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2024年辽宁省营口市大石桥四中中考数学一模试卷 含解析
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这是一份2024年辽宁省营口市大石桥四中中考数学一模试卷 含解析，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
2．（3分）某几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a4b）3＝a7b3B．2x+3y＝5xy
C．a•a3+a2•a2＝2a4D．（m+2）2＝m2+4
5．（3分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
6．（3分）解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；③解得x＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝2
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
8．（3分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3D．x+4
9．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．B．4C．D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
13．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ ．
14．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ ．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，若CE：DE＝1：2，则BH：DH＝ ．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）按要求计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（8分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于47.4吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
18．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 人，圆心角β＝ °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
19．（8分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲与x之间的函数关系式、y乙与x（只求x＞10时直线AB）的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
20．（8分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求BC和DE的长．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：x＝3t、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP＝42m．AB＝（18﹣24）m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离，当飞机落地（高度为0m）时，求飞机飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数）．
23．（12分）问题提出
（1）如图①，PQ垂直平分线段AB，PQ交AB于点Q，连接AP，BP，AP⊥BP，点M在线段PQ上，连接AM，若∠MAB＝2∠PAM，则∠PAM＝ °；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，延长BC至E，使得BC＝CE，点D在AC上，连接DE，∠EDC＝∠A，求证：DE＝AB；
问题解决
（3）如图③，有一块足够大的四边形空地ABCD，∠A+∠D＝150°．现要规划出一个三角形EFG区域用来修建小型文化广场，其余地方铺上草坪，其中点F，G分别在AB，CD上，点E是BC的中点，EF⊥EG，BF＝64米，米，为方便市民出入广场，沿FG修建一条笔直的通道（宽度不计），请你求出通道的长度FG．
2024年辽宁省营口市大石桥四中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【分析】由正负数的概念可计算．
【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分，
故选：D．
2．（3分）某几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据视图的定义，画出这个组合体的主视图即可．
【解答】解：这个组合体的主视图为：
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a4b）3＝a7b3B．2x+3y＝5xy
C．a•a3+a2•a2＝2a4D．（m+2）2＝m2+4
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣a12b3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a4+a4＝2a4，符合题意；
D、原式＝m2+4m+4，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；③解得x＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验．
【解答】解：解分式方程：的步骤为：
①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；
②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；
③解得x＝3；
④故原方程的解为3．
其中有误的一步为④，缺少检验．
故选：D．
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝2
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
【分析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，故A正确，B错误；
图象经过第一、三、四象限，则k＞0，y随x的增大而增大，故C错误；
当x＞2时，kx+b＞0，故D错误；
故选：A．
8．（3分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3D．x+4
【分析】根据“总钱数不变”可列方程．
【解答】解：设人数为x，
则可列方程为：8x﹣3＝7x+4
故选：A．
9．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴AH＝．
∵△AHD≌△DFC，
∵AD⊥DF，
∴∠ADH+∠FDC＝90°，
∵AH⊥BD，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠FDC＝∠DAH，
∵∠AHD＝∠DFC＝90°，
∵AD＝DF，
∴△AHD≌△DFC，
∴DF＝AH＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）化简：＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
