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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题15 解析几何小题 （拔高版）
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这是一份【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题15 解析几何小题 （拔高版），文件包含专题15解析几何小题拔高练原卷版docx、专题15解析几何小题拔高练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题15 解析几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·湖南常德·统考一模）已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆和直线相切，联立椭圆和直线的方程消得到，令，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，联立椭圆和直线的方程得：
整理得：，
因为椭圆和直线相切，
则，
化简得：，
则椭圆的离心率，
故选：B.
2．（2023·湖北·校联考模拟预测）过点作抛物线的两条切线，切点分别是A，B，若面积的最小值为4，则（ ）
A．1B．2C．4D．16
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求出直线的方程，将其代入抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出的表达式，再利用点到直线的距离和三角形面积公式求出面积的表达式，进而求解即可.
【详解】设，以为切点的切线斜率为，
则以为切点的切线方程为，
与抛物线联立可得：，
由，即，则，
即，解得，
则以为切点的切线方程为，即，
所以，整理可得，
同理为切点的切线方程为，
因为点在切线和，
所以，，
故直线的方程为：，
联立消去x，得．．
由韦达定理，得，于是．
点M到直线的距离：，
于是的面积，
当时，面积最小为，
故选：B．
3．（2023·山东青岛·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得.
【详解】显然直线与交于原点O，
由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则，
设点，而
由得，解得，
则，
则，化简得，即，，
解得，
则.
故选：C.
4．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，若是面积为的正三角形，则的值为（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】C
【分析】由三角形的面积公式得到，再由正三角形得到点的坐标，将点的坐标代入中，即可得到.
【详解】是面积为的正三角形，即，所以，
所以的边长为，高为，
所以，所以.又，所以，
故选：C.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理结合可得，再根据弦长公式表示得,结合即可求直线l的斜率.
【详解】由题意可知：，设，，的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则，
由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
联立方程组化简整理可得，，
则，，
，
故的中点P的纵坐标，横坐标，
则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心到直线的距离，
，
，即，
将①代入可得：，
即，
整理可得：，则，
因为，所以，解得，
∴.
故选:A.
6．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意设由椭圆的定义可求出，再由，代入化简即可得出答案.
【详解】因为过作直线与椭圆相交于两点，若且，
设，，
由椭圆的定义知：解得：，
所以，
所以，
则，则，
.
故选：C.
7．（2023·湖南常德·统考一模）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于两点，且，O为坐标原点，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线的定义及解析式可得的坐标，从而求得的坐标,将面积比转化为坐标关系即可.
【详解】由解析式可知：焦点，准线为，
设，
由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，则
联立,，即，所以
故选：D
8．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆上有四个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式求出结果.
【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
又圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，即，得到
故选：D.
9．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
10．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可.
【详解】解：设，则，，
由题知关于x轴对称，关于轴对称，
所以，，即，，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为.
故选：B
11．（2023·江苏南通·模拟预测）双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（ ）
A．1B．0C．D．不确定值
【答案】B
【分析】设为原点，则，，结合题意可得，即可得到.由可得，进而得到.设，，分别代入双曲线和方程，可得，再表示出和，进而求解.
【详解】设为原点，则，，
而，得，
所以、、三点共线.
因为，所以，且，
得，
所以，即.
设，，分别代入双曲线和，
则，即，
所以，
，
因为、、三点共线，
所以，
即.
故选：B.
12．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.
设，则，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故选：A.
二、多选题
13．（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得的坐标，可得答案.
【详解】由函数，则，
设，，
当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
对于A，，故A错误；
对于B，直线的斜率，故B正确；
对于C，易知直线，直线，
令，则，即，同理可得，
，故C正确；
对于D，联立，整理可得，解得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
14．（2023·江苏·统考一模）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
15．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
【答案】BCD
【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．
【详解】该椭圆中，则，
所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在、斜率都存在的前提下有，，
于是
为定值，故B正确；
由题意可设的方程为，
联立，消得，
则，
所以
，
则当时，，
所以线段的长度存在最小值，故C正确.
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点为，得直线方程为，
求得交点为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则垂直于轴，此时，，，
此时的周长为，
显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
16．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．过作圆切线的斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】由圆的性质结合给定的最小值求出c判断A；设出切线方程结合点到直线的距离计算判断B；利用斜率坐标公式结合椭圆方程计算判断C；利用圆的性质及椭圆的定义计算判断D作答.
