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2024年新高考数学题型全归纳讲义第五讲构造函数以及切线(原卷版+解析)
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这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第五讲构造函数以及切线(原卷版+解析)，共45页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22126" 题型01切线求参 PAGEREF _Tc22126 \h 1
\l "_Tc11527" 题型02 求“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc11527 \h 2
\l "_Tc17425" 题型03“过点”切线求参 PAGEREF _Tc17425 \h 3
\l "_Tc25700" 题型04“过点”切线条数的判断 PAGEREF _Tc25700 \h 3
\l "_Tc28997" 题型05 由切线条数求参 PAGEREF _Tc28997 \h 4
\l "_Tc26242" 题型06 公切线 PAGEREF _Tc26242 \h 4
\l "_Tc17116" 题型07 特殊构造：幂积型构造 PAGEREF _Tc17116 \h 5
\l "_Tc2703" 题型08 特殊构造：幂商型构造 PAGEREF _Tc2703 \h 6
\l "_Tc10850" 题型09 特殊构造：ex的积型构造 PAGEREF _Tc10850 \h 6
\l "_Tc32406" 题型10 特殊构造：ex的商型构造 PAGEREF _Tc32406 \h 7
\l "_Tc23969" 题型11特殊构造：对数型构造 PAGEREF _Tc23969 \h 8
\l "_Tc2430" 题型12特殊构造：正弦型构造 PAGEREF _Tc2430 \h 9
\l "_Tc22302" 题型13特殊构造：余弦型构造 PAGEREF _Tc22302 \h 10
\l "_Tc13829" 题型14复合型构造 PAGEREF _Tc13829 \h 11
\l "_Tc20392" 高考练场 PAGEREF _Tc20392 \h 12
热点题型归纳
题型01切线求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．2或C．2D．1或
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.
【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
.
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值 .
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为( )
A．3B．0C．1D．2
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
题型06 公切线
【解题攻略】
【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．
【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型11特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．
题型12特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型13特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型14复合型构造
【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为
A．B．C．D．
【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高考练场 练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为
A．B．
C．D．
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（ ）
A．B．C．D．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
“过点型”切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
幂函数积形式构造：
1.对于构造
2.对于构造
幂函数商形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数积形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数商形式构造：
1.，
2.
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
第五讲 构造函数以及切线归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29286" 题型01切线求参 PAGEREF _Tc29286 \h 1
\l "_Tc17938" 题型02 求“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc17938 \h 3
\l "_Tc28625" 题型03“过点”切线求参 PAGEREF _Tc28625 \h 5
\l "_Tc17211" 题型04“过点”切线条数的判断 PAGEREF _Tc17211 \h 7
\l "_Tc23096" 题型05 由切线条数求参 PAGEREF _Tc23096 \h 8
\l "_Tc6145" 题型06 公切线 PAGEREF _Tc6145 \h 10
\l "_Tc29465" 题型07 特殊构造：幂积型构造 PAGEREF _Tc29465 \h 12
\l "_Tc3692" 题型08 特殊构造：幂商型构造 PAGEREF _Tc3692 \h 15
\l "_Tc14546" 题型09 特殊构造：ex的积型构造 PAGEREF _Tc14546 \h 16
\l "_Tc32240" 题型10 特殊构造：ex的商型构造 PAGEREF _Tc32240 \h 18
\l "_Tc30037" 题型11特殊构造：对数型构造 PAGEREF _Tc30037 \h 21
\l "_Tc16352" 题型12特殊构造：正弦型构造 PAGEREF _Tc16352 \h 23
\l "_Tc32574" 题型13特殊构造：余弦型构造 PAGEREF _Tc32574 \h 26
\l "_Tc4244" 题型14复合型构造 PAGEREF _Tc4244 \h 28
\l "_Tc10483" 高考练场 PAGEREF _Tc10483 \h 30
热点题型归纳
题型01切线求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．2或C．2D．1或
【答案】B
【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有，即可求的值.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为5，
又∵，即，
∴，解得或，故选：B．
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】先求出导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线只有一个公共点，进而联立得到的值.
【详解】的导数，曲线在处切线斜率，则曲线在处切线方程为，即由于切线与曲线只有一个公共点，
联立，得即解得故选: A.
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.
【答案】
【分析】令，利用导数的几何意义得出的值.
【详解】令，
则
所以，
，当时，
又该函数在点处的切线与直线平行，所以故答案为：
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得，根据切点坐标可得，列方程求解．
【详解】，则
∵在点处的切线方程为
∴可得，解得则故答案为：．
【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
【答案】
【分析】先求出（且）所经过的定点的坐标，然后根据导数的几何意义求出在处的切线方程，最后把点的坐标代入切线方程，即可得值．
【详解】函数（且）的图象恒过点，
因为，
则在处的切线的斜率为，又，
所以切线方程为，因为切线经过点，
所以，解得．故答案为：
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为，由，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
因为切线过点，所以，解得.
