2023年辽宁省营口市大石桥二中中考数学三模试卷（含解析）

2023年辽宁省营口市大石桥二中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，为的弦，，为上的两点，，垂足为，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8.  如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为，若动点在轴上、则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．
以为圆心，长为半径画，交于点，连接，此时有则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，将边长为的正方形的一边与直角边分别是和的的一边重合．正方形以每秒个单位长度的速度沿向右匀速运动，当点和点重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为秒，正方形与重叠部分面积为，则关于的函数图象为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  据旅游研究院最新数据显示，年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入元，将用科学记数法表示为        ．

13.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是______．

14.  新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．年某款新能源汽车销售量为万辆，销售量逐年增加，年预估当年销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为，根据题意可列方程______．

15.  如图所示，，点在边上，，为边上一动点，连接，和关于所在直线对称，、分别为、的中点，连接并延长交所在直线于点，连接当为直角三角形时，的长为______．

16.  如图，和都是等腰直角三角形，，点是边上的动点不与点、重合，与交于点，连结下列结论：；；若，则；在内存在唯一一点，使得的值最小，若点在的延长线上，且的长为，则其中含所有正确结论的选项是______．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

19.  本小题分
如图，点是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点．
求证：∽；
若，，求的长．

20.  本小题分
如图，实验学校前方有一斜坡长米，坡度：，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体，修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
若修建的斜坡的坡角即不大于，则平台最长是多少米？
学校教学楼距离坡脚点米远即米，小明在点测得教学楼顶部的仰角即为，点、、、、在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且，问：教学楼高为多少米？结果精确到米，参考数据

21.  本小题分
如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
过点作轴且，连接，求的面积．

22.  本小题分
如图，是的直径，弦，是的中点，连接并延长到点，使，连接交于点，连接，．
求证：直线是的切线；
若长为，求的长．

23.  本小题分
某商店十月份销售一种成本价元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售量件是售价元件的一次函数，其售价，销售量的二组对应值如下表：

求销售量与售价之间的函数关系式；
十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是多少？
十一月份由于原材科上涨等因素，该商品成本价提高了元件，商品的每天销售量与销售价的关系不变，若商品的销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不得超过元件，商店十一月份销售该商品的过程中，获得的销售最大利润能否为元？说明理由．

24.  本小题分
已知，在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到，过点作交直线于点，连接，．
如图，若点在线段上且不与点、点重合时，
求证：
；

延长与直线相交于点，
当点在线段上且不与点、点重合时，如图所示，若平分，，且，求线段的长；
当点在射线上且不与点、点重合时，若时，直接写出．

 

25.  本小题分
抛物线与轴交于，两点点在点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．
如图，若点坐标为，
求抛物线的解析式；
点为线段上一点，过作轴分别与抛物线，直线交于，两点，抛物线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
已知，点的坐标为，点的坐标为，若顶点恰好在直线上，抛物线经过四个象限，且与线段有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，据此即可求得答案．
本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个组合体的主视图如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的定义画出其主视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：、和不是同类二次根式无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
．
．
，


．
故选：．
利用平行线的性质，先求出的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出．
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理．掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，


，
，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，根据圆周角定理及垂径定理可得，进而利用勾股定理即可得长．
本题主要考查圆周角定理和垂径定理，解题关键是熟练应用圆周角定理和垂径定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
在和之间，
故选：．
根据即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，正确估算出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
、在反比例函数的图象上，
点坐标为点坐标为，
，
，
，
，
，
解得：，舍．
故选：．
由正方形的边长是，得到点坐标为、点坐标为，根据三角形的面积列方程即可．
本题考查了反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质，根据题意找到面积之间的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，
，，
设，则，
，
，
，
故选：．
由题意，推出，，设，则，利用三角形内角和定理，构建方程求解．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，如图，
，，
，
∽，
，即，
，
；
当时，；
当时，如图，
，，
，
∽，
，即，
，

，
综上所述，当时，关于的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当时，关于的函数图象为平行于轴的一条线段；当时，关于的函数图象为开口向上的抛物线的一部分．
故选：．
分类讨论：当时，，，运用∽的相似比可表示，为梯形的面积，则，其图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，，其图象为平行于轴的一条线段；
当时，，，运用∽的相似比可得到，所以为三角形的面积，则，其图象为开口向上的抛物线的一部分．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
直接利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，可得从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是．
故答案为：．
用蓝色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用年某款新能源汽车的销售量年某款新能源汽车的销售量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图，
与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
是斜边的中点，
，
由勾股定理得：，
；
当时，如图，
，
，
与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图，根据对称的性质和等角对等边可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；
当时，如图，证明是等腰直角三角形，可得．
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图中，