12．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡L发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：S1S3，S1S4，S2S3，S2S4，S3S1，S3S2，S4S1，S4S2，共8种，
∴能使小灯泡L发光的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ 4 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得a、b的值．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），平移后A1（3，b），B1（a，4），
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∴a＝0+2＝2，b＝0+2＝2，
∴a+b＝2+2＝4
故答案为4
14．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ 6 ．
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y＝即可求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m•5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝6．
故答案为6．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，若CE：DE＝1：2，则BH：DH＝ 5：4 ．
【分析】由CE：DE＝1：2，可设CE＝x，则DE＝2x，由正方形的性质及勾股定理可得BC＝CD＝3x，BE＝x，BD＝3x，证明△EBH∽△DBE，得出，求出BH＝，进而求出DH＝x，即可得出答案．
【解答】解：∵CE：DE＝1：2，
∴设CE＝x，则DE＝2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝CE+DE＝x+2x＝3x，
BE＝＝＝x，
BD＝＝＝3x，
∠EDB＝45°，
∵四边形BGEF是正方形，
∴∠HEB＝45°，
∴∠EDB＝∠HEB，
∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴，即，
∴BH＝，
∴DH＝DB﹣BH＝3x﹣＝x，
∴＝＝，
故答案为：5：4．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）按要求计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先计算乘方、负整数次幂、绝对值、零次幂，再算乘法，最后算加减法即可；
（2）先把除法转化为乘法，然后约分，再算加法即可．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣3+5﹣1
＝1；
（2）
＝+
＝
＝．
17．（8分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于47.4吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意列出不等式，解之取最小整数解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得，
解得，，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意得，5z+4（10﹣z）≥47.4，
解得，z≥7.4，
∴该公司应至少安排甲种货车8辆．
18．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 50 人，圆心角β＝ 144 °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
【分析】（1）由成绩合格的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量；用360°乘优秀所占比例可得β的度数；
（2）求出成绩良好的人数，即可补全条形统计图，再根据中位数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，次抽查的学生人数是10÷20%＝50（人）；
圆心角β＝×100%×360°＝144°，
故答案为：50；144；
（2）成绩良好的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
成绩的中位数落在良好等级；
（3）1000××3+1000××5
＝1080+2000
＝3080（元）．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为3080元．
19．（8分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲与x之间的函数关系式、y乙与x（只求x＞10时直线AB）的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式；
（2）将x＝15千克代入（1）中解析式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当x≥10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：yz＝12x+180（x≥10）；
（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
20．（8分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）
【分析】（1）在Rt△DBE中，，根据已知可得BE＝4，即可求解．
（2）由代入数据求得DG，进而根据，即可求解．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴△DBE是直角三角形，
在Rt△DBE中，，
∵BE＝4，
∴BD＝10，
即该支架的边BD的长为10米；
（2）根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG＝45°，且BD＝10，
∴，
即，
解得：，
在矩形GFCB中，GF＝BC＝3，
∴DF＝DG+GF＝（5+3）米．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求BC和DE的长．
【分析】（1）由AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，由切线的性质可得∠CAF＝90°，从而得到∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，推出∠F＝∠FAB，即可得证；
（2）连接AE、CD，由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，，即可求出CF＝10，得到BF＝BC＝AB＝5，由勾股定理可得AC＝6，得到，由圆周角定理可得∠AEC＝∠ADC＝90°，证明∠ACD＝∠F，得到，求出，同理可得，，证明△DBE∽△ABC，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，
∴∠F＝∠FAB，
∴AB＝BF；
（2）解：如图，连接AE、CD，
，
由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，
∴，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴CF＝10，
∴，，
∴，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠FAB＝90°，∠F＝∠FAB，
∴∠ACD＝∠F，
∴，即，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，即，