所以切线方程为.故答案为:.
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到，解得，所以切线方程为．故答案为: .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.
【答案】.【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解.
【详解】解：设切点为，，则，故切点为的切线方程为，
又因此切线过原点，所以，解得，所以函数过原点的切线方程是，即.故答案为：.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果.
【详解】设切点为，由，得
所以切线方程为，即，
将代入得，解得，
所以切线的斜率为.故选：C
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
【答案】
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.
【详解】函数定义域为，，
设切点为，，
所以切线方程为，
代入，得，
解得：，所以切线方程为，
整理得：．故答案为：
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则
【答案】8
【分析】设切点，并应用导数几何意义求可得切线为，将切点代入求得得切线方程，再由切线与曲线相切，讨论参数a，联立方程有求参数.
【详解】设过点处的切线在曲线上的切点为，
而，故切线斜率为，所以切线方程为，故，
所以，故切线方程为，又切线与曲线相切，
联立方程，得有且仅有一个解，
当时上述方程无解；当时，，可得.综上，.故答案为：
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值 .
【答案】
【分析】求出的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．
【详解】函的导数为，
由题意可令，解得，可得，
即有切线的斜率为，切线的方程为,
令，可得，即，
在直角三角形PAB中，，，
则△ABP面积为，，
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
即有处S取得极小值，且为最小值．故答案为：．
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求得点坐标，利用导数求出过点的切线方程，再求出点坐标，写出三角形的面积，再由导数求最值得答案．
【详解】，把代入，可得，即，
则,，
由，得，则，
曲线过点的切线方程为，取，得．
．
令，则．
则，可得或（舍），
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
当时，．故选：D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】求得切线方程为，根据题意，转化为关于的方程有两个不同的解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，所以，
所以切线方程为，
所以，即，
因为过点作该曲线的两条切线，
所以关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D.
【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.
【答案】【分析】设切点坐标为，利用导数写出切线的方程，与直线方程对比，可出关于、的方程，解之即可.
【详解】设切点坐标为，其中，对函数求导得，
所以，切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即，所以，，解得.故答案为：.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.
【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C
【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.故选：C.
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】C【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案.
【详解】设切点为 ，所以 ，整理得；
令，由，得，当时，为单调递增函数；
当时，为单调递减函数；所以；
又，，
所以有两个不同的根，即切线的条数为2，故选：C.
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为( )
A．3B．0C．1D．2
【答案】D【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.
【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（），
由，可得，则切线的斜率，
∴，解得或，故切线有2条.故选:D．
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线的切线，根据切线过点，结合关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.
【详解】设曲线的切点的坐标为，由，
因此该曲线切线的斜率为，
所以该曲线切线的方程为：，该切线过点，
所以有，解得或，
因此过点且与曲线相切的直线的条数有2条.故选：C
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________
【答案】【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.
【详解】由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
则当或时，；当时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：．
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【答案】或.【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到，再根据曲线有两条过坐标原点的切线得到方程有两个解，让，解不等式即可.
【详解】由得，设切点坐标为，则，整理得，因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以方程有两个解，故，解得或.故答案为：或.
【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【答案】【分析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点，且方程有两个根，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即得.
【详解】因为，则，设切点为()，，
所以切线方程为，代入，得，
即这个关于的方程有两个解，令()，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，，
且，，所以.故答案为：.
【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】设切线切点为，后由切线几何意义可得切线方程，代入，可得，则过点作曲线的切线有且仅有两条，等价于关于的方程有两个不同实根，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，
则切线方程为：，代入，
得，因，则.
因过点作曲线的切线有且仅有两条，则有且仅有两个不等实根，则或.则符合题意.故选：D
题型06 公切线
【解题攻略】
【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．
【答案】【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．
【详解】，，又，
所以切线的方程为，即，
设直线与相切的切点为，，
所以切线方程为，即，
所以，解得，所以．故答案为：．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.
【详解】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.故选：D
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】设直线与和的切点分别为，，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.
【详解】设直线与和的切点分别为，，
则切线方程分别为，，，化简得，
依题意上述两直线与是同一条直线，
所以，，解得，所以．故选：C．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
【答案】 【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.所以.
【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．
【答案】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果.
【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，
则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，，
对应的切线方程分别为、，
即、，所以，得，有，
则，整理，得，
设，则，，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点，
又，且，如图，所以，解得.故答案为：.
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】构造函数,再根据题意分析的单调性,
再化简可得,再利用函数的单调性与定义域求解即可.
解：令,,所以在上单调递增,
,即,
所以,,所以,故选：A.