【详解】圆的圆心，半径，显然圆与椭圆相离，而点在椭圆上，点在圆上，
于是，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
因此，解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A正确；
显然过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确；
设，有，且，即，
直线的斜率分别为，因此，C错误；
，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确.
故选：ABD
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
【答案】ABC
【分析】因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断A；设点，，，表示出可判断B；由双曲线的第三定义知，再结合，求出可判断C；由均值不等式可判断D.
【详解】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在椭圆上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
18．（2023·湖南常德·统考一模）已知圆C：与圆，P，Q分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点（2，1）作圆M的切线有且仅有一条
B．存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线
C．若圆C和圆M恰有3条公切线，则
D．若的最小值为1，则
【答案】BC
【分析】对于选项A，通过判断点在圆M外，则可判断选项A错误；对于选项BC，可通过两圆内切和外切求出的值，从而判断BC的正误；对于选项D,利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时取得最小值，也即，从而求出，判断出选项D的正误.
【详解】选项A，点到的距离为，所以点在圆M外，可作2条切线，故选项A错误；
选项B，当圆C和圆M内切时，圆C和圆M只有一条公切线，此时有，
即，解得，故选项B正确；
选项C，当圆C和圆M外切时，圆C和圆M只有3条公切线，此时有，
即，解得，故选项C正确；
选项D，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时取得最小值，即时，取得最小值为1，所以，得到，解得，故选项D错误.
故选：BC
19．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（ ）
A．若直线与的斜率分别为，，则
B．直线与轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.
【详解】如图，
设，则，故A正确；
直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，
同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；
同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，
故选：ABC.
20．（2023·浙江温州·统考二模）已知圆的方程为，对任意的，该圆（ ）
A．圆心在一条直线上B．与坐标轴相切
C．与直线不相交D．不过点
【答案】ABC
【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.
【详解】对于：显然圆心在故A对；
对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；
对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；
对于D：将点代入圆方程得，
显然，故有解，所以可能过点错；
故选：ABC．
三、填空题
21．（2023·江苏·二模）设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为__________
【答案】
【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于、的方程即可求出离心率．
【详解】如图，
设为中点，，
由可知，，
由双曲线的定义可知， ，
由可知，
又为中点，为中点，可知，则,
从而为线段的垂直平分线，， 即 ，
所以，则为正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
故答案为：．
22．（2023·江苏南通·模拟预测）弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】根据焦半径公式可得，从而可知数列是等差数列，进而可求得，再根据的横坐标为八等分可得，从而可得，进而表示出，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值，从而求解离心率.
【详解】设，有，
得，所以数列是等差数列，
，
由题意，的横坐标为八等分，所以，
而，又，所以，
所以
，
当且仅当即时取得等号，此时离心率为，
故答案为: .
23．（2023·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】如下图所示：
不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，
所以，直线的倾斜角为，易知点，
所以，，整理可得，且有，故，
等式两边平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案为：.
24．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【详解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面积为，所以点到直线的距离.
直线AB的方程为，即.
则圆心O到直线的距离.
如图，过点作，垂足为，交圆于点.
因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为.
又点到直线的距离，
则应有，所以，
即点到直线的距离小于，
所以有，
解得.
故答案为：.
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）过点的直线与抛物线交于A，B两点，若M点的坐标为，则的最小值为__________．
【答案】34
【分析】设直线AB的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理结合二次函数的性质即可求出答案.
【详解】设直线AB的方程为，代入抛物线方程得．
设，，则，，
∴，，
，当且仅当时取等号．
故答案为：34
26．（2023·湖南郴州·统考三模）已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设为的中点，由垂径定理得出点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案.
【详解】设为的中点，连接，则
所以的轨迹是以为直径的圆，其圆心为，半径
则
由圆的性质可得
所以
故答案为：
27．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元求出的最大值即可.
【详解】设椭圆，双曲线，
且设，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
得，，
得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，
所以，
当即时，取最大值为.
故答案为：.
28．（2023·广东·校联考模拟预测）已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为___________.
【答案】5
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最小，根据位置关系可得圆的半径.
【详解】如图，记圆半径为R，，则，，
所以，
当最小时，最大，此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为，
又圆心可得
即，
解得，所以，即圆的半径为5.
故答案为：5.
29．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为______..
【答案】##
【分析】利用抛物线的定义可得点到y轴的距离即为点到焦点的距离减去2，进而利用圆的性质即得.
【详解】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为，
圆的圆心坐标为，半径为，
故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和，
根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.
故答案为：.
30．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．
【答案】（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）
【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.
