、B连线上的C点离场源电荷最近，场强最大，最大值为E′＝k，联立解得E′＝eq \f(25,9)E，故选D。
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
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