【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小．
【详解】解：根据题意，设，
若为奇函数，则，则函数为偶函数，
当时，，
又由当时，，则，则函数在上为减函数，
，（2），，
且，则有；故选．
【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】A【分析】根据为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式可转化为，解不等式即可得到答案．
【详解】解：是定义在R上的偶函数， ．
时，恒有，
又，在为减函数．
为偶函数， 也为偶函数在为增函数．
又，，即，化简得，得．故选A．
【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】A【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即
【详解】设，因为为上奇函数，所以，
即为上奇函数对求导，得，而当时，有
故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式
，
即所以，解得故选A项.
【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【答案】D【分析】令，则，根据题意得到时，函数 单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．
【详解】
由题意，令，则，
因为当时，，所以当时，，
即当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又由函数为奇函数，所以，
所以，所以，故选D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】A【分析】构造函数,则,所以在单调递减,由是奇函数,可得是偶函数,所以在上单调递增,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反。故建立不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】设,则,所以在单调递减,又是奇函数，所以是偶函数，所以在上单调递增，当时, 等价于，即,所以，当时，等价于,即，所以.故选:.
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．
解：令，，，，恒成立，
，，，函数在上单调递增，，即，；
令，，，，恒成立，
，函数在上单调递减，
，即，，综上可得故选：．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.
【详解】
设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.故选B.
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】不等式的的解集等价于函数图像在下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数的性质进行研究，将还原为，即，在R上单调递减，且，故当，,即可解得不等式解集.
解：令因为所以，故
故在R上单调递减，又因为所以，
所以当，，即的解集为故选B.
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C【分析】令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．
解：令，，则，，，
函数在递减，，，，
，即，故，解得：，
故，故选C．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集.
【详解】由可得，
设，则，
，在上为减函数，又由，可得，.故选A.
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．
【详解】令，，，
在上单调递减，又，，
不等式可化为，，故选：B.
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】构造函数，由的单调性求解，
【详解】构造函数，则，
故在R上单调递增，，可化为，
故原不等式的解集为，故选：B
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，解不等式.
【详解】设，，
所以函数在上单调递减，
若，则，即，
所以，得.故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设，（），，（）
∵，∴，
即，∴
对于，其导数，
∵，，则有在区间上单调递增；
所以，即，变形可得；
对于，其导数，
∵时，，则在区间上单调递减；
则有，即，变形可得，
综合可得：，即的范围为.故选：B.
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】令，则可得所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，是上单调递增，
所以是上单调递增，因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，故选：A.
【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A【详解】分析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，
详解：设，则，由已知得，
∴是减函数．∵是偶函数，∴的图象关于直线对称，
∴，，的解集为，即的解集为．故选A．
【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设，因为，则，
所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，
∴，所以，解得，
所以不等式的解集为．故选：D.
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．
【答案】B【分析】构造函数，计算，，故为常函数，，代入不等式得到答案.
【详解】构造函数，，故.
，故为常函数.
故，，，
，即，解得.故选：.
【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，
由，可得，即，解得，
因此， 不等式的解集为，故选C.
题型11特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由，得，令，，则
，所以在上恒成立，
所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；
所以，所以，
所以，所以，即．故选：A.
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A【分析】令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.
【详解】令，，则对于恒成立，
所以当时，单调递减，又因为，
所以当时，；此时，所以；当时，，此时，所以；
又因为是奇函数，所以时，；当时，；
因为，所以当时，，解得；①
当时，，解得；②
综合①②得成立的的取值范围为，故选：A.
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C【分析】根据题意，构造函数，，利用 的导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性进而将不等式变形转化求出不等式的解集即可．
【详解】设，，可知函数在时单调递减，
又，可知函数在大于零，且，可知，
同理在上，，可知函数在和均有，
又为奇函数，则在区间和上，都有，
由得或，可知不等式的解集为．故选C．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设，，则由题意可知，设，，则有，不等式等价于，利用单调性求解即可.
【详解】设，，不等式恒成立，可知，
设，，则，，
且，
于是在上单调递增，注意到，
不等式，等价于，
即，得，解出.故选：A．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案.
【详解】令，则，所以函数在上递增，
又因，所以当时，，当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，由不等式，
得或，解得，所以不等式的解集是.故选：B.
题型12特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；故选：B
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A． B． C．D．
【答案】C【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 ,
,所以选C.
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.
【详解】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得故选：D
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【分析】依题意可构造函数，由条件可知，是偶函数，且在区间上是增函数，在区间是减函数，再根据，即可由单调性解出不等式．
【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，
∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，∵．
当时，不等式等价于，
当时，不等式等价于，
∴原不等式的解集为．故选：D．
题型13特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，最后求出的取值范围即可.
【详解】令，，
因为为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，则，
因为当时，，所以，
则函数在上单调递减，则函数在上是奇函数且单调递减，
又因为等价于，即，
所以，且，所以.故选：D.
