2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.3正方形的性质与判定(分层练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.3正方形的性质与判定(分层练习)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了3 正方形的性质与判定，5°C．20°D．10°，5°，即可求解．等内容，欢迎下载使用。
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·重庆万州·八年级期末）下列命题错误的是( )
A．正方形的四条边都相等
B．正方形的四个角都相等
C．正方形是轴对称图形，共有两条对称轴
D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
2．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．20°D．10°
3．（2022·天津河西·八年级期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
4．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图，正方形的两条对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．
6．（2022·广东·惠州一中八年级期中）如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·陕西师大附中八年级期末）如图，菱形ABCD的周长为16，∠B＝60°，则以AC为边的正方形ACEF的周长为_____．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形内作等边三角形CDE，则∠ABE=____．
9．（2022·海南海口·七年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则∠DGE=______度．
10．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．
三、解答题
11．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，AE、BF相交于点O且AF＝DE．求证：∠DAE＝∠ABF．
12．（2021·天津津南·八年级期末）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，以点A为中心．把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得△，连接．
(1)的度数为 ；
(2)若AD＝4，DE＝1，求的长．
提升篇
一、填空题
1．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为________．
2．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在正方形中，为中点，连结，过点作交的延长线于点，连结，若，则的值为___________．
3．（2022·重庆一中八年级期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______．
4．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，连接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，则四边形MNPQ的面积是______．
5．（2022·河南开封·八年级期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为______．
二、解答题
6．（2022·福建南平·八年级期末）如图，在正方形 ABCD 中，E是边BC上一动点（不与B，C重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CD的延长线于点 F ．
(1)如 图1，求证：BE＝DF；
(2)如图2，连接BD，EF，交点为O．求证：点O是线段EF的中点．
7．（2022·湖北黄石·八年级期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是32°时，求∠EFC的度数．
8．（2022·贵州黔东南·八年级期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·重庆万州·八年级期末）下列命题错误的是( )
A．正方形的四条边都相等
B．正方形的四个角都相等
C．正方形是轴对称图形，共有两条对称轴
D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A.正方形的四条边都相等，故A正确，不符合题意；
B.正方形的四个角都相等，故B正确，不符合题意；
C.正方形是轴对称图形，共有四条对称轴，故C错误，符合题意；
D.正方形的对角线相等且互相垂直平分，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的性质，难度不大．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．20°D．10°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．
3．（2022·天津河西·八年级期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°，
又CQ=BP ，
∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ
在△AFP和△BPQ中，
∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，
∴△AFP≌△BPQ（SAS），
∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴PF=PQ=QE=EF，
∴四边形EFPQ为菱形，
∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意；
∵△AFP≌△BPQ
∴∠BPQ=∠AFP，
又∵∠A=90°，
∴∠AFP+∠APF=90°，
∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，
∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，
∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意；
设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则，
∴AB=a，
∴，
∴正方形EFPQ的面积为，
而x的值无法确定，
∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
4．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图，正方形的两条对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得∠CBD=∠ACB=45°，再由，可得∠BCE=67.5°，即可求解．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠CBD=∠ACB=45°，
∵，
∴，
∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=22.5°．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可证得△AOM≌△DON，从而得到S△AOM=S△DON，进而得到S△AOD=2，可得到OA=2，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∠AOD=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=∠AOD=90°，
∴∠AOM=∠DON，
∴△AOM≌△DON，
∴S△AOM=S△DON，
∴四边形MOND的面积等于S△AOD，
∵四边形MOND的面积是2，
∴S△AOD=2，即，
∴OA=2，
∴．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（2022·广东·惠州一中八年级期中）如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空白部分的面积等于原正方形面积减4个全等三角形的面积，以及空白部分本身是一个边长为c的正方形，利用等面积法求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠AHE+∠AEH=90°，
∵△AHE≌△DGH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
又∵HE=EF=FG=GH，
∴四边形EFGH是正方形，
∴由图可得剩下正方形面积为：，
根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2，
，化简得a2+b2＝c2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的性质与判定，全等三角形的性质，解题的关键在于证明四边形EFGH是正方形．
二、填空题
7．（2022·陕西师大附中八年级期末）如图，菱形ABCD的周长为16，∠B＝60°，则以AC为边的正方形ACEF的周长为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝4，根据∠B＝60°得△ABC是等边三角形，即AC＝AB＝4，即可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的周长是：AC+CE+EF+AF＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形内作等边三角形CDE，则∠ABE=____．
【答案】15°
【解析】
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质可求得和，利用是等腰三角形即得和.
【详解】
∵四边形为正方形，
∴，=90°，
又∵为等边三角形，，=60°，
∴=90°-60°=30°，
∵，是等腰三角形，
∴=（180°-30°）=75°，
又∵=90°，
∴=90°-75°=15°，
故答案为：15°.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及等边三角形的性质，熟练运用两者性质是解决本题的关键.