，
，
，，
≌，
，，故正确，
，
，
，
，
取的中点，连接，，，则，
，，，四点共圆，
，故正确，
设，则，，
过点作于点，
，
，
，，
，
，故正确．
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，
，
设，则，
，
，
，故错误．
故答案为：．
正确．证明≌，可得结论；
正确．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理证明；
正确．设，则，，过点作于点，求出，，可得结论；
错误．将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，设，则，构建方程求出，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

17.【答案】解：




，
当时，原式． 

【解析】先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为． 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：是等边三角形，
；
又，；
；
∽．
解：，，
，，
∽，
，即，
解得：． 

【解析】根据等边三角形的性质可得角度之间的相等关系，再根据有两个角相等的两个三角形相似，即可求证；
由∽得出，计算即可得出
本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
 

20.【答案】解：修建的斜坡的坡角即不大于，
当时，最短，此时最长，
斜坡的坡度：，，
，
在中，，
，
由题意得：，，
，
点是的中点，
米，
米，米，
在中，米，
米，
若修建的斜坡的坡角即不大于，则平台最长约为米；
过点作，垂足为，

由题意得：，，
在中，米，，
米，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
教学楼高约为米． 

【解析】根据已知可得当时，最短，此时最长，再根据已知可知在中，，从而可得，然后根据题意可得：，，从而可得，再根据线段中点的定义可得米，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，米，从而求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：的图象过，
，
，
的图象过，
，
，
图象过，两点，
，
解得，
；
过作交于，
，，且轴，
，，
在中，，
，
．
 

【解析】将点代入反比例函数求出解析式，代入点坐标求出，代入一次函数即可得到答案；
过作交于，求出点坐标，即可得到，结合三角形面积公式求解即可得到答案；
本题考查反比例函数与一次函数结合问题，勾股定理，解题的关键是根据交点求出两个函数解析式．
 

22.【答案】证明：如图，连接．

点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，为直径的中点，
，
，
而是圆的半径，
是的切线；
解：如图，由知：，，
，
是直径，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
． 

【解析】连接根据全等三角形的判定与性质可得，再由圆周角定理及切线的判定方法可得结论；
由圆周角定理及三角函数可得，设，则，，从而可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

23.【答案】的：设关系式为，
把代入得：
，解得，
答：售量与售价之间的函数关系式为．
解：设总利润为元，
，
当时，最大，此时，
答：售价定为元，每天才能获取最大利润．最大销售利润是元．
设总利润为元，
，
对称轴为直线
，
抛物线开口向下，
当时，即时，随的增大而增大，
，
当时，最大，此时．
即，
解得舍，
当，即时，
当时，最大，此时，
将代入中，
解得，舍，
综上，当时，可或得最大利润为元． 

【解析】利用待定系数法求一次函数关系式；
先求出与的函数关系式，再依据函数增减性和自变量的取值范围确定何时利润最大；
根据题意求出与的新的函数关系式，求出对称轴，观察函数增减性，代会函数中解方程即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，掌握总利润等于总收入减去成本，然后利用二次函数求最值是本题的关键．要注意根据题意分类讨论．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；

，
，
即：，
，
∽，
；

解：设与交于点，

≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上取一点，使得，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
平分，
，
，
∽，
，
，
，
，，，
≌，
；

当点在线段上时，
，
，
由上得，，
：．
如图，当点在的延长线上时，

同理可得：：
综上所述，或． 

【解析】证明≌，进而得出结论；
证明∽，进而得出结论；
设与交于点，证明，在上取一点，使得，证明，设，则，可得，推出，再证明∽，利用相似三角形的性质求出，再证明可得结论；
证明，进而在和中，表示出和，进而求得结果．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，锐角函数定义，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是转化线段和角．
 

25.【答案】解：设抛物线解析式，
抛物线过，顶点为，
，
，
，
，
．
点为线段上一点，过作轴分别与抛物线，直线交于，两点，抛物线上是否存在点，

设，，，
连接，交于，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
为中点，为中点，
为中点，
，
，
，
为中点，
，，
，，
，
在抛物线上，
，
，
解得：，，
，．

设顶点坐标为，
顶点恰好在直线上，
，
整理得．
设点在抛物线上，
，
，
当时，，
当时或；当时；
当时，，
当时或；当时；
点的坐标为，点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点，
，
或，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，，此时抛物线与轴交点为，与线段有且只有一个公共点；
同理，当时，与线段有两个公共点；
当时，与线段有且只有一个公共点；
当时，与线段有两个公共点；
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】利用顶点式求解析式即可；
利用平行四边形对角线互相平分结合中点坐标公式求解即可；
设顶点坐标为，表示出抛物线解析式，设点在抛物线上，根据与线段有且只有一个公共点可得，列不等式计算即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的应用，利用二次函数解二次不等式，理解与线段有且只有一个公共点表示的意义是解题的关键．