∴．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：x＝3t、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP＝42m．AB＝（18﹣24）m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离，当飞机落地（高度为0m）时，求飞机飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数）．
【分析】任务1：设抛物线的表达式为：y＝at2+bt+m，由待定系数法即可求解；
任务2：由x＝3t得：t＝x，得：y＝﹣x2+2x，即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+c，当x＝AP＝42时，y＝﹣×（42）2+2×42+c＝0，解得：c＝14；当x＝BP＝（18﹣24）+42＝1818时，同理可解．
【解答】解：任务1：设抛物线的表达式为：y＝at2+bt+m，
将（0，0）、（2，10）、（4，16）代入上式得：
，解得：，
则y＝﹣t2+6t；
任务2：由x＝3t得：t＝x，
将t＝x代入y＝﹣t2+6得：y＝﹣x2+2x，
令y＝﹣x2+2x＝0，
解得：x＝0（m）（舍去）或36（m），
即飞机飞行的水平距离为36m；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+c，
当x＝AP＝42时，y＝﹣×（42）2+2×42+c＝0，
解得：c＝14，
当x＝BP＝（18﹣24）+42＝1818时，y＝﹣×（18）2+2×（18）+c＝0，
解得：c＝18，
即14＜c＜18，
故发射台弹射口高度为：15m或16m或17m．
23．（12分）问题提出
（1）如图①，PQ垂直平分线段AB，PQ交AB于点Q，连接AP，BP，AP⊥BP，点M在线段PQ上，连接AM，若∠MAB＝2∠PAM，则∠PAM＝ 15 °；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，延长BC至E，使得BC＝CE，点D在AC上，连接DE，∠EDC＝∠A，求证：DE＝AB；
问题解决
（3）如图③，有一块足够大的四边形空地ABCD，∠A+∠D＝150°．现要规划出一个三角形EFG区域用来修建小型文化广场，其余地方铺上草坪，其中点F，G分别在AB，CD上，点E是BC的中点，EF⊥EG，BF＝64米，米，为方便市民出入广场，沿FG修建一条笔直的通道（宽度不计），请你求出通道的长度FG．
【分析】（1）由等腰直角三角形可求解；
（2）由“SAS”可证△ECD≌△BCG，可得DE＝BG，由等腰三角形的判定可得结论；
（3）由“ASA”可证△BEH≌△CEG，可得HE＝GE，CG＝BH＝16米，分别求出BP，PF的长，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：∵PQ垂直平分线段AB，
∴AP＝PB，
∵AP⊥BP，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，
∵∠MAB＝2∠PAM，
∴∠PAM＝15°，
故答案为：15；
（2）证明：如图②，延长AC到G使CG＝DC，连接BG，
∵EC＝BC，∠DCE＝∠BCG，CD＝CG，
∴△ECD≌△BCG（SAS），
∴DE＝BG，∠EDC＝∠G，
∵∠EDC＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∴AB＝GB，
∴DE＝AB；
（3）解：如图②，过点B作BH∥DC交GE的延长线于点H，过点H作AB的垂线交AB的延长线于P，连接FH，
∵BH∥DC，
∴∠ACB＝∠EBH，
又∵∠HEB＝∠GEC，EB＝EC，
∴△BEH≌△CEG（ASA），
∴HE＝GE，CG＝BH＝16米，
∵EF⊥EG，
∴EF垂直平分线段HG，
∴FH＝FG，
∵∠A+∠D＝150°，
∴∠ABC+∠C＝360°﹣150°＝210°，
∴∠ABC+∠HBE＝210°，
∴∠ABH＝150°，∠HBP＝30°，
∴米，BP＝HB•cs30°＝24米．
∴PF＝BP+BF＝24+64＝88米，
∴（米），
∴（米），
∴通道的长度FG的长为米．
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
2．（3分）某几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a4b）3＝a7b3B．2x+3y＝5xy
C．a•a3+a2•a2＝2a4D．（m+2）2＝m2+4
5．（3分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
6．（3分）解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；③解得x＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝2
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
8．（3分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3D．x+4
9．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．B．4C．D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
13．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ ．
14．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ ．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，若CE：DE＝1：2，则BH：DH＝ ．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）按要求计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（8分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于47.4吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
18．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 人，圆心角β＝ °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
19．（8分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲与x之间的函数关系式、y乙与x（只求x＞10时直线AB）的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
20．（8分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求BC和DE的长．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：x＝3t、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP＝42m．AB＝（18﹣24）m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离，当飞机落地（高度为0m）时，求飞机飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数）．
23．（12分）问题提出
（1）如图①，PQ垂直平分线段AB，PQ交AB于点Q，连接AP，BP，AP⊥BP，点M在线段PQ上，连接AM，若∠MAB＝2∠PAM，则∠PAM＝ °；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，延长BC至E，使得BC＝CE，点D在AC上，连接DE，∠EDC＝∠A，求证：DE＝AB；
问题解决