9．（2022·海南海口·七年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则∠DGE=______度．
【答案】90
【解析】
【分析】
由旋转的性质得∠ADF=∠BAE，再根据正方形的性质，得∠DAF=90°，从而得∠AFD+∠ADF=90°，即∠AFD+∠BAE=90°，再由三角形内角和定理得出∠AGF=90°，即可由对顶角相等求得答案．
【详解】
解：∵△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，
∴∠ADF=∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠BAE=90°，
∵∠AFD+∠BAE+∠AGF=180°，
∴∠AGF=90°，
∴∠DGE=∠AGF=90°，
故答案为：90．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用AAS证明△AMB≌△CBN，得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，从而解决问题．
【详解】
解：如图，
∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，
∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°，
∴∠MBA+∠CBN=90°，
∵∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠CBN，
∴△AMB≌△CBN（AAS），
∴BC=AM，
∵，，
∴AM=1，，
∴由勾股定理得：BM=2，
∴．
故答案为：16
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AMB≌△CBN是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，AE、BF相交于点O且AF＝DE．求证：∠DAE＝∠ABF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得∠DAE=∠ABF．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABF与△DAE中

∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠DAE＝∠ABF
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（2021·天津津南·八年级期末）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，以点A为中心．把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得△，连接．
(1)的度数为 ；
(2)若AD＝4，DE＝1，求的长．
【答案】(1)90°
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）根据正方形的性质，勾股定理求得的长，根据旋转的性质可得，进而勾股定理即可求解．
(1)
把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得△，
；
(2)
四边形是正方形，
，
，
由旋转的性质可得，
，
【点睛】
本题考查了性质的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，过点作交的延长线于点，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】
如图，连接，过点作交的延长线于点
AE⊥EF，CF⊥EF，
则四边形是矩形，
中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键．
2．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在正方形中，为中点，连结，过点作交的延长线于点，连结，若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得△AED≌△CFD，从而得到CF=AE=1，然后根据勾股定理可以得到解答．
【详解】
解：∵E为AB的中点，
∴AB＝2AE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵，
∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，
∴∠CDF=∠ADE，
又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，
∴在RT△EBF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键．
3．（2022·重庆一中八年级期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点P作，由可得，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解
【详解】
解：如图，过点P作，交AB于点E，交CD于点F，

∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，，
过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则，
∴∠
∴四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵∠，
延长CB到K，使NK=CN=3，则有：
连接DK，当在一条直线上时，，当不在一条直线上时，，
故当共线时，
又N是CK的中点，，
∴PN是CK的垂直平分线，
∴CP=PK，
所以的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，连接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，则四边形MNPQ的面积是______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据正方形四边相等，四个角为直角的性质，且点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，可证明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，则可证明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四边形MNPQ是正方形，求出MNPQ的边长即可求出其面积．
【详解】
解：∵点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，
∴AE=DH=CG=BF，
又∵AB=BC=CD=AD，
∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），
∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，
同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，
∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），
∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，
∴MQ=MN=PN=PQ，
∴四边形MNPQ是正方形，
∵AB=BC=CD=AD=10，
∴BE=CF=DG=AH=，
∵，
∴AM=，
∴，
∴MQ=MN=PN=PQ=，
∴四边形MNPQ的面积=，
故答案为：20
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形，熟练运用正方形的性质和全等三角形是解题的关键．
5．（2022·河南开封·八年级期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】25
【解析】
【分析】
证明，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形和的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】
解：∵ 四边形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故答案为：25．
【点睛】
本题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明是解本题的关键．
二、解答题
6．（2022·福建南平·八年级期末）如图，在正方形 ABCD 中，E是边BC上一动点（不与B，C重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CD的延长线于点 F ．
(1)如 图1，求证：BE＝DF；
(2)如图2，连接BD，EF，交点为O．求证：点O是线段EF的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABE≌△ADF（ASA）即可得到结论；
（2）过点E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，证明△GOE≌△DOF（AAS），即可得到结论．
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=∠B= ∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵AF⊥ AE，
∴∠EAF=∠BAD = 90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA）．
∴BE=DF．
(2)
证明：如图，过点E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC=∠CDB =45° ，
∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，
∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，
∴△BGE 是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF= 135° ，
∴由（1）可知，BE=DF ，
∴GE=DF．
∵∠GOE=∠DOF，
∴△GOE≌△DOF（AAS）．
∴OE=OF ．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
7．（2022·湖北黄石·八年级期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是32°时，求∠EFC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)∠EFC＝122°或32°
【解析】
【分析】
（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明，可得EF＝ED，则矩形DEFG是正方形；
（2）根据AB＝2，，可得重合，根据正方形的性质即可求解；
（3）①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝122°，②当DE与DC的夹角为32°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝32°，可得∠EFC＝∠CDE＝32°．
(1)
证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在和中，
∴
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)
解：如图2中，
在中，，
∵，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，
．
(3)
①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，如图3所示：
则∠CDE＝90°－32°＝58°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：
∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，
②当DE与DC的夹角为32°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝32°，如图4所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝32°，
综上所述，∠EFC＝122°或32°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理，掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
8．（2022·贵州黔东南·八年级期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据，利用勾股定理分别求出和即可证明结论；
（2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等量代换求出∠EMN＝90°即可；
（3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：，，
∴；
（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠CEA＝∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴；
（3）如图3，连接CG，BE，
∵，，，
∴AC＝8，AE＝，
∴AB＝10，
∴CG＝，BE＝，
∵，
∴由（1）可知：，即，
∵BC＞0，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．