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设，由已知可得在上单调递增，且，而等价于，从而可求出结果
【详解】设，则，
因为当时，有成立，
所以当时，，所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以，
所以为奇函数，所以在上单调递增，且，
所以等价于，即，
所以，所以得所以不等式的解集为．故选：A
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【分析】构造函数，利用所给不等式判断的符号推出的单调性，利用的单调性即可比较函数值的大小.
【详解】因为，所以，
由可得，即，
令，则，
所以函数在上为减函数，则，
则，
所以.故选：D
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
由函数对于任意的满足，
令，则为奇函数；
故，
故在单调递增，又是奇函数，所以在上单调递增，
，可得，故B正确；故选：B．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.故选：B
题型14复合型构造
【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成
，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．
【详解】因为，所以，令，则，
又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，
又因为，可化为，
即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，
令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，
所以，则，所以.
所以正整数的最大值为2.故选B
【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数的取值范围即可.
【详解】
是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，
对任意的实数，都有恒成立，则.
当时，，当时，，即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不等式即，据此可知，则或.
即实数的取值范围为.本题选择B选项.
【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
分析：根据题意，构造函数，结合题意对其求导可得在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数可得在上为增函数，将不等式变形可得，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得到答案.
详解：根据题意，构造函数，其导数，
又由时，，则，函数在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数，
可得在上为增函数，不等式变形可得，
可得，解得，即该不等式的解集为.故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设函数，利用已知条件判断函数的单调性及对称性，根据所得结论化简不等式求其解集.
【详解】设函数，则，又时，恒成立，
所以当时，，所以函数在单调递增，
又因为任意，恒成立，
所以，所以，所以函数的图象关于对称，因为可化为，
所以，所以所以，所以，
所以不等式：的解集为，故选：A.
【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】由，得，所以，又＝，令，则，，所以，所以：（1）若时，则，函数在内单调递减，故在内至多有一个零点；（2）若时，则，函数在内单调递增，故在内至多有一个零点；（3）若时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以＝．令＝（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数在内有两个零点，则，解得．综上所述的取值范围为，故选A．
高考练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
【答案】【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解
【详解】在直线：上取两点，点，关于对称的点分别为，
点关于直线对称的点为）设直线关于直线对称的直线为，则过点，
则，直线的方程为，即由得,
因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为
设切点为，则解得故答案为：
2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
【详解】时，，设切点，则，切线过，
，，时，，切点，
，切线过，，，
故.故答案为：.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案.
【详解】由题意得，所以在点处切线斜率，
则所求直线斜率，
所以直线方程为，整理得.故选：A
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】设切点的坐标为，求得切线方程为，把点代入得，根据题意得到有两个不等的实根，结合，得到，根据选项逐项验证，即可求解.
【详解】由函数，可得，
设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得，因为过点可作曲线的两条切线，
则方程有两个不等的实根，
所以，即，
分别把点代入验证，可得只有满足，
所以点可以是.故选：D.
5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.
【答案】【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.
【详解】设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即
同理，设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即，
所以，解得，所以，，.故答案为：.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.
【答案】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组求得，即为公切线的斜率.
【详解】设与，分别相切于点，，
，，，，
切线方程为，，
即，，
，即，
解得：，即.故答案为：.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】构造函数，求得的导函数，结合题目所给条件，得到的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，当时，，故函数在上为增函数.由于，故所求不等式可化为，所以，解得.故选B.
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】本题可以先设，然后求出的导数，
然后可以通过“时，”判断出的单调性，
最后通过比较的大小得出答案．
【详解】设则有因为时，，
所以时，为减函数，因为
所以，所以故选A．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
【答案】A【详解】令，则，所以函数在上单调递减.
因为，所以，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据构造出，从而得到在上单调递减；将所求不等式转化为，根据单调性可得，求解得到结果.
【详解】由题意得：，即
故函数在上单调递减
，即
即 ，解得。本题正确选项：
11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.
【详解】令，，则，在上单调递减，而，
因此，由得，而，则，由得，而，则，又，
于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，
由得：或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.故选：D
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【答案】C【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 ,
,所以选C.
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将变形为，即，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】设，
因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数；
因为对任意，都有，
而，所以在单调递减，又因为为奇函数，所以在单调递减，当时，，因为，所以，所以，所以，故选：D.
14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】D【分析】结合题意构造函数，求导后可得函数在上为增函数，且．然后将不等式变形为，进而根据函数的单调性得到不等式的解集．
【详解】设，
则，
所以函数在上为增函数．又，所以．
又不等式等价于，
即，解得，所以不等式的解集为．故选D．
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
”过点型“切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
幂函数积形式构造：
1.对于构造
2.对于构造
幂函数商形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数积形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数商形式构造：
1.，
2.