【详解】设点，由可得，
整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，
直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，
所以，直线的方程可为.
故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题15 解析几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·湖南常德·统考一模）已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆和直线相切，联立椭圆和直线的方程消得到，令，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，联立椭圆和直线的方程得：
整理得：，
因为椭圆和直线相切，
则，
化简得：，
则椭圆的离心率，
故选：B.
2．（2023·湖北·校联考模拟预测）过点作抛物线的两条切线，切点分别是A，B，若面积的最小值为4，则（ ）
A．1B．2C．4D．16
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求出直线的方程，将其代入抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出的表达式，再利用点到直线的距离和三角形面积公式求出面积的表达式，进而求解即可.
【详解】设，以为切点的切线斜率为，
则以为切点的切线方程为，
与抛物线联立可得：，
由，即，则，
即，解得，
则以为切点的切线方程为，即，
所以，整理可得，
同理为切点的切线方程为，
因为点在切线和，
所以，，
故直线的方程为：，
联立消去x，得．．
由韦达定理，得，于是．
点M到直线的距离：，
于是的面积，
当时，面积最小为，
故选：B．
3．（2023·山东青岛·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得.
【详解】显然直线与交于原点O，
由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则，
设点，而
由得，解得，
则，
则，化简得，即，，
解得，
则.
故选：C.
4．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，若是面积为的正三角形，则的值为（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】C
【分析】由三角形的面积公式得到，再由正三角形得到点的坐标，将点的坐标代入中，即可得到.
【详解】是面积为的正三角形，即，所以，
所以的边长为，高为，
所以，所以.又，所以，
故选：C.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理结合可得，再根据弦长公式表示得,结合即可求直线l的斜率.
【详解】由题意可知：，设，，的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则，
由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
联立方程组化简整理可得，，
则，，
，
故的中点P的纵坐标，横坐标，
则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心到直线的距离，
，
，即，
将①代入可得：，
即，
整理可得：，则，
因为，所以，解得，
∴.
故选:A.
6．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意设由椭圆的定义可求出，再由，代入化简即可得出答案.
【详解】因为过作直线与椭圆相交于两点，若且，
设，，
由椭圆的定义知：解得：，
所以，
所以，
则，则，
.
故选：C.
7．（2023·湖南常德·统考一模）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于两点，且，O为坐标原点，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线的定义及解析式可得的坐标，从而求得的坐标,将面积比转化为坐标关系即可.
【详解】由解析式可知：焦点，准线为，
设，
由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，则
联立,，即，所以
故选：D
8．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆上有四个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式求出结果.
【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
又圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，即，得到
故选：D.
9．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
10．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可.
【详解】解：设，则，，
由题知关于x轴对称，关于轴对称，
所以，，即，，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为.
故选：B
11．（2023·江苏南通·模拟预测）双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（ ）
A．1B．0C．D．不确定值
【答案】B
【分析】设为原点，则，，结合题意可得，即可得到.由可得，进而得到.设，，分别代入双曲线和方程，可得，再表示出和，进而求解.
【详解】设为原点，则，，
而，得，
所以、、三点共线.
因为，所以，且，
得，
所以，即.
设，，分别代入双曲线和，
则，即，
所以，
，
因为、、三点共线，
所以，
即.
故选：B.
12．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.
设，则，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故选：A.
二、多选题
13．（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得的坐标，可得答案.
【详解】由函数，则，
设，，
当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
对于A，，故A错误；
对于B，直线的斜率，故B正确；
对于C，易知直线，直线，
令，则，即，同理可得，
，故C正确；
对于D，联立，整理可得，解得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
14．（2023·江苏·统考一模）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
15．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
【答案】BCD
【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．
【详解】该椭圆中，则，
所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在、斜率都存在的前提下有，，
于是
为定值，故B正确；
由题意可设的方程为，
联立，消得，
则，
所以
，
则当时，，
所以线段的长度存在最小值，故C正确.
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点为，得直线方程为，
求得交点为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则垂直于轴，此时，，，
此时的周长为，
显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
16．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．过作圆切线的斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】由圆的性质结合给定的最小值求出c判断A；设出切线方程结合点到直线的距离计算判断B；利用斜率坐标公式结合椭圆方程计算判断C；利用圆的性质及椭圆的定义计算判断D作答.
【详解】圆的圆心，半径，显然圆与椭圆相离，而点在椭圆上，点在圆上，
于是，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
因此，解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A正确；
显然过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确；
设，有，且，即，
直线的斜率分别为，因此，C错误；
，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确.
