2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十一讲直线与圆综合应用归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十一讲直线与圆综合应用归类(原卷版+解析)，共58页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15774" 题型01 含参直线过定点 PAGEREF _Tc15774 \h 1
\l "_Tc16253" 题型02 含参双直线型 PAGEREF _Tc16253 \h 2
\l "_Tc3565" 题型03 圆切线型含参动直线 PAGEREF _Tc3565 \h 3
\l "_Tc14120" 题型04圆综合：弦长最值 PAGEREF _Tc14120 \h 3
\l "_Tc3014" 题型05圆综合：切线最值 PAGEREF _Tc3014 \h 4
\l "_Tc13101" 题型06圆综合：三角形面积最值 PAGEREF _Tc13101 \h 5
\l "_Tc19109" 题型07圆综合：四边形最值 PAGEREF _Tc19109 \h 6
\l "_Tc8930" 题型08 圆综合：切线转化 PAGEREF _Tc8930 \h 7
\l "_Tc10026" 题型09 圆综合：将军饮马型最值 PAGEREF _Tc10026 \h 7
\l "_Tc30852" 题型10圆综合：切点弦 PAGEREF _Tc30852 \h 8
\l "_Tc6738" 题型11圆综合：切点弦过定点 PAGEREF _Tc6738 \h 9
\l "_Tc8709" 题型12圆综合：切点弦最值 PAGEREF _Tc8709 \h 10
\l "_Tc30599" 题型13直线与圆综合：两圆公切线 PAGEREF _Tc30599 \h 11
\l "_Tc21854" 题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选 PAGEREF _Tc21854 \h 12
\l "_Tc29743" 高考练场 PAGEREF _Tc29743 \h 12

题型01 含参直线过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【典例1-2】（2020下·高三课时练习）若，且，则直线必不过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1-1】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．9C．10D．
【变式1-2】．（2024上·江苏苏州·高三统考）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-3】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
题型02 含参双直线型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江绍兴·高三绍兴一中校考）已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ）
A．72B．80C．88D．100
【典例1-2】（2024上·全国·高三）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．2D．
【变式1-1】（2023上·全国·高三）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【变式1-2】（2024上·全国·高三）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
【变式1-3】AB中点为Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．与m的取值有关
题型03 圆切线型含参动直线
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·湖南怀化·高三校考）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24B．C．14D．
【典例1-2】（2023上·全国·高三专题练习）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【变式1-1】（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数满足，则的最小值为_______．
【变式1-2】（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
题型04圆综合：弦长最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【典例1-2】．（2022秋·重庆·高三统考）已知圆，直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三校联考）直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
【变式1-2】．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市一中校考）圆截直线所得的弦长最短时，实数 （ ）
A．B．C．2D．
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·高三校考）已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型05圆综合：切线最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·吉林·长春市第二中学高三）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
【典例1-2】（2022·河南·修武一中高三开学考试（文））已知点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式1-1】（2021·全国·高三课时练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线段长的最小值为 ______ .
【变式1-2】（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆做切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-3】（2022·四川·泸县五中高三（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
题型06圆综合：三角形面积最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·浙江·金乡卫城中学高三）如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（ ）
A．1B．C．1或D．2
【变式1-1】.（2022·江苏·高三单元测试）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2021·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型07圆综合：四边形最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为( )
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点为上一动点，过点作圆的切线，（切点为，），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020·安徽·定远县私立启明民族中学高三阶段练习（理））已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·全国·高三）从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三课时练习）已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A．B．2C．D．2
题型08 圆综合：切线转化
【解题攻略】
【典例1-1】.（2021·江苏·高三专题练习）已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是
A．B．[,]
C．D．）
【典例1-2】（2022·安徽省宣城中学高三开学考试）已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为
A．4B．3C．2D．1
【变式1-1】（2021·山东德州·高三）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中，为切点，若的最大值为120°，则的值为（ ）
A．B．C．4D．6
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1B．C．3D．7
题型09 圆综合：将军饮马型最值
【典例1-1】（2019·江西南昌·校联考二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为 .
【变式1-1】（2022下·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【变式1-2】（2023上·湖南益阳·高三桃江县第一中学校联考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-3】（2023上·山西·高三校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
题型10圆综合：切点弦
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考）已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023秋·江苏·高三南京市人民中学校联考开学考试）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【变式1-2】（2023春·河南南阳·高三统考）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
题型11圆综合：切点弦过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·江苏·高三单元测试）已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线､，､为切点，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·山西·太原市第六十六中学校高三）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高三开学考试（理））已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
题型12圆综合：切点弦最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·江苏·高三课时练习）过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2B．C．D．3
【变式1-1】（2022·江西·上高三中高三阶段练习（文））若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线，（切点为，），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
【变式1-2】（2020·四川·宜宾市教科所高三（文））已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.
题型13直线与圆综合：两圆公切线
【典例1-1】（2020·江西·南昌市新建区第一中学高三阶段练习（理））圆与圆的公切线有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
【变式1-1】（2019·四川·成都七中高一）若圆:与圆:相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则公共弦的长度是______.
【变式1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知：与：相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且，则的方程为___________．
【变式1-3】（2021·全国·高三课时练习）若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长为______．
题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选
【典例1-1】（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【典例1-2】（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023春·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．10D．15
【变式1-2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·湖北·统考模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.．（2024上·四川巴中·高三统考）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
2.（2023上·四川成都·高三四川省成都市西北中学校考阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
3.（2021·浙江省青田县中学高三）在平面直角坐标系内，点，集合，任意的点，则的取值范围是___________.
4.（2021秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点，若圆C：（）上存在两点，使得，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
6.（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
7.（2019·安徽·芜湖一中高三（理））由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
A．1B．C．D．3
8.（2021·全国·高三单元测试）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，则点到原点的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9.（2023上·江苏镇江·高三统考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
10.（2022秋·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11.（2022·江苏·高三课时练习）已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
12.（2022·山西·运城市景胜中学高三阶段练习）已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
13..（2022·全国·高三专题练习）已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则____
14.（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知圆，点，若圆M上存在两点B，C，使得是等边三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
一般情况下，过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
圆的动切线：
到直线系距离，每条直线的距离
，
直线系表示圆的切线集合，
直线与圆的位置关系：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