2023-2024学年江苏省南京市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，−8的立方根是
( )
A. −2B. ±2C. 2D. 没有立方根
2.化简 42的结果是
( )
A. −4B. 4C. ±4D. 2
3.如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是
( )
A. 连接AB，则AB//PQB. 连接BC，则BC//PQ
C. 连接BD，则BD⊥PQD. 连接AD，则AD⊥PQ
5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，则下列说法错误的是( )
A. ∠AOC与∠COE互为余角B. ∠COE与∠BOE互为补角
C. ∠BOD与∠COE互为余角D. ∠AOC与∠BOD是对顶角
6.以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.下面四个数中，比1小的正无理数是( )
A. 63B. − 33C. 13D. π3
8.若a− 3+ 3a−2b2=0，则ab=( )
A. 3B. 92C. 4 3D. 9
9.绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68∘，∠BAC=52∘.已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为( )
图1 图2
A. 70∘B. 68∘C. 60∘D. 50∘
10.如图，小颖按如下方式操作直尺和含30∘角的三角尺，依次画出了直线a，b，c.如果∠1=70∘，则∠2的度数为
．( )
A. 110∘B. 70∘C. 40∘D. 30∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.3− 11的相反数是 ．
12.在同一平面内，若a/​/b，b与c相交于O，则a与c的位置关系是 ．
13.如图，与∠1是同位角的 是 ，与∠1是内错角的是 ．
14.计算：(−1)2022− 116−3−27−|1− 2|= ．
15.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.若∠AOC的度数为2α，则∠EOF= .(用含α的式子表示)
16.如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是0.6厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ．
17.实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：a+b− a2−3(b−a)3结果为______．
18.一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，将三角板ACD绕着公共顶点A，按逆时针方向旋转α度(90<α<180)，当旋转后的CD与三角板AOB的某一边平行时，α的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：3−8+ 0− 14；
(2)求x的值：2x−12=8．
20.(本小题8分)
已知a−1的立方根是−2，b是16的算术平方根．
(1)求a+b的值．
(2)求−2a+3b−1的平方根．
21.(本小题8分)
如图所示，直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD．

(1)图中∠AOF的余角是_________；(写一个即可)
(2)∠EOF=_________；(写一个即可)
(3)如果∠AOD=160∘，那么根据________，可得∠BOC=________；
(4)如果∠AOD=4∠EOF，求∠EOF的度数．
22.(本小题8分)
数学课上，老师出了一道题：比较 19−23与23的大小．
小华的方法是：
因为 19>4，所以 19−2_____2，所以 19−23_____23(填“>”或“<”)；
小英的方法是：
19−23−23= 19−43，因为19>42=16，所以 19−4____0，所以 19−43____0，所以 19−23_____23(填“>”或“<”)．
(1)根据上述材料填空；
(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较 6−14与12的大小．
23.(本小题8分)
如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC=120∘，∠NBE=60∘．
(1)已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
(2)已知驱逐舰到达点C后沿C−D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E−F继续航行，且MN//EF，∠ACD=140∘.若驱逐舰在原航向上向左转动α0∘<α<180∘后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．
24.(本小题8分)
24 .如图，已知AB//CD，BE与DE相交于点E．
(1)如图1，求证：∠ABE+∠BED+∠CDE=360∘；
(2)如图2，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F.请你写出∠BED与∠BFD之间的关系，并加以证明；
(3)如图3，当∠ABF=1n∠ABE，∠CDF=1n∠CDE，且∠BED=m∘时，请你直接写出∠BFD的度数(用含m，n的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：−8的立方根是−2，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，熟知上述性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】 42=4，
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：如图，连接AB，取PQ与格线的交点K，则AP//BK，