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22126" 题型01切线求参 PAGEREF _Tc22126 \h 1
\l "_Tc11527" 题型02 求“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc11527 \h 2
\l "_Tc17425" 题型03“过点”切线求参 PAGEREF _Tc17425 \h 3
\l "_Tc25700" 题型04“过点”切线条数的判断 PAGEREF _Tc25700 \h 3
\l "_Tc28997" 题型05 由切线条数求参 PAGEREF _Tc28997 \h 4
\l "_Tc26242" 题型06 公切线 PAGEREF _Tc26242 \h 4
\l "_Tc17116" 题型07 特殊构造：幂积型构造 PAGEREF _Tc17116 \h 5
\l "_Tc2703" 题型08 特殊构造：幂商型构造 PAGEREF _Tc2703 \h 6
\l "_Tc10850" 题型09 特殊构造：ex的积型构造 PAGEREF _Tc10850 \h 6
\l "_Tc32406" 题型10 特殊构造：ex的商型构造 PAGEREF _Tc32406 \h 7
\l "_Tc23969" 题型11特殊构造：对数型构造 PAGEREF _Tc23969 \h 8
\l "_Tc2430" 题型12特殊构造：正弦型构造 PAGEREF _Tc2430 \h 9
\l "_Tc22302" 题型13特殊构造：余弦型构造 PAGEREF _Tc22302 \h 10
\l "_Tc13829" 题型14复合型构造 PAGEREF _Tc13829 \h 11
\l "_Tc20392" 高考练场 PAGEREF _Tc20392 \h 12
热点题型归纳
题型01切线求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．2或C．2D．1或
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.
【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
.
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值 .
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为( )
A．3B．0C．1D．2
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
题型06 公切线
【解题攻略】
【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．
【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型11特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．
题型12特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型13特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型14复合型构造
【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为
A．B．C．D．
【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高考练场 练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为
A．B．
C．D．
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（ ）
A．B．C．D．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
“过点型”切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
幂函数积形式构造：
1.对于构造
2.对于构造
幂函数商形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数积形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数商形式构造：
1.，
2.
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
第五讲 构造函数以及切线归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29286" 题型01切线求参 PAGEREF _Tc29286 \h 1
\l "_Tc17938" 题型02 求“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc17938 \h 3
\l "_Tc28625" 题型03“过点”切线求参 PAGEREF _Tc28625 \h 5
\l "_Tc17211" 题型04“过点”切线条数的判断 PAGEREF _Tc17211 \h 7
\l "_Tc23096" 题型05 由切线条数求参 PAGEREF _Tc23096 \h 8
\l "_Tc6145" 题型06 公切线 PAGEREF _Tc6145 \h 10
\l "_Tc29465" 题型07 特殊构造：幂积型构造 PAGEREF _Tc29465 \h 12
\l "_Tc3692" 题型08 特殊构造：幂商型构造 PAGEREF _Tc3692 \h 15
\l "_Tc14546" 题型09 特殊构造：ex的积型构造 PAGEREF _Tc14546 \h 16
\l "_Tc32240" 题型10 特殊构造：ex的商型构造 PAGEREF _Tc32240 \h 18
\l "_Tc30037" 题型11特殊构造：对数型构造 PAGEREF _Tc30037 \h 21
\l "_Tc16352" 题型12特殊构造：正弦型构造 PAGEREF _Tc16352 \h 23
\l "_Tc32574" 题型13特殊构造：余弦型构造 PAGEREF _Tc32574 \h 26
\l "_Tc4244" 题型14复合型构造 PAGEREF _Tc4244 \h 28
\l "_Tc10483" 高考练场 PAGEREF _Tc10483 \h 30
热点题型归纳
题型01切线求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．2或C．2D．1或
【答案】B
【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有，即可求的值.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为5，
又∵，即，
∴，解得或，故选：B．
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】先求出导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线只有一个公共点，进而联立得到的值.
【详解】的导数，曲线在处切线斜率，则曲线在处切线方程为，即由于切线与曲线只有一个公共点，
联立，得即解得故选: A.
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.
【答案】
【分析】令，利用导数的几何意义得出的值.
【详解】令，
则
所以，
，当时，
又该函数在点处的切线与直线平行，所以故答案为：
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得，根据切点坐标可得，列方程求解．
【详解】，则
∵在点处的切线方程为
∴可得，解得则故答案为：．
【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
【答案】
【分析】先求出（且）所经过的定点的坐标，然后根据导数的几何意义求出在处的切线方程，最后把点的坐标代入切线方程，即可得值．
【详解】函数（且）的图象恒过点，
因为，
则在处的切线的斜率为，又，
所以切线方程为，因为切线经过点，
所以，解得．故答案为：
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为，由，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
因为切线过点，所以，解得.