（3）如图③，有一块足够大的四边形空地ABCD，∠A+∠D＝150°．现要规划出一个三角形EFG区域用来修建小型文化广场，其余地方铺上草坪，其中点F，G分别在AB，CD上，点E是BC的中点，EF⊥EG，BF＝64米，米，为方便市民出入广场，沿FG修建一条笔直的通道（宽度不计），请你求出通道的长度FG．
2024年辽宁省营口市大石桥四中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【分析】由正负数的概念可计算．
【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分，
故选：D．
2．（3分）某几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据视图的定义，画出这个组合体的主视图即可．
【解答】解：这个组合体的主视图为：
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a4b）3＝a7b3B．2x+3y＝5xy
C．a•a3+a2•a2＝2a4D．（m+2）2＝m2+4
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣a12b3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a4+a4＝2a4，符合题意；
D、原式＝m2+4m+4，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；③解得x＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验．
【解答】解：解分式方程：的步骤为：
①方程两边同时乘最简公分母（x﹣3）；
②得整式方程：x﹣1＝2（x﹣3）+2；
③解得x＝3；
④故原方程的解为3．
其中有误的一步为④，缺少检验．
故选：D．
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝2
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
【分析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，故A正确，B错误；
图象经过第一、三、四象限，则k＞0，y随x的增大而增大，故C错误；
当x＞2时，kx+b＞0，故D错误；
故选：A．
8．（3分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3D．x+4
【分析】根据“总钱数不变”可列方程．
【解答】解：设人数为x，
则可列方程为：8x﹣3＝7x+4
故选：A．
9．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴AH＝．
∵△AHD≌△DFC，
∵AD⊥DF，
∴∠ADH+∠FDC＝90°，
∵AH⊥BD，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠FDC＝∠DAH，
∵∠AHD＝∠DFC＝90°，
∵AD＝DF，
∴△AHD≌△DFC，
∴DF＝AH＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）化简：＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
12．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡L发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：S1S3，S1S4，S2S3，S2S4，S3S1，S3S2，S4S1，S4S2，共8种，
∴能使小灯泡L发光的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ 4 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得a、b的值．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），平移后A1（3，b），B1（a，4），
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∴a＝0+2＝2，b＝0+2＝2，
∴a+b＝2+2＝4
故答案为4
14．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ 6 ．
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y＝即可求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m•5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝6．
故答案为6．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，若CE：DE＝1：2，则BH：DH＝ 5：4 ．
【分析】由CE：DE＝1：2，可设CE＝x，则DE＝2x，由正方形的性质及勾股定理可得BC＝CD＝3x，BE＝x，BD＝3x，证明△EBH∽△DBE，得出，求出BH＝，进而求出DH＝x，即可得出答案．
【解答】解：∵CE：DE＝1：2，
∴设CE＝x，则DE＝2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝CE+DE＝x+2x＝3x，
BE＝＝＝x，
BD＝＝＝3x，
∠EDB＝45°，
∵四边形BGEF是正方形，
∴∠HEB＝45°，
∴∠EDB＝∠HEB，
∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴，即，
∴BH＝，
∴DH＝DB﹣BH＝3x﹣＝x，
∴＝＝，
故答案为：5：4．
三、解答题（8道大题，共75分）
16．（10分）按要求计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先计算乘方、负整数次幂、绝对值、零次幂，再算乘法，最后算加减法即可；
（2）先把除法转化为乘法，然后约分，再算加法即可．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣3+5﹣1
＝1；
（2）
＝+
＝
＝．
17．（8分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于47.4吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意列出不等式，解之取最小整数解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得，
解得，，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意得，5z+4（10﹣z）≥47.4，
解得，z≥7.4，
∴该公司应至少安排甲种货车8辆．
18．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 50 人，圆心角β＝ 144 °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
【分析】（1）由成绩合格的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量；用360°乘优秀所占比例可得β的度数；
（2）求出成绩良好的人数，即可补全条形统计图，再根据中位数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，次抽查的学生人数是10÷20%＝50（人）；
圆心角β＝×100%×360°＝144°，
故答案为：50；144；
（2）成绩良好的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
成绩的中位数落在良好等级；
（3）1000××3+1000××5
＝1080+2000
＝3080（元）．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为3080元．
