福建省三明市2023-2024学年中考一模数学试题（附解析版）

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数 学
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共7页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项:
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．
考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将答题卡交回．
第 I 卷
一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A．是一元一次方程．故本选项不符合题意；
B．符合一元二次方程定义，所以它是一元二次方程．故本选项正确；
C．不是整式方程．故本选项不符合题意；
D．中未知数最高次数是3次，不是一元二次方程．故本选项不符合题意．
故选B．
2. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
3. 一个不透明的口袋中装有20个球，其中有若干个红球，它们除颜色外其它完全相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，由此估计袋中红球的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 16D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率求数据．根据题意可知红球的概率为，再利用概率计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近，
∴摸到红球的概率为，
∵不透明的口袋中装有20个球，小明从中随机摸出一个球，
∴设红球的个数为，
∴，解得：，
故选：B．
4. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵公路、互相垂直，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴， 即M，C两点间的距离为，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为时，所成的像的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案，理清题意，正确得出比例关系是解题关键．
【详解】解：由题意得，
，
，
蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，
，
，
故选：C．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线解析式的顶点式为：，
则其顶点坐标为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是解题的关键．
【详解】根据题意，得其俯视图如图所示
，
故选A．
8. 关于的一元二次方程中的满足，则下列选项一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由可得一元二次方程至少有一个实数根为，进而可得判别式．解答的关键是熟知一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程至少有一个实数根为，
∴，
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以为；
故选C．
10. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．设交于点P，根据正方形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点P，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
第Ⅱ卷
注意事项:
1．用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 已知，则的值为________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例设，代入计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，
则，
故答案为：．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出k的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故答案：3．
13. 如图，是菱形的对角线，若，则的度数为________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查菱形性质，三角形内角和定理．根据题意利用菱形性质可知，，利用三角形内角和即可求得本题答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长与宽各多少步？若设长为步，则可列方程是______（方程化为一般形式）．
【答案】
【解析】
【分析】设长为步，则宽为步，根据题意列出一元二次方程，最后化为一般形式即可求解．
【详解】设长为步，则宽为步，根据题意，可列方程为，
整理得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15. 如图，已知，，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键.，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
16. 抛物线的对称轴在轴的右侧，点和点在该抛物线上，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像及性质，一元一次不等式求解．根据题意先将对称轴求出，再将点和点代入中，并利用题干信息列出一元一次不等式即可得到本题答案．
【详解】解：抛物线对称轴在轴的右侧，
∴，即，
∵点和点在该抛物线上，
∴把点和点代入中得：
，
，
∵，
∴，即，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
三、解答题:本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程
【答案】，
【解析】
【分析】原方程运用公式法求解即可．
【详解】解：
，，
，
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键．
18. 已知：如图，在矩形中，是的中点，求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得，，再由可判定，由全等三角形的性质即可求证；掌握性质及判定方法是解题的关键．
【详解】证明：四边形为矩形，
，
，
是的中点，
，
在和中
，
，
．
19. 已知：反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点都在该反比例函数的图象上，试比较大小．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式求出的值即可得到答案；
（2）把点，代入反比例函数解析式，求出，的值，比较大小即可得到答案．
小问1详解】
解：反比例函数图象经过，
，
反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：点是反比例函数图象上两点，
当时，，
当时，，
，
．
20. 如图，中，分别为的中点，连接．
（1）尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）详见解析（作图方法不唯一）
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）在的延长线上截取，根据三角形的中位线性质得到，再根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而可得，作图方法不唯一；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得，然后根据菱形的判定可得结论．
【小问1详解】
解： 如图，点为所求作的点．
作图理由：
在的延长线上截取，
分别为的中点，
为的中位线，
，即
由（1）作图知，
四边形为平行四边形．
∴，即点为所求作的点；
作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点；
；
如图，作，则，则点为所求作的点；
【小问2详解】
证明：由（1）知，四边形为平行四边形，
，E为的中点．
．
四边形为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键．
21. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下．
（1）第一个取下的是福袋的概率为_______．
（2）请用画树状图或列表方法，求第二个取下的是A福袋的概率．
【答案】（1）
（2），图详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个，
∴第一个摘下灯笼的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意画出状态如下：
由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种，
第二个取下的是A福袋的概率为．
22. 如图，四边形和四边形都是正方形，点在射线上，交于点交延长线于点．
（1）若为的中点，求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，，证明，则，进而可证．
（2）证明，则，进而可证．
【小问1详解】
证明：∵为的中点，
∴．
四边形是正方形，
∴，
∴，．
∴．
∴，
即．
【小问2详解】
证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校决定在一块长，宽的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图①所示，其中阴影部分表示花园．
图① 图②
（1）请你帮小明求出图中的；
（2）小明的方案具有如下3个特征：
①花园既是轴对称图形又是中心对称图形；
②花园的边沿与矩形荒地的四边都有公共部分；
③点都在花园外部．
请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性．（要求：在图②中画出示意图，将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据．）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形面积公式，一元二次方程与实际问题，轴对称中心对称图形定义．
（1）根据题意列出方程即可求得的值；
（2）设计出符合题意的方案，再分别求出面积加以验证即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：依题意得：
，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
【小问2详解】
解：矩形的面积为，
阴影部分的面积等于，
方案一：如图，分别为矩形各边的中点，
则阴影部分面积；
方案二：如图，分别以为圆心，为半径画弧，
由：，
得：，
方案三：如图，阴影部分面积，
24. 某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形，直角顶点分别在边上．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质得，再利用三角形内角和性质即可得到本题答案；
（2）根据题意利用正方形性质得，再利用相似三角形判定得，后利用对应边成比例即可得到本题答案；
（3）根据（2）中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：证明：和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
和都是等腰直角三角形，
，
和都是直角三角形，
，
由（1）得，
．
，即，
；
【小问3详解】
解：设，则，
，
由（2）知：，
，
，解得：，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质．熟悉相关图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为线段上的动点，过点D作的平行线交于点E，求面积的最大值；
（3）点M是该抛物线上不同于A，B的一个动点，连接，过点O作的平行线，过点B作y轴的平行线，交于点N，判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意可求得C点坐标，由已知可得点A的坐标，并代入函数解析式中即可求得c的值，从而得函数解析式；
（2）由（1）知点A、B、C的坐标，可求得直线的解析式；设点D的坐标为，则可求得的解析式，联立直线的解析式可求得点E的纵坐标；连接，再由平行关系得，得到关于m的二次函数，即可求得最大值；
（3）设，则可求得直线的解析式，进而求得直线的解析式，从而可求得点N的坐标；再用待定系数法求出直线解析式，从而可判断直线过定点，并求出定点即可．
【小问1详解】
解：对于，令，得到，
∴，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，且开口向上，
∴，
∴；
∴，
∴，
把点A坐标代入抛物线中，得，
解得：或（舍去），
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）知点A、B、C的坐标分别为，如图，
设直线解析式为，把B，C两点坐标分别代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
同理，直线解析式为；
设点D的坐标为，
∵，
∴设直线解析式为，
把点D坐标代入得，得，
即直线解析式为，
联立直线的解析式得：，
两式相加得；
∵D点在线段上，
∴，
∴，；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，且最大值为2．