2024年新高考数学题型全归纳讲义第四讲零点与复合嵌套函数(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第四讲零点与复合嵌套函数(原卷版+解析)，共82页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12001" 题型01 零点基础：二分法 PAGEREF _Tc12001 \h 1
\l "_Tc25988" 题型02 根的分布 PAGEREF _Tc25988 \h 2
\l "_Tc3513" 题型03 根的分布：指数函数二次型 PAGEREF _Tc3513 \h 3
\l "_Tc1070" 题型04 零点：切线法 PAGEREF _Tc1070 \h 3
\l "_Tc6462" 题型05 抽象函数型零点 PAGEREF _Tc6462 \h 4
\l "_Tc24497" 题型06 分段含参讨论型 PAGEREF _Tc24497 \h 5
\l "_Tc28320" 题型07 参数分界型讨论 PAGEREF _Tc28320 \h 5
\l "_Tc368" 题型08 分离参数型水平线法求零点 PAGEREF _Tc368 \h 6
\l "_Tc5853" 题型09 对数绝对值水平线法 PAGEREF _Tc5853 \h 7
\l "_Tc1771" 题型10 指数函数“一点一线”性质型 PAGEREF _Tc1771 \h 8
\l "_Tc6125" 题型11 零点：中心对称性质型 PAGEREF _Tc6125 \h 10
\l "_Tc10963" 题型12 零点：轴对称性质型 PAGEREF _Tc10963 \h 10
\l "_Tc9226" 题型13 嵌套型零点：内外自复合型 PAGEREF _Tc9226 \h 11
\l "_Tc22429" 题型14 嵌套型零点：内外双函数复合型 PAGEREF _Tc22429 \h 12
\l "_Tc111" 题型15 嵌套型零点：二次型因式分解 PAGEREF _Tc111 \h 13
\l "_Tc6084" 题型16嵌套型零点：二次型根的分布 PAGEREF _Tc6084 \h 14
\l "_Tc18198" 题型17嵌套型零点：放大型函数 PAGEREF _Tc18198 \h 14
\l "_Tc6433" 高考练场 PAGEREF _Tc6433 \h 15
热点题型归纳
题型01 零点基础：二分法
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·高三课时练习）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-1】（2021秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6B．7C．8D．9

【变式1-2】（2021·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是
A．B．C．D．
【变式1-3】（2020秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（ ）
A．4B．6C．7D．10
题型02 根的分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·甘肃武威·高三统考开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【典例1-2】（2023·高三课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．
【变式1-1】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022上·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型03 根的分布：指数函数二次型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于的方程恰有两个根为、，且、分别满足和，则

【典例1-2】．（2021·高三课时练习）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 .

【变式1-1】（2021·山西临汾·统考二模）已知函数．若存在，使得，则m的取值范围是 ．
【变式1-2】（2021上·四川遂宁·高三阶段）已知方程有两个不相等实根，则的取值范围为 ．

【变式1-3】（2022下·浙江舟山·高三舟山中学校考开学考试）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是 .
题型04 零点：切线法
【解题攻略】
【典例1-1】（2020上·湖北武汉·高三校联考）已知函数有三个零点，则（ ）
A．7B．8C．15D．16
【典例1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

【变式1-1】（2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．

【变式1-2】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

【变式1-3】（2020·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
题型05 抽象函数型零点
【解题攻略】
【典例1-1】（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高三上学期11月冬季联考数学试题）已知定义域为的偶函数的图象是连续不断的曲线，且在上单调递增，则在区间上的零点个数为（ ）
A．100B．102C．200D．202
【典例1-2】（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（ ）
A．最小值为B．最大值为C．最小值为4D．最大值为4
【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6

【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是
题型06 分段含参讨论型
【典例1-1】（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学（文科）试题）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ．

【变式1-1】已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知函数，则“”是“恰有2个零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型07 参数分界型讨论
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 .
【典例1-2】.（2021秋·山东济南·高三济南外国语学校校考期中）已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为 ．

【变式1-1】（2022秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）设，函数，若在区间内恰有9个零点，则a的取值范围是 ．
题型08 分离参数型水平线法求零点
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·山东潍坊·高三统考）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是 ．

【变式1-1】（2022上·广东汕头·高三校考）已知函数， 令，则下列说法正确的（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，有3个零点
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
【变式1-2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021上·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型09 对数绝对值水平线法
【解题攻略】
【典例1-1】．（2021上·江苏连云港·高三统考）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020上·河南信阳·高三统考）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
B．C．D．

【变式1-1】（2019·湖南·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.
A．B．C．D．

【变式1-2】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ．
【变式1-3】．（2020上·河南郑州·高三校联考中）已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则
题型10 指数函数“一点一线”性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三昆明八中校考）已知，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-1】（2023上·四川成都·高三四川省成都列五中学校考）若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023下·四川达州·高三校考阶段练习）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
题型11 零点：中心对称性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的所有零点之和等于 .
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022上·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为
A．B．C．D．

【变式1-2】（2021下·江西宜春·高三阶段性）已知函数是定义在 上的奇函数，若，则关于 的方程的所有根之和为
A．B．C．D．
【变式1-3】．（2022上·吉林松原·高三统考）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为
A．3a﹣1B．1﹣3aC．3﹣a﹣1D．1﹣3﹣a
题型12 零点：轴对称性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．

【变式1-1】（2018上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）已知函数，若互不相等），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】（2019上·天津南开·高三天津二十五中统考）已知三个函数，，的零点依次为、、，则
A．B．C．D．

【变式1-3】（2018上·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
题型13 嵌套型零点：内外自复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2015下·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是
A．当时，有3个零点；当时，有4个零点
B．当时，有4个零点；当时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
【典例1-2】（2022上·河北石家庄·高三统考）已知函数若函数的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】（2021上·天津·高三天津实验中学校考期中）已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】（2021上·安徽滁州·高三安徽省定远中学校联考）已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

【变式1-3】（2019上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
题型14 嵌套型零点：内外双函数复合型
【典例1-1】（2021上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考）已知函数，，当时，方程根的个数为（ ）.
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021上·安徽池州·高三池州市第一中学校考）设函数，，若方程有四个实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2020上·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．

【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
题型15 嵌套型零点：二次型因式分解
【典例1-1】（2020·山东德州·统考一模）已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2020下·江苏无锡·高三校考）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022秋·天津河东·高三校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为 ．