所以切线方程为.故答案为:.
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到，解得，所以切线方程为．故答案为: .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.
【答案】.【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解.
【详解】解：设切点为，，则，故切点为的切线方程为，
又因此切线过原点，所以，解得，所以函数过原点的切线方程是，即.故答案为：.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果.
【详解】设切点为，由，得
所以切线方程为，即，
将代入得，解得，
所以切线的斜率为.故选：C
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
【答案】
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.
【详解】函数定义域为，，
设切点为，，
所以切线方程为，
代入，得，
解得：，所以切线方程为，
整理得：．故答案为：
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则
【答案】8
【分析】设切点，并应用导数几何意义求可得切线为，将切点代入求得得切线方程，再由切线与曲线相切，讨论参数a，联立方程有求参数.
【详解】设过点处的切线在曲线上的切点为，
而，故切线斜率为，所以切线方程为，故，
所以，故切线方程为，又切线与曲线相切，
联立方程，得有且仅有一个解，
当时上述方程无解；当时，，可得.综上，.故答案为：
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值 .
【答案】
【分析】求出的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．
【详解】函的导数为，
由题意可令，解得，可得，
即有切线的斜率为，切线的方程为,
令，可得，即，
在直角三角形PAB中，，，
则△ABP面积为，，
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
即有处S取得极小值，且为最小值．故答案为：．
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求得点坐标，利用导数求出过点的切线方程，再求出点坐标，写出三角形的面积，再由导数求最值得答案．
【详解】，把代入，可得，即，
则,，
由，得，则，
曲线过点的切线方程为，取，得．
．
令，则．
则，可得或（舍），
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
当时，．故选：D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】求得切线方程为，根据题意，转化为关于的方程有两个不同的解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，所以，
所以切线方程为，
所以，即，
因为过点作该曲线的两条切线，
所以关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D.
【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.
【答案】【分析】设切点坐标为，利用导数写出切线的方程，与直线方程对比，可出关于、的方程，解之即可.
【详解】设切点坐标为，其中，对函数求导得，
所以，切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即，所以，，解得.故答案为：.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.
【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C
【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.故选：C.
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】C【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案.
【详解】设切点为 ，所以 ，整理得；
令，由，得，当时，为单调递增函数；
当时，为单调递减函数；所以；
又，，
所以有两个不同的根，即切线的条数为2，故选：C.
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为( )
A．3B．0C．1D．2
【答案】D【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.
【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（），
由，可得，则切线的斜率，
∴，解得或，故切线有2条.故选:D．
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线的切线，根据切线过点，结合关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.
【详解】设曲线的切点的坐标为，由，
因此该曲线切线的斜率为，
所以该曲线切线的方程为：，该切线过点，
所以有，解得或，
因此过点且与曲线相切的直线的条数有2条.故选：C
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________
【答案】【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.
【详解】由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
则当或时，；当时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：．
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【答案】或.【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到，再根据曲线有两条过坐标原点的切线得到方程有两个解，让，解不等式即可.
【详解】由得，设切点坐标为，则，整理得，因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以方程有两个解，故，解得或.故答案为：或.
【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【答案】【分析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点，且方程有两个根，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即得.
【详解】因为，则，设切点为()，，
所以切线方程为，代入，得，
即这个关于的方程有两个解，令()，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，，
且，，所以.故答案为：.
【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】设切线切点为，后由切线几何意义可得切线方程，代入，可得，则过点作曲线的切线有且仅有两条，等价于关于的方程有两个不同实根，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，
则切线方程为：，代入，
得，因，则.
因过点作曲线的切线有且仅有两条，则有且仅有两个不等实根，则或.则符合题意.故选：D
题型06 公切线
【解题攻略】
【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．
【答案】【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．
【详解】，，又，
所以切线的方程为，即，
设直线与相切的切点为，，
所以切线方程为，即，
所以，解得，所以．故答案为：．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.
【详解】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.故选：D
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】设直线与和的切点分别为，，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.
【详解】设直线与和的切点分别为，，
则切线方程分别为，，，化简得，
依题意上述两直线与是同一条直线，
所以，，解得，所以．故选：C．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
【答案】 【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.所以.
【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．
【答案】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果.
【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，
则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，，
对应的切线方程分别为、，
即、，所以，得，有，
则，整理，得，
设，则，，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点，
又，且，如图，所以，解得.故答案为：.
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】构造函数,再根据题意分析的单调性,
再化简可得,再利用函数的单调性与定义域求解即可.
解：令,,所以在上单调递增,
,即,
所以,,所以,故选：A.