而AP≠BK，
∴四边形ABKP不是平行四边形，
∴AB，PQ不平行，故 A不符合题意；
如图，取格点N，连接QC,BN，

由勾股定理可得：QN= 5=BC,QC= 10=BN，
∴四边形QCBN是平行四边形，
∴BC//PQ，故 B符合题意；
如图，取格点M,T，

根据网格图的特点可得：BM⊥PQ,AT⊥QP，
根据垂线的性质可得：BD⊥PQ，AD⊥PQ，都错误，故 C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【详解】解：A. ∵OE⊥AB，则∠AOE=90∘,即∠AOC+∠COE=90∘,正确；
B. ∵OE⊥AB，则∠BOE=90∘,而∠COE 为 锐角，∠BOE+∠COE<180∘,错误；
C. ∵OE⊥AB，则∠BOE=90∘,而∠BOD+∠BOE+∠COE=180∘,
∴∠BOD+∠COE=90∘, 正确；
D. ∠AOC与∠BOD是对顶角，正确．
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据余角的性质判断①；根据对顶角的性质判断②；根据垂线的性质判断③④；根据点到这条直线的距离判断⑤．
【详解】解：同角的余角相等，故①符合题意；
对顶角相等，故②符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③不符合题意；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意；
正确的 有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，余角和补角，垂线，垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据正数>0>负数，即可进行解答．
【详解】解：∵4<6<9
∴2< 6<3
∴− 33<13< 63<1<π3
∴比1小的正无理数是 63．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数>0>负数．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，依次求出a、b的值，代入ab，即可求解，本题考查了绝对值，算术平方根非负性的应用，解题的关键是：熟记绝对值的非负性，算术平方根的非负性．
【详解】解：∵a− 3+ 3a−2b2=0，
∴a− 3=0， 3a−2b2=0，
解得：a= 3，b=3a2=3 32，
∴ab= 3×3 32=92，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=68∘，根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质即得答案．
【详解】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD=68∘，
∴AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD=68∘，
∵∠BAC=52∘，
，
∵AM//CB，
∴∠MAC=∠ACB=60∘；
故选：C．
10.【答案】C
【解析】【分析】可求∠3=∠4+∠5=70∘，由∠2=∠5，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：∠4=30∘，a/​/b，
∴∠3=∠1=70∘，
∵∠3=∠4+∠5=70∘，
∴∠5=40∘，
∴∠2=∠5=40∘，
故选：C．
11.【答案】 11−3
【解析】【分析】先判断出3− 11是负数，再根据绝对值的性质解答．
【详解】∵3− 11<0，
∴3− 11= 11−3．
故答案为 11−3．
12.【答案】相交
【解析】【分析】本题考查了平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；假设a/​/c，则得出过点O有两条直线与已知直线平行，这是矛盾的，由此得a与c的位置关系．
【详解】解：若a/​/c，则过点O有两条直线与a平行，这与平行公理相矛盾，故a与c的位置关系是相交．
13.【答案】∠4
∠2

【解析】【分析】根据同位角与内错角的定义分析即可求解．同位角的概念：两条直线a，b被第三条直线c所截(或说a，b相交c)，在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角
【详解】解：与∠1是同位角的是∠4，与∠1是内错角的是∠2
故答案为：∠4，∠2．
14.【答案】194− 2
【解析】【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：(−1)2022− 116−3−27−|1− 2|
=1−14−−3− 2−1
=1−14+3− 2+1
=194− 2．
15.【答案】90∘−α2
【解析】【分析】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义以及邻补角的性质，先根据对顶角相等求出∠BOD=2α，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=α，由邻补角得∠COE=180∘−α，再根据角平分线定义得∠EOF=90∘−12α，从而可得结论，熟练掌握角平分线的定义以及邻补角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠AOC=2α，
∴∠BOD=∠AOC=2α，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠DOE=α，∠COF=∠EOF=12∠COE，
∵∠COE+∠DOE=180∘，
∴∠COE=180∘−α，
∴∠EOF=90∘−α2．
16.【答案】60.48平方厘米
【解析】【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键．
【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为9厘米，宽为0.6厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧，
则剩余部分(空白区域)的面积为9−3×0.6×9−0.6=60.48平方厘米，
故答案为：60.48平方厘米．
17.【答案】【答案】−a−2b##−2b−a
【解析】【分析】先通过数轴表示确定a，b的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【详解】解：由题意得，a>0>b，且a∴a+b<0，b−a<0，
∴a+b− a2−3(b−a)3
=−a+b−a−b−a
=−a−b−a−b+a
=−a−2b，
故答案为：−a−2b．
18.【答案】15或105或150
【解析】【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，根据平行线的性质以及三角板的角度进行计算即可求解．
【详解】如图1，CD//OB，

如图2，OA//CD，
；

如图3，AB//CD，
；

综上得α=15∘或105∘或150∘．
故答案为15或105或150．
19.【答案】解：(1)3−8+ 0− 14=−2+0−12=−52.
(2)2x−12=8
整理，得x−12=4，
开平方，得x−1=±2，
解得x=3或x=−1．