【变式1-2】（2023春·上海宝山·高三校考）已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【变式1-3】（2019·浙江衢州·衢州二中校考二模）设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为 .
题型16嵌套型零点：二次型根的分布
【典例1-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022下·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
【变式1-1】（2020下·河南·高撒 统考）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2020·河北邯郸·统考二模）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023上·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为 ．
题型17嵌套型零点：放大型函数
【解题攻略】
【典例1-1】（宁夏石嘴山市平罗中学2022届高三第四次模拟考试数学（理）试题）已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】.已知函数f(x)=1−2x−3,1≤x≤212fx2,x>2，则下列说法正确的是（ ）
A．关于x的方程f(x)−12n=0(n∈N∗)有2n+4个不同的解
B．若函数y=f(x)−kx有4个零点，则实数k的取值范围为124,16
C．对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)−3≤0恒成立
D．当x∈[2n−1,2n](n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1
【变式1-1】（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.
【变式1-2】（浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学试题）定义在R上的奇函数满足，当时，，且时，有，则函数在上的零点个数为
A．9B．8C．7D．6

【变式1-3】已知，则函数零点的个数为___________.

高考练场
1.（2021秋·吉林长春·高三校考阶段练习）若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021上·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·内蒙古包头·高三北重三中校考）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
4.（2023春·新疆乌鲁木齐·高三新疆师范大学附属中学校考开学考试）若若有两个零点，则实数的取值范围为 .
5.（四川省自贡市2021-2022学年高三第一次诊断性考试理科数学试题）定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
6.（2020秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a的取值范围是 ；的取值范围是 .
7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有3个零点，则的取值范围为 .
8.（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知函数，若关于x的方程有4个不同的解，记为，，，（），且恒成立，则的取值范围是 ．
9.（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高三校考）设函数，若实数a，b，c满足，且．则下列结论不能恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．

10.（2023上·安徽芜湖·高三统考）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为 ．

11.（2021下·河南·高三统考）已知函数为偶函数，且满足当时，则函数的所有零点之和为
A．B．C．D．

12.（2019上·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）设函数．若方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．

13.．（2022·高三课时练习）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

14.（2022·全国·高三专题练习）已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 .

15.（2023·四川成都·校联考二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16.（2022下·广西桂林·高三校考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 .