【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小．
【详解】解：根据题意，设，
若为奇函数，则，则函数为偶函数，
当时，，
又由当时，，则，则函数在上为减函数，
，（2），，
且，则有；故选．
【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】A【分析】根据为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式可转化为，解不等式即可得到答案．
【详解】解：是定义在R上的偶函数， ．
时，恒有，
又，在为减函数．
为偶函数， 也为偶函数在为增函数．
又，，即，化简得，得．故选A．
【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】A【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即
【详解】设，因为为上奇函数，所以，
即为上奇函数对求导，得，而当时，有
故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式
，
即所以，解得故选A项.
【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【答案】D【分析】令，则，根据题意得到时，函数 单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．
【详解】
由题意，令，则，
因为当时，，所以当时，，
即当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又由函数为奇函数，所以，
所以，所以，故选D．
题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】A【分析】构造函数,则,所以在单调递减,由是奇函数,可得是偶函数,所以在上单调递增,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反。故建立不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】设,则,所以在单调递减,又是奇函数，所以是偶函数，所以在上单调递增，当时, 等价于，即,所以，当时，等价于,即，所以.故选:.
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．
解：令，，，，恒成立，
，，，函数在上单调递增，，即，；
令，，，，恒成立，
，函数在上单调递减，
，即，，综上可得故选：．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.
【详解】
设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.故选B.
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】不等式的的解集等价于函数图像在下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数的性质进行研究，将还原为，即，在R上单调递减，且，故当，,即可解得不等式解集.
解：令因为所以，故
故在R上单调递减，又因为所以，
所以当，，即的解集为故选B.
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C【分析】令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．
解：令，，则，，，
函数在递减，，，，
，即，故，解得：，
故，故选C．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集.
【详解】由可得，
设，则，
，在上为减函数，又由，可得，.故选A.
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．
【详解】令，，，
在上单调递减，又，，
不等式可化为，，故选：B.
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】构造函数，由的单调性求解，
【详解】构造函数，则，
故在R上单调递增，，可化为，
故原不等式的解集为，故选：B
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，解不等式.
【详解】设，，
所以函数在上单调递减，
若，则，即，
所以，得.故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设，（），，（）
∵，∴，
即，∴
对于，其导数，
∵，，则有在区间上单调递增；
所以，即，变形可得；
对于，其导数，
∵时，，则在区间上单调递减；
则有，即，变形可得，
综合可得：，即的范围为.故选：B.
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】令，则可得所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，是上单调递增，
所以是上单调递增，因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，故选：A.
【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A【详解】分析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，
详解：设，则，由已知得，
∴是减函数．∵是偶函数，∴的图象关于直线对称，
∴，，的解集为，即的解集为．故选A．
【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设，因为，则，
所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，
∴，所以，解得，
所以不等式的解集为．故选：D.
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．
【答案】B【分析】构造函数，计算，，故为常函数，，代入不等式得到答案.
【详解】构造函数，，故.
，故为常函数.
故，，，
，即，解得.故选：.
【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，
由，可得，即，解得，
因此， 不等式的解集为，故选C.
题型11特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由，得，令，，则
，所以在上恒成立，
所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；
所以，所以，
所以，所以，即．故选：A.
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A【分析】令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.
【详解】令，，则对于恒成立，
所以当时，单调递减，又因为，
所以当时，；此时，所以；当时，，此时，所以；
又因为是奇函数，所以时，；当时，；
因为，所以当时，，解得；①
当时，，解得；②
综合①②得成立的的取值范围为，故选：A.
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C【分析】根据题意，构造函数，，利用 的导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性进而将不等式变形转化求出不等式的解集即可．
【详解】设，，可知函数在时单调递减，
又，可知函数在大于零，且，可知，
同理在上，，可知函数在和均有，
又为奇函数，则在区间和上，都有，
由得或，可知不等式的解集为．故选C．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设，，则由题意可知，设，，则有，不等式等价于，利用单调性求解即可.
【详解】设，，不等式恒成立，可知，
设，，则，，
且，
于是在上单调递增，注意到，
不等式，等价于，
即，得，解出.故选：A．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案.
【详解】令，则，所以函数在上递增，
又因，所以当时，，当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，由不等式，
得或，解得，所以不等式的解集是.故选：B.
题型12特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；故选：B
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A． B． C．D．
【答案】C【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 ,
,所以选C.
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.
【详解】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得故选：D
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【分析】依题意可构造函数，由条件可知，是偶函数，且在区间上是增函数，在区间是减函数，再根据，即可由单调性解出不等式．
【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，
∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，∵．
当时，不等式等价于，
当时，不等式等价于，
∴原不等式的解集为．故选：D．
题型13特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，最后求出的取值范围即可.
【详解】令，，
因为为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，则，
因为当时，，所以，
则函数在上单调递减，则函数在上是奇函数且单调递减，
又因为等价于，即，
所以，且，所以.故选：D.