【解析】【分析】本题考查了实数的运算，立方根，平方根解方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方根的意义，进行计算即可解答．
20.【答案】解：(1)
由题意可知，a−1=−8，即a=−7，b= 16=4，
∴a+b=−7+4=−3．
(2)
当a=−7，b=4时，
−2a+3b−1=−2×(−7)+3×4−1=25．
∵± 25=±5，
∴−2a+3b−1 的 平方根为±5．

【解析】【分析】(1)运用平方根、立方根、算术平方根的定义，即可解出本题；
(2)把(1)中求出的数值代入后，再求出结果的平方根即可．
21.【答案】解：(1)
图中∠AOF的余角有∠EOF，∠AOC，∠BOD；
(2)
∵∠EOF+∠EOD=90∘，∠BOD+∠EOD=90∘，
∴∠EOF=∠BOD．
或者根据(1)，∠AOF的三个余角均相等：∠EOF=∠AOC=∠BOD；
(3)
根据对顶角相等，可得∠BOC=160∘．
(4)
∵∠AOD=∠AOE+∠DOF−∠EOF=90∘+90∘−∠EOF，
且∠AOD=4∠EOF，
∴90∘+90∘−∠EOF=4∠EOF，
求得：∠EOF=36∘．

【解析】【分析】(1)根据余角的定义、性质，可得答案；
(2)根据同一个角的余角相等的性质，可得答案；
(3)根据对顶角相等即可求得∠BOC．
22.【答案】解：(1)∵ 19>4，
∴ 19−2>2，
∴ 19−23>23；
19−23−23= 19−2−23= 19−43，
∵19>42=16，
∴ 19−4>0．
∴ 19−43>0，
∴ 19−23>23，
故答案是：>，>，>，>，>；
(2)∵ 6<3，
∴ 6−1<2，
∴ 6−14<12；

【解析】【分析】(1)根据不等式的性质即可求解；
(2)根据小华的方法求解即可．
23.【答案】解：(1)不会，理由是：
∵∠MAC=120∘，
∴∠CAN=60∘，
∵∠NBE=60∘，
∴∠CAN=∠NBE，
∴AC//BE，
∴这两艘舰艇不会相撞；
(2)
如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，
则EF//CG，
∵MN//EF，
∴CG//MN，
∴∠ACG=∠MAC=120∘，
∵∠ACD=140∘，
∴α=∠ACD−∠ACG=20∘．

【解析】【分析】(1)根据平行线的判定证明AC//BE，利用平行线的定义判断即可；
(2)判断出若与巡洋舰航向相同，则EF//CG，利用平行公理得到CG//MN，求出∠ACG，即可求出α的值．
24.【答案】解：（1）证明：如图1，过点E作EG//CD
∵AB//CD，GE//CD
∴GE//AB
∴∠ABE+∠BEG=180∘，∠GED+∠CDE=180∘
∴∠ABE+∠BED+∠CDE
=∠ABE+∠BEG+∠CED+∠CDE
=180∘+180∘=360∘
（2）∠E与∠F之间的关系是：2∠BFD+∠E=360∘，理由如下：
过点F作FM//CD，如图2，
∵AB//CD，FM//CD
∴FM//AB
∴∠ABF=∠BFM，∠MFD=∠CDF
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDF
∴∠ABF=∠FBE，∠CDF=∠FDE
∴∠BFM=12∠ABE，∠DFM=12∠CDE
∴∠BFD=∠BFM+∠DFM=12∠ABE+∠CDE=12360∘−∠E
∴2∠BFD+∠E=360∘
（3）如图3，
设∠ABF=x，∠CDF=y，
∵∠ABF=1n∠ABE，∠CDF=1n∠CDE，且∠BED=m∘
∴∠ABE=nx，∠FBE=（n-1）x，∠EDC=ny，∠FDE=（n-1）y，
由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
∴nx+ny+∠E=360°，
∴x+y=360∘−m∘n，
∵∠F+∠EBF+∠E+∠EDF=360°，
∴∠F+（n-1）x+∠E+（n-1）y=360°，即∠F+m∘+360∘−m∘−(x+y)=360∘
∴∠F=x+y=1n360∘−m∘．

【解析】【分析】（1）过点E作EG//CD，根据平行线的性质可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°；
（2）过点F作FM//CD，根据平行线的性质可得∴∠BFD=∠BFM+∠DFM，再由角平分线的意义可得；
（3）分别由（1）、（2）的思路可求解．