17..（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex−1,0≤x≤1,x2−4x+4,1用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．
根的分布
1.基础分布：0分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
区间分布与K分布
特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
开口方向；
判别式；
对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
指数型根的分布
换元，令，有指数函数性质知，t的最大范围为正。
注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围
根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
切线法求零点或者零点个数：
适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。
数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”
特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。
抽象型函数判断函数图像
定义域判断。
函数奇偶性判断。
函数简单性判断。
函数值正负判断
利用极限，判断无穷远处的值与“比值”
参数在分段函数分界处，需要分类讨论。分类讨论讨论点，首先是两段函数的交点处，齐次是每段函数的各自“特色”处，如二次函数如果二次项有参，则“开口”即位讨论点之一，要“多画图”，每一种情况，画处各自“小图”做对比
分离参数水平线法求零点
1.分离参数。
2.构造函数于水平线。
3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”
对数绝对值
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
指数函数，无论平移或者翻折，始终要注意函数的核心性质“一点一线”是否变化。要把“一点一线”这个核心性质提升到底数大于1或者小于1的分类讨论相同地位
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
函数中心对称：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
轴对称性的常用结论如下：
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
（1）如果函数在上满足，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．
（2）复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理．
满足形式，一般情况下，b多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。
第四讲 零点与复合嵌套函数
目录
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc1214" 题型01 零点基础：二分法 PAGEREF _Tc1214 \h 1
\l "_Tc30672" 题型02 根的分布 PAGEREF _Tc30672 \h 3
\l "_Tc5004" 题型03 根的分布：指数函数二次型 PAGEREF _Tc5004 \h 5
\l "_Tc21359" 题型04 零点：切线法 PAGEREF _Tc21359 \h 7
\l "_Tc17591" 题型05 抽象函数型零点 PAGEREF _Tc17591 \h 12
\l "_Tc24440" 题型06 分段含参讨论型 PAGEREF _Tc24440 \h 14
\l "_Tc32532" 题型07 参数分界型讨论 PAGEREF _Tc32532 \h 16
\l "_Tc23958" 题型08 分离参数型水平线法求零点 PAGEREF _Tc23958 \h 20
\l "_Tc9025" 题型09 对数绝对值水平线法 PAGEREF _Tc9025 \h 24
\l "_Tc8986" 题型10 指数函数“一点一线”性质型 PAGEREF _Tc8986 \h 27
\l "_Tc5044" 题型11 零点：中心对称性质型 PAGEREF _Tc5044 \h 30
\l "_Tc2405" 题型12 零点：轴对称性质型 PAGEREF _Tc2405 \h 34
\l "_Tc18945" 题型13 嵌套型零点：内外自复合型 PAGEREF _Tc18945 \h 36
\l "_Tc31376" 题型14 嵌套型零点：内外双函数复合型 PAGEREF _Tc31376 \h 40
\l "_Tc19308" 题型15 嵌套型零点：二次型因式分解 PAGEREF _Tc19308 \h 42
\l "_Tc17456" 题型16嵌套型零点：二次型根的分布 PAGEREF _Tc17456 \h 46
\l "_Tc7948" 题型17嵌套型零点：放大型函数 PAGEREF _Tc7948 \h 49
\l "_Tc26993" 高考练场 PAGEREF _Tc26993 \h 54
热点题型归纳
题型01 零点基础：二分法
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·高三课时练习）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据条件分析得到的单调性，然后根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，则的零点可知.
【详解】因为对任意，都有，且，
所以在上单调递增，且；
因为恒成立，所以，解得，
所以的零点为，故选：B.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.选：C
【变式1-1】（2021秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】假设对区间二等分次，则第次二等分后区间长度为，由精确度可构造不等式求得结果.
【详解】设对区间二等分次，开始时区间长为
第次二等分后区间长为 ，即
，解得：
当时， 最多需要次故选：
【变式1-2】（2021·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断.
【详解】因为，是单调增函数，又，
故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过，
只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意，
而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A.
【变式1-3】（2020秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（ ）
A．4B．6C．7D．10
【答案】D
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足精确度确定．
【详解】设需计算次，则满足，即．
由于，故计算10次就可满足要求，
所以将区间等分的次数至少是10次．故选：D．
题型02 根的分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·甘肃武威·高三统考开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.
【详解】根据题意可知；，
由韦达定理可得，解得，故选：B
【典例1-2】（2023·高三课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.
【详解】当方程没有根时，，即，
解得；
当方程有根，且根都不为负根时，， 解得，综上，，
即关于x的方程没有一个负根时，，
所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，故选:B.
【变式1-1】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：B.
【变式1-2】（2022上·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根，
所以在区间内有实根，
令，，所以在上单调递减，
所以，即，
依题意与在内有交点，
所以.故选：B
【变式1-3】（2022上·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解.
【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，
所以，解得，故.故选：A.
题型03 根的分布：指数函数二次型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于的方程恰有两个根为、，且、分别满足和，则
【答案】69
【分析】根据韦达定理求解,再构造方程根据反函数的性质求解即可.
【详解】因为,展开化简得,
故.
又,.故,.
即,.
故与分别是函数与和的两交点的横坐标.
故,即,故.
所以.故答案为：69
【典例1-2】．（2021·高三课时练习）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合方程的特点，可设（），问题转化为一元二次方程（）与两个函数有交点问题.
【详解】因为，所以，令（），则（），要想方程有实数解只需与有交点即可；设，当时，单调递增，所以，即时，解得时，有实数解
故答案为：.
【变式1-1】（2021·山西临汾·统考二模）已知函数．若存在，使得，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，则且有解等价于有解，利用根分布可求m的取值范围.
【详解】函数，若存在，使得，则，
即，设，则，
方程可化为，即关于t的方程在上有解，
令， 则或，解得，故答案为：．
【变式1-2】（2021上·四川遂宁·高三阶段）已知方程有两个不相等实根，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则方程在由两个不相等的实数根，令，则在时有两个零点，则，解得即可；
【详解】解：令，因为，所以，方程，即，因为有两个不相等实根，所以方程在由两个不相等的实数根，令，则在时有两个零点，
所以，解得，故答案为：
【变式1-3】（2022下·浙江舟山·高三舟山中学校考开学考试）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】换元令t＝2x，则t∈[，2]，转化为考虑方程k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0的根的问题.
【详解】令t＝2x，则t∈[，2]，
∴方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0，化为:k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0，
根据题意，此关于t的一元二次方程在[，2]上有零点，
整理，得:方程k(t2﹣2t+6)＝30，当t∈[，2]时存在实数解
∴k，当t∈[，2]时存在实数解
∵t2﹣2t+6＝(t﹣1)2+5∈[5，6]，∴k∈[5，6]，故答案为[5，6].
题型04 零点：切线法
【解题攻略】
【典例1-1】（2020上·湖北武汉·高三校联考）已知函数有三个零点，则（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【解析】根据有三个零点，作出和的图像，根据的图像与的图像相切，得到，然后得到，根据，得到，从而得到答案.
【详解】由有三个零点，
即方程有三个不同的解，作出和的图像，
可知两个函数的要有三个交点，则三个交点均大于0，且的图像与的图像相切，
则，，，得，，
时，与的切点横坐标不在范围内，故舍去，所以，
所以，解得.又因，即.
所以，所以.故选：B.
【典例1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，函数与的图象在上有三个交点，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上有个不同的零点，
所以，关于的方程在上有个不同的实数根，
作出函数的图象如下图所示：
函数的图象恒过点，
当时，函数的图象与轴的交点为，
①当时，即当时，函数与的图象在上仅有个不同的交点，如下图所示：
②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：
③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：
④当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，如下图所示：
⑤当时，要使得函数与的图象在上有个交点，
则与的图象在上有个交点，
则与函数在上的图象有两个交点，
即方程在上有两个不等的实根，
设，则在上有两个零点，
可得，解得，此时.
且与的图象在上有一个交点，则，解得.
由上可知，；
⑥当时，，如下图所示：
直线与函数在上的图象有三个交点.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【变式1-1】（2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，
，即，的周期为.
时，，，，
，周期为4，，
当，当，
做出函数图像，如下图所示：
令，当，，
，两边平方得，，
此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数在内与直线只有一个交点，
则满足，周期为4，范围也表示为，
所以所有的取值范围是.故选:D.
【变式1-2】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出函数与函数的图像，讨论曲线与曲线，相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得的取值范围.
【详解】作出与的图像，
如图所示， 由，整理得，
当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①的斜率；
再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，对函数求导得，
则所求切线的斜率为，所求切线即直线方程为，
直线过定点，将代入切线方程得，解得，
所以切点坐标为，所以，对应图中分界线③的斜率；
当直线过点时，则，解得，对应图中分界线②的斜率.由于函数有三个零点，由图可知，实数的范围为.故选：C
【变式1-3】（2020·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合分段函数的特点及图象，分段进行分析，转化为函数与有三个交点，结合相切状态的的值，可得的取值范围.
【详解】当时，，设与相切于点，
则，，解得.
如图，，
过端点时，斜率为
若有三个零点，则.
当时，，设与相切，
则，，
由可得或（舍），
如图，
因为时，与必有一个交点，所以若有三个零点，则.
综上可得实数的取值范围是.
题型05 抽象函数型零点
【解题攻略】
【典例1-1】（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高三上学期11月冬季联考数学试题）已知定义域为的偶函数的图象是连续不断的曲线，且在上单调递增，则在区间上的零点个数为（ ）
A．100B．102C．200D．202
【答案】A
【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.
【详解】令，得，即，
因为为偶函数，所以，
，，
所以是以4为周期的函数，
因为在上单调递增，则在上递减，
所以在一个周期内有两个零点，
故在区间上的零点个数为.
故选：A
【典例1-2】（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（ ）
A．最小值为B．最大值为C．最小值为4D．最大值为4
【答案】A
【分析】由函数只有一个零点，结合条件可得方程只有一个根，即可求出，然后可求出的最值情况.
【详解】由可得，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
因为对于任意，必有，所以，即，
因为函数只有一个零点，
所以方程只有一个根，所以，解得，