19．（8分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲与x之间的函数关系式、y乙与x（只求x＞10时直线AB）的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式；
（2）将x＝15千克代入（1）中解析式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当x≥10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：yz＝12x+180（x≥10）；
（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
20．（8分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）
【分析】（1）在Rt△DBE中，，根据已知可得BE＝4，即可求解．
（2）由代入数据求得DG，进而根据，即可求解．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴△DBE是直角三角形，
在Rt△DBE中，，
∵BE＝4，
∴BD＝10，
即该支架的边BD的长为10米；
（2）根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG＝45°，且BD＝10，
∴，
即，
解得：，
在矩形GFCB中，GF＝BC＝3，
∴DF＝DG+GF＝（5+3）米．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AC为直径的⊙O分别交边AB，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点F．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AF＝8，，求BC和DE的长．
【分析】（1）由AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，由切线的性质可得∠CAF＝90°，从而得到∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，推出∠F＝∠FAB，即可得证；
（2）连接AE、CD，由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，，即可求出CF＝10，得到BF＝BC＝AB＝5，由勾股定理可得AC＝6，得到，由圆周角定理可得∠AEC＝∠ADC＝90°，证明∠ACD＝∠F，得到，求出，同理可得，，证明△DBE∽△ABC，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴∠F+∠ACF＝90°，∠FAB+∠BAC＝90°，
∴∠F＝∠FAB，
∴AB＝BF；
（2）解：如图，连接AE、CD，
，
由（1）可得∠F＝∠BAF，AB＝BF＝BC，
∴，
∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴CF＝10，
∴，，
∴，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠FAB＝90°，∠F＝∠FAB，
∴∠ACD＝∠F，
∴，即，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，即，
∴．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：x＝3t、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如表所示．
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP＝42m．AB＝（18﹣24）m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离，当飞机落地（高度为0m）时，求飞机飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数）．
【分析】任务1：设抛物线的表达式为：y＝at2+bt+m，由待定系数法即可求解；
任务2：由x＝3t得：t＝x，得：y＝﹣x2+2x，即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+c，当x＝AP＝42时，y＝﹣×（42）2+2×42+c＝0，解得：c＝14；当x＝BP＝（18﹣24）+42＝1818时，同理可解．
【解答】解：任务1：设抛物线的表达式为：y＝at2+bt+m，
将（0，0）、（2，10）、（4，16）代入上式得：
，解得：，
则y＝﹣t2+6t；
任务2：由x＝3t得：t＝x，
将t＝x代入y＝﹣t2+6得：y＝﹣x2+2x，
令y＝﹣x2+2x＝0，
解得：x＝0（m）（舍去）或36（m），
即飞机飞行的水平距离为36m；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+c，
当x＝AP＝42时，y＝﹣×（42）2+2×42+c＝0，
解得：c＝14，
当x＝BP＝（18﹣24）+42＝1818时，y＝﹣×（18）2+2×（18）+c＝0，
解得：c＝18，
即14＜c＜18，
故发射台弹射口高度为：15m或16m或17m．
23．（12分）问题提出
（1）如图①，PQ垂直平分线段AB，PQ交AB于点Q，连接AP，BP，AP⊥BP，点M在线段PQ上，连接AM，若∠MAB＝2∠PAM，则∠PAM＝ 15 °；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，延长BC至E，使得BC＝CE，点D在AC上，连接DE，∠EDC＝∠A，求证：DE＝AB；
问题解决
（3）如图③，有一块足够大的四边形空地ABCD，∠A+∠D＝150°．现要规划出一个三角形EFG区域用来修建小型文化广场，其余地方铺上草坪，其中点F，G分别在AB，CD上，点E是BC的中点，EF⊥EG，BF＝64米，米，为方便市民出入广场，沿FG修建一条笔直的通道（宽度不计），请你求出通道的长度FG．
【分析】（1）由等腰直角三角形可求解；
（2）由“SAS”可证△ECD≌△BCG，可得DE＝BG，由等腰三角形的判定可得结论；
（3）由“ASA”可证△BEH≌△CEG，可得HE＝GE，CG＝BH＝16米，分别求出BP，PF的长，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：∵PQ垂直平分线段AB，
∴AP＝PB，
∵AP⊥BP，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，
∵∠MAB＝2∠PAM，
∴∠PAM＝15°，
故答案为：15；
（2）证明：如图②，延长AC到G使CG＝DC，连接BG，
∵EC＝BC，∠DCE＝∠BCG，CD＝CG，
∴△ECD≌△BCG（SAS），
∴DE＝BG，∠EDC＝∠G，
∵∠EDC＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∴AB＝GB，
∴DE＝AB；
（3）解：如图②，过点B作BH∥DC交GE的延长线于点H，过点H作AB的垂线交AB的延长线于P，连接FH，
∵BH∥DC，
∴∠ACB＝∠EBH，
又∵∠HEB＝∠GEC，EB＝EC，
∴△BEH≌△CEG（ASA），
∴HE＝GE，CG＝BH＝16米，
∵EF⊥EG，
∴EF垂直平分线段HG，
∴FH＝FG，
∵∠A+∠D＝150°，
∴∠ABC+∠C＝360°﹣150°＝210°，
∴∠ABC+∠HBE＝210°，
∴∠ABH＝150°，∠HBP＝30°，
∴米，BP＝HB•cs30°＝24米．
∴PF＝BP+BF＝24+64＝88米，
∴（米），
∴（米），
∴通道的长度FG的长为米．
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…
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