故选：ABD
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
【答案】ABC
【分析】因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断A；设点，，，表示出可判断B；由双曲线的第三定义知，再结合，求出可判断C；由均值不等式可判断D.
【详解】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在椭圆上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
18．（2023·湖南常德·统考一模）已知圆C：与圆，P，Q分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点（2，1）作圆M的切线有且仅有一条
B．存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线
C．若圆C和圆M恰有3条公切线，则
D．若的最小值为1，则
【答案】BC
【分析】对于选项A，通过判断点在圆M外，则可判断选项A错误；对于选项BC，可通过两圆内切和外切求出的值，从而判断BC的正误；对于选项D,利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时取得最小值，也即，从而求出，判断出选项D的正误.
【详解】选项A，点到的距离为，所以点在圆M外，可作2条切线，故选项A错误；
选项B，当圆C和圆M内切时，圆C和圆M只有一条公切线，此时有，
即，解得，故选项B正确；
选项C，当圆C和圆M外切时，圆C和圆M只有3条公切线，此时有，
即，解得，故选项C正确；
选项D，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时取得最小值，即时，取得最小值为1，所以，得到，解得，故选项D错误.
故选：BC
19．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（ ）
A．若直线与的斜率分别为，，则
B．直线与轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.
【详解】如图，
设，则，故A正确；
直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，
同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；
同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，
故选：ABC.
20．（2023·浙江温州·统考二模）已知圆的方程为，对任意的，该圆（ ）
A．圆心在一条直线上B．与坐标轴相切
C．与直线不相交D．不过点
【答案】ABC
【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.
【详解】对于：显然圆心在故A对；
对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；
对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；
对于D：将点代入圆方程得，
显然，故有解，所以可能过点错；
故选：ABC．
三、填空题
21．（2023·江苏·二模）设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为__________
【答案】
【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于、的方程即可求出离心率．
【详解】如图，
设为中点，，
由可知，，
由双曲线的定义可知， ，
由可知，
又为中点，为中点，可知，则,
从而为线段的垂直平分线，， 即 ，
所以，则为正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
故答案为：．
22．（2023·江苏南通·模拟预测）弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】根据焦半径公式可得，从而可知数列是等差数列，进而可求得，再根据的横坐标为八等分可得，从而可得，进而表示出，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值，从而求解离心率.
【详解】设，有，
得，所以数列是等差数列，
，
由题意，的横坐标为八等分，所以，
而，又，所以，
所以
，
当且仅当即时取得等号，此时离心率为，
故答案为: .
23．（2023·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】如下图所示：
不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，
所以，直线的倾斜角为，易知点，
所以，，整理可得，且有，故，
等式两边平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案为：.
24．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【详解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面积为，所以点到直线的距离.
直线AB的方程为，即.
则圆心O到直线的距离.
如图，过点作，垂足为，交圆于点.
因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为.
又点到直线的距离，
则应有，所以，
即点到直线的距离小于，
所以有，
解得.
故答案为：.
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）过点的直线与抛物线交于A，B两点，若M点的坐标为，则的最小值为__________．
【答案】34
【分析】设直线AB的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理结合二次函数的性质即可求出答案.
【详解】设直线AB的方程为，代入抛物线方程得．
设，，则，，
∴，，
，当且仅当时取等号．
故答案为：34
26．（2023·湖南郴州·统考三模）已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设为的中点，由垂径定理得出点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案.
【详解】设为的中点，连接，则
所以的轨迹是以为直径的圆，其圆心为，半径
则
由圆的性质可得
所以
故答案为：
27．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元求出的最大值即可.
【详解】设椭圆，双曲线，
且设，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
得，，
得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，
所以，
当即时，取最大值为.
故答案为：.
28．（2023·广东·校联考模拟预测）已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为___________.
【答案】5
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最小，根据位置关系可得圆的半径.
【详解】如图，记圆半径为R，，则，，
所以，
当最小时，最大，此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为，
又圆心可得
即，
解得，所以，即圆的半径为5.
故答案为：5.
29．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为______..
【答案】##
【分析】利用抛物线的定义可得点到y轴的距离即为点到焦点的距离减去2，进而利用圆的性质即得.
【详解】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为，
圆的圆心坐标为，半径为，
故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和，
根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.
故答案为：.
30．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．
【答案】（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）
【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.
【详解】设点，由可得，
整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，
直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，
所以，直线的方程可为.
故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.
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