所以，令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最小值为，故选：A
【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由定义在上的奇函数可知且零点关于原点对称，利用，由可得到部分零点，即可得解；
【详解】解：是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，零点个数为奇数，又，，，，，的零点至少有这个；故选：C
【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是
【答案】
【分析】利用是奇函数且在R上的单调，转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.
【详解】令,则,则；再令,则有，且定义域为R.
是奇函数.在上有零点.在上有解；在上有解；
又∵函数是R上的单调函数,在上有解.，；
；令,则；
在上单调递减,，.故答案为：.
题型06 分段含参讨论型
【典例1-1】（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学（文科）试题）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】因为函数在上有两个零点，可知在上无零点，从而可求得的范围.
【详解】当时，，令，解得，
即函数在上有两个零点，由题意得：在上无零点.
所以在上无解，即在上无解，
当时，，所以或.故选：D
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当时，可得在上单调递减，得在上有一个零点，在上单调递增，由二次函数的性质可得在上有一个零点，当时，分， ，，四种情况分析讨论函数的零点
【详解】解： （1）当时，时，，，故在上单调递减，又最小值，所以在上有一个零点，
当时，，其对称轴为，则在上单调递增，又，，
则在上有一个零点，又，所以符合题意．
（2）当时，①时，当时，，所以，所以在上单调递减，
因为，所以因为，所以在上没有零点，
当时，，，则在上没有零点，不符合题意；
②时，当时，，令可得，又时，，单调递减；
时，，在单调递增，又，所以在上没有零点，
当肘，，，则在上没有零点，不符合题意；
③时，，当时，，令得，
当时，，单调递减；时，，单调递增，
则在上有极小值，所以在上没有零点，
在上有一个零点，满足题意；
④时，当时，，令可得，
又时，，单调递减；时，，单调递增，
且，则在上有极小值，
所以在上没有零点，时，，其对称轴为，
且，根据韦达定理可判断在上有两个零点，且两根之和为a，
时符合题意，综上所述：a的取值范围为，故答案为: ．
【变式1-1】已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当时，令可求得一个零点，则当时，采用分离变量法可知与有且仅有一个交点，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】当时，由得：，此时函数有一个零点；
当时，有且仅有一个零点，即在上有唯一解，
即与有且仅有一个交点，由二次函数图象可得图象如下图所示，
由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，
实数的取值范围为.故选：D.
【变式1-2】已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出时，函数有一个零点，故时，函数有两个零点，令，由且解出a的取值范围即可.
【详解】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，
则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．
设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．故选：C．
【变式1-3】已知函数，则“”是“恰有2个零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先计算恰有2个零点时的范围，再根据充分必要条件的定义判断.
【详解】因为当时，，所以当时有一个零点，
又因为当时是增函数，当且仅当，即时，有一个零点，
所以当且仅当时，恰有2个零点，故“”是“恰有2个零点”的必要不充分条件，
故选：B.
题型07 参数分界型讨论
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 .
【答案】 1
【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，此时；
②若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.综上，或.故答案为：1；.
【典例1-2】.（2021秋·山东济南·高三济南外国语学校校考期中）已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过讨论m的取值情况，分析零点的个数．
【详解】若m＜-2，则f（x）在（-∞，m]上无零点，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；
若-2≤m＜0，则f（x）在（-∞，m]上有1个零点x=-2，在（m，+∞）上有1个零点x=4，符合题意；
若0≤m＜4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；
若m≥4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上无零点，符合题意；
综上所述，-2≤m＜0或m≥4，即实数的取值范围为
【变式1-1】（2022秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解.
【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点，
设，即函数在区间内恰有3个零点，
当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意，
当时，函数的对称轴为，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当，即时，函数在区间上无零点，所以函数在上有三个零点，不符合题意；
当，即时，函数在区间上只有一个零点，
则当时， ，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间上有1个零点，
则函数在上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间上有2个零点，
则函数在上只有1个零点，
则或或，即无解.
综上所述， 的取值范围是.故选：D.
【变式1-2】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.
【详解】设，，
求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，
且，，故在内必有唯一零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
令，解得或2，可作出函数的图像，
令，即，在之间解得或或，
作出图像如下图数形结合可得：，故选：A
【变式1-3】（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）设，函数，若在区间内恰有9个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】讨论在上零点个数从而确定在上零点个数，然后结合正弦函数性质可得参数范围．
【详解】，当时，，
的周期是，因为，，
所以在区间上，最多有6个零点，在区间上，最多有1个零点，因此时，在区间内不可能是9个零点，
因此，的两根为，，
因为，所以，若，则，
在上有两个零点，因此在上有7个零点，
，，因此，，所以；
当时，，在区间上只有一个零点，因此在区间上有8个零点，即在上有8个零点，所以，，
综上，的取值范围是．故答案为：
题型08 分离参数型水平线法求零点
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·山东潍坊·高三统考）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，故；分和的情况讨论，显然有，从而得到答案．
【详解】解：因为，故；分和的情况讨论，显然有．
若，此时；若，则；若，因为，故，即．
且随着的增大而增大．若，此时；若，则；
若，因为；，故，即，
且随着的减小而增大．又因为一定是不同的对应不同的值．所以为使函数有且仅有3个零点，只能使，2，3；或，，．若，有；若，有；
若，有；若，有；若，有；若，有；若，有；
若，有综上所述，或，故选：B．
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先通过对题目的分析，令，将题目简单化，并转化为等价形式；再根据函数与的图象有两个交点，数形结合可判断；最后结合图形分析得出与图象的交点纵坐标与之间的关系： ，建立不等式求解即可得出答案.
【详解】令，得，
则原问题等价于存在，
使得与的图象有两个交点且两交点的横坐标之和为6，
则，作出函数与的图象如图所示，
设两图象交点的横坐标分别为，则，
故两个交点关于二次函数的图象的对称轴对称，
设点为与图象的交点，且，
联立与，解得，故，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：．
【变式1-1】（2022上·广东汕头·高三校考）已知函数， 令，则下列说法正确的（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，有3个零点
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
【答案】D
【分析】画出的图像，然后逐一判断即可.
【详解】的图像如下：
由图像可知，的增区间为，
故A错误
当时，如图
当时，与有3个交点，
当时，与有2个交点，
当时，与有1个交点，
所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，
即有3个零点或2个零点或1个零点，故B不正确；
当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，
故C错误；
当时，由B选项可知：与有1个交点，即有1个零点，
故D正确；故选：D
【变式1-2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点，借助的图象求解即可.
【详解】设，
则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.
的图象如图所示.
不妨设，所以，
所以，即，即，所以，所以，故选：A.
【变式1-3】（2021上·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】函数有三个零点，即方程有三个根，设，利用导数求出函数的单调性，结合图象即可求解.
【详解】函数有三个零点，即方程有三个根，
设，则，
令，得，，当时，，函数单调递减；
当或时，，函数单调递增；易知当时，函数取极小值，
当时，函数取极大值，又当时，，且时，；
当时，为增函数，且时，，因此函数有三个零点时，，故选：.
题型09 对数绝对值水平线法
【解题攻略】
【典例1-1】．（2021上·江苏连云港·高三统考）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，可得出直线与函数的图象交于、、、四点，由，去绝对值，结合对数的运算律，可得出的值，利用二次函数的对称性可得出的值，由此可得出的值.
【详解】作出函数和函数的图象如下图所示，则两个函数的图象共有个交点、、、，且横坐标分别为、、、，，
，由，得，
则有，所以，，
，化简得，，.
由于二次函数图象对称轴为直线，则点、两点关于直线对称，所以，.
因此，.故选：D.
【典例1-2】（2020上·河南信阳·高三统考）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】做出函数的图像，不妨设，由图像可得，根据对数的运算法则可得，且，利用对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】的图象如图，不妨设，由图象的对称性可知；
又∵，故，∴，∴；
，∵，∴，∴.
故选:C.
【变式1-1】（2019·湖南·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．
【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，，
所以当时，，因为函数有六个零点，
所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，
不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，
所以，而，所以，所以，
所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，
又当时，，所以，
所以.故选A
【变式1-2】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答.
【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
显然函数在上的图象关于直线对称，如图，
方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为，
显然，不妨令，则有，，有，
因此，而对勾函数在上单调递增，则，即，
所以的取值范围是.故答案为：
【变式1-3】．（2020上·河南郑州·高三校联考中）已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则
【答案】9
【解析】依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，根据对数知识可得，根据韦达定理可得，从而可得答案.
【详解】依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，
所以，，则，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，因为是的两个实根，所以，所以.故答案为：9
题型10 指数函数“一点一线”性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三昆明八中校考）已知，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分类讨论的范围，再结合基本不等式即可得到的范围.
【详解】因为函数，若，不妨设，
当时，由，可得，即，不成立；
当时，由，可得，即，不成立；
当时，由，可得，则，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
且，所以等号取不到，则.故选：A
【典例1-2】（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出函数的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围.
【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，
作出函数的大致图象，如图所示，
可知，，于是，所以，
，即，所以，
于是，，当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围为.故选：C．
【变式1-1】（2023上·四川成都·高三四川省成都列五中学校考）若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.
【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，
即与的图象有两个交点，画出的图象如图，
由图象可得：.故选：A.
【变式1-2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
设则
，令，
故在递增，在递减，.故选：A.
【变式1-3】（2023下·四川达州·高三校考阶段练习）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分离参数，将问题转化为直线与曲线的交点问题，数形结合解决问题.
【详解】函数的零点，
即方程的根，则，
根据题意，可知直线与的图象有三个不同的交点，
在同一直角坐标系中作出这两个函数图象，如图，