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设，由已知可得在上单调递增，且，而等价于，从而可求出结果
【详解】设，则，
因为当时，有成立，
所以当时，，所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以，
所以为奇函数，所以在上单调递增，且，
所以等价于，即，
所以，所以得所以不等式的解集为．故选：A
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【分析】构造函数，利用所给不等式判断的符号推出的单调性，利用的单调性即可比较函数值的大小.
【详解】因为，所以，
由可得，即，
令，则，
所以函数在上为减函数，则，
则，
所以.故选：D
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
由函数对于任意的满足，
令，则为奇函数；
故，
故在单调递增，又是奇函数，所以在上单调递增，
，可得，故B正确；故选：B．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.故选：B
题型14复合型构造
【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成
，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．
【详解】因为，所以，令，则，
又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，
又因为，可化为，
即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，
令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，
所以，则，所以.
所以正整数的最大值为2.故选B
【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数的取值范围即可.
【详解】
是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，
对任意的实数，都有恒成立，则.
当时，，当时，，即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不等式即，据此可知，则或.
即实数的取值范围为.本题选择B选项.
【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
分析：根据题意，构造函数，结合题意对其求导可得在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数可得在上为增函数，将不等式变形可得，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得到答案.
详解：根据题意，构造函数，其导数，
又由时，，则，函数在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数，
可得在上为增函数，不等式变形可得，
可得，解得，即该不等式的解集为.故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】设函数，利用已知条件判断函数的单调性及对称性，根据所得结论化简不等式求其解集.
【详解】设函数，则，又时，恒成立，
所以当时，，所以函数在单调递增，
又因为任意，恒成立，
所以，所以，所以函数的图象关于对称，因为可化为，
所以，所以所以，所以，
所以不等式：的解集为，故选：A.
【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】由，得，所以，又＝，令，则，，所以，所以：（1）若时，则，函数在内单调递减，故在内至多有一个零点；（2）若时，则，函数在内单调递增，故在内至多有一个零点；（3）若时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以＝．令＝（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数在内有两个零点，则，解得．综上所述的取值范围为，故选A．
高考练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
【答案】【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解
【详解】在直线：上取两点，点，关于对称的点分别为，
点关于直线对称的点为）设直线关于直线对称的直线为，则过点，
则，直线的方程为，即由得,
因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为
设切点为，则解得故答案为：
2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
【详解】时，，设切点，则，切线过，
，，时，，切点，
，切线过，，，
故.故答案为：.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案.
【详解】由题意得，所以在点处切线斜率，
则所求直线斜率，
所以直线方程为，整理得.故选：A
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】设切点的坐标为，求得切线方程为，把点代入得，根据题意得到有两个不等的实根，结合，得到，根据选项逐项验证，即可求解.
【详解】由函数，可得，
设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得，因为过点可作曲线的两条切线，
则方程有两个不等的实根，
所以，即，
分别把点代入验证，可得只有满足，
所以点可以是.故选：D.
5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.
【答案】【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.
【详解】设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即
同理，设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即，
所以，解得，所以，，.故答案为：.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.
【答案】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组求得，即为公切线的斜率.
【详解】设与，分别相切于点，，
，，，，
切线方程为，，
即，，
，即，
解得：，即.故答案为：.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B【分析】构造函数，求得的导函数，结合题目所给条件，得到的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，当时，，故函数在上为增函数.由于，故所求不等式可化为，所以，解得.故选B.
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】本题可以先设，然后求出的导数，
然后可以通过“时，”判断出的单调性，
最后通过比较的大小得出答案．
【详解】设则有因为时，，
所以时，为减函数，因为
所以，所以故选A．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
【答案】A【详解】令，则，所以函数在上单调递减.
因为，所以，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据构造出，从而得到在上单调递减；将所求不等式转化为，根据单调性可得，求解得到结果.
【详解】由题意得：，即
故函数在上单调递减
，即
即 ，解得。本题正确选项：
11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.
【详解】令，，则，在上单调递减，而，
因此，由得，而，则，由得，而，则，又，
于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，
由得：或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.故选：D
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【答案】C【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 ,
,所以选C.
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】构造函数，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将变形为，即，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】设，
因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数；
因为对任意，都有，
而，所以在单调递减，又因为为奇函数，所以在单调递减，当时，，因为，所以，所以，所以，故选：D.
14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】D【分析】结合题意构造函数，求导后可得函数在上为增函数，且．然后将不等式变形为，进而根据函数的单调性得到不等式的解集．
【详解】设，
则，
所以函数在上为增函数．又，所以．
又不等式等价于，
即，解得，所以不等式的解集为．故选D．
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
”过点型“切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
幂函数积形式构造：
1.对于构造
2.对于构造
幂函数商形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数积形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数商形式构造：
1.，
2.
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
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