由图可知，当时，两个函数图像有三个不同的交点，
即函数有三个不同的零点.故选：B
题型11 零点：中心对称性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的所有零点之和等于 .
【答案】8
【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
详解：零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在同一个坐标系作出与()的图像，观察交点的特征，根据对称性，可以得到：，，且满足，就可以求出所有零点之和.
【详解】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，
再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，
的零点可以看做与()的图像的交点，
由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为､､､､，
则，，且满足，解得，
∴.故选：D.
【变式1-1】（2022上·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足，的值，运用对数求解满足：，可出，可求解所有根之和．
【详解】为定义在上的奇函数，
当时，，当时，
作出图象：关于的方程的根转化为的图象与图象的交点问题．由图可知关于 的方程 有根共有 个，这 个根由小到大依次记为 ，根据对称性得到零点的值满足 ，满足：，解得
所以
故选:C.
【变式1-2】（2021下·江西宜春·高三阶段性）已知函数是定义在 上的奇函数，若，则关于 的方程的所有根之和为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因,故当，的解集为空集,当,时, 函数的最小值为,则方程的解集为且.当且时,由可得；当时,函数的对称轴为,因此方程的解集为且,故该方程的这四个根的和为,所以所有根的和为,应选C.
【变式1-3】．（2022上·吉林松原·高三统考）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为
A．3a﹣1B．1﹣3aC．3﹣a﹣1D．1﹣3﹣a
【答案】B
【详解】试题分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，
x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．
解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，
得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：
如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，
x4+x5=2×4=8，﹣lg（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选B
.
题型12 零点：轴对称性质型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出的图象，转化为与有三个交点，根据函数的对称性，从而求解的值．
【详解】定义域为的函数，作出的图象，
关于的方程恰有3个不同的实数，则转化为与有三个交点，即，不妨设，此时，根据图象与关于对称，
所以则．故选：A．
【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，令，可得出，转化为函数与函数图象交点横坐标之和，数形结合可得出结果.
【详解】由于函数为上的奇函数，则，，
所以，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，
令，可得，则函数在区间上的零点之和为函数与函数在区间上图象交点横坐标之和，如下图所示：
由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点对称，
因此，函数在区间上的所有零点之和为.故选：D.
【变式1-1】（2018上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）已知函数，若互不相等），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】做出函数图像，由图象得出三个交点的横坐标关系，以及交点横坐标的取值范围，即可求解.
【详解】做出函数的图象如图，设，则，
因此,得于是，故选:C.
【变式1-2】（2019上·天津南开·高三天津二十五中统考）已知三个函数，，的零点依次为、、，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.
【详解】令，得出，令，得出，
则函数与函数、交点的横坐标分别为、.
函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，
如下图所示：

联立，得，则点，
由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，
由题意得，解得，因此，.故选：C.
【变式1-3】（2018上·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，
又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.
故选A．
题型13 嵌套型零点：内外自复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2015下·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是
A．当时，有3个零点；当时，有4个零点
B．当时，有4个零点；当时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
【答案】C
【分析】令，得或，则有或，再分，讨论判断.
【详解】令，得或，则有或.
当时，①若，则，或，所以或，解得或（舍）；
②若，则，或，解得或，则或均满足.
所以，当时，零点有3个；同理时，零点有3个.
所以，无论k为何值，均有3个零点.故选：C
【典例1-2】（2022上·河北石家庄·高三统考）已知函数若函数的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】试题分析：首先画出函数的图像，
，设即，根据图像得到，或是，，那么当和时，得到图像的交点共4个，故选B．
【变式1-1】（2021上·天津·高三天津实验中学校考期中）已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可
【详解】设，
则由得，即，
则，故，解得，或，
若，则，即，
若，则，即，
设，，
函数是偶函数，要使函数恰有4个零点，
则等价为当时，函数恰有2个零点，
作出在，上的图像如图：
结合图像可得：①，即，即，②，即，即，
综上实数的取值范围是，故选：B.
【变式1-2】（2021上·安徽滁州·高三安徽省定远中学校联考）已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得和各有两个解，利用数形结合即得.
【详解】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，
由图可知，得或，
所以和各有两个解，
要使和各有两个解，必须满足，
由，则，
由图可知，当时，有两个解(一解为，一解为3)，
当时，有三个解(为，3)，
当时，有两个解(为)，
所以，存在四个互不相等的实数根，实数的取值范围是.
故选：D．
【变式1-3】（2019上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设,则，求得，根据数形结合可得的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，从而可得结果.
【详解】函数的零点个数就是方程的根的个数，
设,则，
函数的大致图象如下：
由或，可得有三个解，，
的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，
即分别由1，3，1个解，方程的根的个数为5，
函数的零点个数为5，故选C.
题型14 嵌套型零点：内外双函数复合型
【典例1-1】（2021上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由方程有四个不等的实数根，分，和三种情况分类讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，当时，由，解得或，
又由，可得或，
此时方程有两解，
方程要有两解时，，解得，
当时，由，即，可得只有一解，
当时，由得或，
又由化为或，方程有两解，
只要两解，即方程有两解，则，解得.
综上，.
【典例1-2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考）已知函数，，当时，方程根的个数为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法令，则方程根的情况转化成研究方程根的情况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程的两根的范围，进而得到方程根的个数.
【详解】令，
所以，即①，
因为，所以方程①有两个不相等的实根，不妨设.
因为且
所以方程①的两根，（舍去）
所以，由于函数与函数图象有两个交点，
所以方程根的个数为2个.故选C.
【变式1-1】（2021上·安徽池州·高三池州市第一中学校考）设函数，，若方程有四个实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】问题转化：，即，只需有两个不等实根，且有两个不等实根，即可得解.
【详解】是偶函数且单调递减，单调递增，
设，即，
方程有四个实数根，必须有两个不等实根，且有两个不等实根，
即，有两个不等实根，在单调递减，单调递增，，要有两个不等实根，必须.故选：B
【变式1-2】（2020上·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合导数，求出的单调性，由，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，有6个零点等价于和都分别有3个实数根，结合图像可得关于 的不等式，进而可求出的取值范围.
【详解】解：因为，所以，
故当时，，单调递增；当和时，，单调递减；
又，函数有两个零点分别为，.则函数的简图为
函数有6个零点，与的根共有6个，
和都分别有3个实数根，则且，即.故选:A.
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则方程的实数根的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】先根据函数解析式作出函数的大致图象，然后换元，作出函数的大致图象，利用数形结合的思想进行求解即可.
【详解】作出函数的大致图象如图（1）所示，对于，令，则，则或或或，作出函数的大致图象，如图（2）所示，
若，则由图象知，直线与函数的图象有两个交点；若，由图象知，直线与函数的图象有四个交点；
显然直线与函数的图象没有交点，
综上可知，方程的实数根的个数为.
故选：B
题型15 嵌套型零点：二次型因式分解
【典例1-1】（2020·山东德州·统考一模）已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】确定函数的单调区间，画出函数图像，变换，得到和，根据函数图像得到答案.
【详解】当时，，则，，
函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图像，如图所示：
，即，
当时，根据图像知有1个解，
故有1个解，根据图像知.
故选：.
【典例1-2】（2020下·江苏无锡·高三校考）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案．
【详解】解：设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为（e）．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：
可得的取值范围是．故选：A．
【变式1-1】（2022秋·天津河东·高三校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.
【详解】，
当时，，函数为减函数；
当时，，，和时，单增，时，单减，，，
故的图象大致为：
令，则，
，
当时，，，无零点；
当时，，，无零点；
当时，，，，则，
要使恰有4个不同的零点，则，
即.故答案为：
【变式1-2】（2023春·上海宝山·高三校考）已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，
结合，作出函数在上的图象，如图示：
因为，
故时，即或，
则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，
由图象可知，和的图象有6个不同的交点，
则和的图象需有2个不同的交点，即，故，
则实数的取值范围为，故答案为：
【变式1-3】（2019·浙江衢州·衢州二中校考二模）设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，当，，作出函数的图象如图，
设，由图象，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，当时，方程有3个根，
则，等价为，当时，，
若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，
则，即（1） 解得：，故答案为：
题型16嵌套型零点：二次型根的分布
【典例1-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出的图象，令，则先讨论的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而根据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.
【详解】画出的图象如图，令，则先讨论的零点.
当，即时，不合题意；
当，即时，易得或，此时当或时均不满足有6个零点，不合题意；
故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.
①当时，与均无零点，不合题意；
②当时：
1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；
2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；
综上可得或.
又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.故故选：A
【典例1-2】（2022下·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
【答案】B
【分析】作出函数f（x）的图象，设t＝f（x），方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，根据数形结合思想和二次函数的性质建立不等式组，求解即可.
【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x），
由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根；
当1＜t≤3时，t＝f（x）有4个根；
当t＝1时，t＝f（x）有5个根；
当0＜t＜1时，t＝f（x）有6个根；
当t＝0时，t＝f（x）有3个根，
当t＜0时，t＝f（x）有0个根，
方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，
∵当t＝0时，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8个不同的实数根，则
①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
②或者t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，
由①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
设h（x）＝t2+bt+4，
则满足，即，得﹣≤b＜﹣4，
由②t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，则1+b+4＝0，则b＝﹣5，
此时由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，满足t2＞3，综上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5，
故选：B．
【变式1-1】（2020下·河南·高撒 统考）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由二倍角公式、辅助角公式化简，令，于是有方程在区间上有唯一的实数根，再根据二次函数根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵，∴当时，，令，则，
∴方程在区间上有唯一的实数根，
令，则，
∴，或，解得或，故选：D．
【变式1-2】（2020·河北邯郸·统考二模）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】解：作出函数的图象如图所示，
令，
则由图可知，当时，方程只有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；
显然不是方程的根；
若是方程的根，则，此时，结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；
∴恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，等价于方程的一个根在，一个根在，
令，则，∴，故选：B．
【变式1-3】（2023上·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】先求得的解析式并画出图象，利用换元法，结合一元二次方程的解列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】对于函数，
，所以当时，；当时，.所以，
令 ，则方程 可化为 ①，
作出函数 的图象如下图所示，
则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根，
即，（符合），或.
所以的取值范围是或.故答案为：或
题型17嵌套型零点：放大型函数
【解题攻略】
【典例1-1】（宁夏石嘴山市平罗中学2022届高三第四次模拟考试数学（理）试题）已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题可知直线与函数的图象有三个交点．利用导数研究函数的性质，利用数形结合可得.
【详解】方程在上恰有三个根，即直线与函数的图象有三个交点．
由是R上的奇函数，则．
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增．
结合奇函数的对称性和“周期现象”得在上的图象如下：
由于直线过定点．
如图连接A，两点作直线，
过点A作的切线，
设切点．其中，，则斜率，
切线过点．
则，即，则，
当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在上的图象有三个交点，故．故选：D．
【典例1-2】.已知函数f(x)=1−2x−3,1≤x≤212fx2,x>2，则下列说法正确的是（ ）
A．关于x的方程f(x)−12n=0(n∈N∗)有2n+4个不同的解
B．若函数y=f(x)−kx有4个零点，则实数k的取值范围为124,16
C．对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)−3≤0恒成立
D．当x∈[2n−1,2n](n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】BC
【分析】
由题作出函数图象，利用数形结合即解.
【详解】
当1≤x≤32时，f(x)=2x−2；当 32当2当3当4当6依次类推，作出函数f(x)的图像：
对于A，当n=1时，f(x)=12有3个交点，与2n+4=6不符合，故A错误；
对于B，函数y=f(x)−kx有4个零点，即y=f(x)与y=kx有4个交点，
如图，直线y=kx的斜率应该在直线m，n之间，又km=16，kn=124，∴k∈124,16，故B正确；
对于C，对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)−3≤0恒成立，即f(x)≤32x恒成立，
由图知函数f(x)的每一个上顶点都在曲线y=32x上，故f(x)≤32x恒成立，故C正确；
对于D， 取n=1，x∈[1,2]，此时函数f(x)的图像与x轴围成的图形的面积为12×1×1=12，故D错误.
故选：BC.
【变式1-1】（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.
【答案】6
【分析】
根据、的性质，判断在、的交点情况，结合的性质，判断在上的交点情况，最后利用导数判断上的交点，即可知在上的零点个数.
【详解】
由题设，易知时，有，
，故在无零点，同理在也无零点.
∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，
∴在平面直角坐标系，、在上如图所示：
又，故、在上的图象共有5个不同交点，
下证：当，有且只有一个零点.
此时，而，故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
综上，、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，故答案为：6.
【变式1-2】（浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学试题）定义在R上的奇函数满足，当时，，且时，有，则函数在上的零点个数为
A．9B．8C．7D．6
【答案】B
【分析】
先由奇函数性质求出函数在上的解析式，再利用.得到的图象，的零点个数，等价于求的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.
【详解】
当时，，是奇函数，，
当时，有，
，，
若，则，则，
即，
即当时，，
当时，，此时，
当时，，此时，
由，得：
当时，由，即是的一个零点，
当时，由得，即，
作出函数与在，上的图象如图：
由图象知两个函数在上共有7个交点，加上一个，
故函数在上的零点个数为8个，故选：B.
【变式1-3】已知，则函数零点的个数为___________.
【答案】
【分析】
函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.
【详解】
解：对于函数，
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
，
函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：
观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数零点的个数为4.
故答案为：4.

高考练厂练场
1.（2021秋·吉林长春·高三校考阶段练习）若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解
【详解】对A，的零点为；
对B，的零点为；
对C，的零点为；
对D，的零点为；
，，，故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；故选A
2.（2021上·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果.
【详解】设，则，解得：，
即的取值范围为.故选：D.
3.（2020·内蒙古包头·高三北重三中校考）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令t=2x＞0，则由题意可得t2+2（m-1）t+m+1=0有2个不等的正实数根，故有
，解得m的范围．
【详解】令t=2x>0，则由题意可得t2+2(m−1)t+m+1=0有2个不等的正实数根.设为方程两根，
∴，即，解得−14.（2023春·新疆乌鲁木齐·高三新疆师范大学附属中学校考开学考试）若若有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】把有两个零点转化为两个函数有两个交点，结合图像可得实数的取值范围.
【详解】因为有两个零点，
所以与有两个不同的交点，如图所示，
所以有，即.
故答案为：.
5.（四川省自贡市2021-2022学年高三第一次诊断性考试理科数学试题）定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求得时，的解析式，结合的奇偶性和对称性画出在区间的图象，由来确定的零点个数.
【详解】是定义在上的奇函数，，
当时，，，
，
所以当时，.
是奇函数，图象关于原点对称，
由于，所以图象关于直线对称，由此画出在区间的图象如下图所示，
由图可知有个解，也即有个解，即有个零点.
故选：D
6.（2020秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a的取值范围是 ；的取值范围是 .
【答案】
【解析】分别解出三个零点，再根据分段函数的范围列不等式组即可解得a的范围；因为，转变为求函数，的取值范围，利用导函数求单调性和极值，即可.
【详解】依次解得三个零点分别为，，依题意有.a的取值范围是.
令，，则
与均单调递增在上单调递增
，从而，在上单调递减
又时，
的取值范围是.故答案为：；
7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】讨论、两种情况，结合函数的图象，得出的取值范围.
【详解】当时，函数在上没有零点，要使得函数恰有3个零点，
则在区间上有3个零点.
，函数的图象如下图所示：
由图可知，要使得在区间上有3个零点，
则，解得.
当时，若，则，易知当时，有一个零点.
则函数在区间上有2个零点，由上图可知，.
解得.综上，的取值范围为.故答案为：
8.（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知函数，若关于x的方程有4个不同的解，记为，，，（），且恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合分段函数的图象，确定的取值变化情况，可得出，将不等式转化为对任意恒成立，结合二次函数即可求解的取值范围．
【详解】，作出函数的图象如下：
则可得因为，
所以，所以，所以，，，
因为恒成立，所以，所以,对任意恒成立，
即，所以当时，函数取到最大值，
所以，即的取值范围为．
9.（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高三校考）设函数，若实数a，b，c满足，且．则下列结论不能恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，根据给定条件确定的范围，再逐项分析判断作答.
【详解】函数在、上单调递减，在上单调递增，当时，恒成立，如图，

由，，，得，且，即，
对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，又，则，当，即时，
有，而函数在上单调递减，此时，B错误；
对于C，由，得，对勾函数在上单调递减，则，
又函数在上单调递减，因此，C正确；
对于D，
10.（2023上·安徽芜湖·高三统考）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为 ．
【答案】
【分析】画出函数与图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.
【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，
当时，，函数与在上图象如图所示：
设与图象交点的横坐标分别为，
由对称性可知，，.
由，结合奇偶性得出，即
解得，即.
故答案为：
11.（2021下·河南·高三统考）已知函数为偶函数，且满足当时，则函数的所有零点之和为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题目给出的等式及函数是偶函数可得函数的周期为2，再由函数在，时，，分析函数在时的函数值为2，所以两函数图象的交点可知，再根据函数的对称性可得的答案
【详解】解：定义在上的偶函数满足，
满足，
故函数的周期为2．
当时，，
故当时，．
在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示，
由图象可知，函数关于对称，
当时，有8个零点，
故的所有零点之和为，
故选：C．
12.（2019上·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）设函数．若方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对该题应用分类讨论思想分以下三种情况：
①若无实根，即，则不合题意．
②若有两个相等的实数根，此时由得：，无根，不合题意，故舍去．
③若有两个不相等的实数根，也即，设的实根为：和，则：方程或共有两个不等实根．进一步可知：方程和有且仅有一个方程有两个不等实根．即：和中一个方程有两不等实根另一个方程无实根．又由于，可得，，利用换元法解不等式可得的取值范围．
【详解】解：函数
若方程有且只有两个不同的实根
①若无实根，即，则不合题意．
②若有两个相等的实数根，此时由得：，无根，不合题意，故舍去．
③若有两个不相等的实数根，也即，设的实根为：和，则：方程或有两个不等实根．进一步可知：方程和有且仅有一个方程有两个不等实根．
即：和中一个方程有两不等实根另一个方程无实根．
又由于，可得，设，则则不等式组转化为，解得，，即．故选A．
13.．（2022·高三课时练习）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别画出、的图象，采用换元法令，考虑中的取值可使有6个解时对应的的取值范围
【详解】令，作出，图象如下：
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有四个零点，故A错误
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有两个交点
故当时，函数有三个零点，故C错误
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有四个零点，故B错误
当时，，
与的图象有三个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有六个零点，故D正确
故选：D
14.（2022·全国·高三专题练习）已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.
【详解】令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，
（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.
（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.
（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.
（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.
即即.
i）当时，，故①②③三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.
ii)当时，，①有个解，②③分别有个解，共有个解，不符合题意.
iii）当时，，①无解，②③分别有个解，共有个解，符合题意.
iv）当时，，①无解，②有个解，③有两个解，共有个解，不符合题意.
v）当时，，①无解，②无解，③至多有个解，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
15.（2023·四川成都·校联考二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，方程可化为或有四个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围．
【详解】设，则，又，所以，则或．、
①当时，，求导得．当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减．因为，所以．
又，当且时，；当时，．
②当时，，，根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．
观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点，
所以函数的图象与函数的图象有3个交点，
则，所以实数的取值范围为．故选：A
16.（2022下·广西桂林·高三校考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，分析、探讨函数的性质及图象，令，把原方程根的问题转化为直线与函数图象公共点个数，再结合二次函数实根分布求解作答.
【详解】当时，，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，
而，因此函数在上单调递增，当时，恒成立，
令，在同一坐标系内作出直线及函数部分图象，如图，
当时，方程无实根，当或时，方程有1个实根，
当或时，方程有2个实根，当时，方程有3个实根，
依题意，方程有两个不等实根，
，解得或，
当且仅当或时，原方程有5个不同实数解，
当时，，解得，满足，则，
当时，，无解，
当时，，无解，
综上得：，所以实数的取值范围是.故答案为：
17..（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex−1,0≤x≤1,x2−4x+4,1【答案】0∪2e−25,1∪1,2e−23
【分析】
根据当x∈−1,1时，fx=f−x，可得当x∈−1,1时，函数fx为偶函数，再根据当x∈R时，fx+4=2fx，可得当x∈3,5时，函数fx可由当x∈−1,1时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数fx在−1,5时的函数图像，分m=0和m≠0两种情况讨论，当m≠0是，结合图像根据临界点即可得出答案.
【详解】
解： 因为当x∈−1,1时，fx=f−x，
所以当x∈−1,1时，函数fx为偶函数，
又当x∈R时，fx+4=2fx，
则当x∈3,5时，fx=2fx−4，
则当x∈3,5时，函数fx可由当x∈−1,1时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，
作出函数fx在−1,5时的函数图像，如图所示，
当m=0时，fx=mx=0在区间0,5上恰有三个不同的实数解，符合题意；
当m≠0时，当x∈0,1时，f'x=ex在x∈0,1上为增函数，
所以f'x≥f'0=1，
当函数y=mx过点1,1时，m=1，
当函数y=mx过点1,e−1时，m=e−1，
当函数y=mx过点3,2e−2时，m=2e−23，
当函数y=mx过点5,2e−2时，m=2e−25，
结合图像，若关于x的方程fx=mx在区间0,5上恰有三个不同的实数解，
则1综上所述，实数m的取值范围是0∪2e−25,1∪1,2e−23.
故答案为：0∪2e−25,1∪1,2e−23

用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．
根的分布
1.基础分布：0分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
区间分布与K分布
特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
开口方向；
判别式；
对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
指数型根的分布
换元，令，有指数函数性质知，t的最大范围为正。
注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围
根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
切线法求零点或者零点个数：
适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。
数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”
特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。
抽象型函数判断函数图像
定义域判断。
函数奇偶性判断。
函数简单性判断。
函数值正负判断
利用极限，判断无穷远处的值与“比值”
参数在分段函数分界处，需要分类讨论。分类讨论讨论点，首先是两段函数的交点处，齐次是每段函数的各自“特色”处，如二次函数如果二次项有参，则“开口”即位讨论点之一，要“多画图”，每一种情况，画处各自“小图”做对比
分离参数水平线法求零点
1.分离参数。
2.构造函数于水平线。
3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”
对数绝对值
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
指数函数，无论平移或者翻折，始终要注意函数的核心性质“一点一线”是否变化。要把“一点一线”这个核心性质提升到底数大于1或者小于1的分类讨论相同地位
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
函数中心对称：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
轴对称性的常用结论如下：
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
（1）如果函数在上满足，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．
（2）复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理．
满足形式，一般情况下，b多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。