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2024九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系29.4切线长定理习题课件新版冀教版
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冀教版 九年级下第二十九章 直线与圆的位置关系切线长定理*29.4 如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,若∠BAC=26°,则∠P的度数为( )A.32° B.52°C.64° D.72°1【答案】 B【点拨】∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,CA⊥PA.∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=90°.∵∠BAC=26°,∴∠PAB=90°-26°=64°.∴∠P=180°-2∠PAB=52°.2如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B,∠P=70°,C为⊙O上一点,则∠ACB的度数为( )A.110° B.120°C.125° D.130°【答案】 C【点拨】连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,由切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°,利用四边形内角和可求得∠AOB=110°,再利用圆周角定理求得∠ADB=55°,再根据圆内接四边形对角互补可求得∠ACB=125°.3【2023·河南】如图,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为________.【点拨】如图,连接OC.∵PA与⊙O相切于点A,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,∴△OAC≌△OBC,∴∠OAP=∠OBC=90°.∴∠PBC=90°.4下列说法错误的是( )A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切B.一个三角形一定有唯一一个内切圆C.一个圆一定有唯一一个外切三角形D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆【答案】 C【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形,但一个三角形只有一个内切圆.5【母题:教材P13图29-4-7】如图,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点B6如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( )A.EF>AE+BF B.EF<AE+BFC.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF【答案】 C【点拨】连接OA,OB,由三角形内切圆的性质可得AE=OE,OF=BF,由此可得出结论.7【2023·威海】在△ABC中,BC=3,AC=4,下列说法错误的是( )A.1<AB<7B.S△ABC≤6C.△ABC内切圆的半径r<1【点拨】【答案】 C8【2023·聊城】如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15° B.17.5° C.20° D.25°【答案】 C【点拨】35° 9【2023·天门】如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=________.【点拨】如图,连接OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°.∵点O为△ABC的内切圆的圆心,62°或118° 10【2023·滨州】 【新考法·分类谈论法】如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,且∠APB=56°,若点C是⊙O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为____________.【点拨】如图,当点C在优弧AB上时,∵PA,PB切⊙O于点A,B,∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°.11【母题:教材P14习题A组T5】如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AC,P是射线AC上的动点,连接OP,过点B作BD∥OP,交⊙O于点D,连接PD.证明:如图,连接OD.∵PA切⊙O于A,∴PA⊥AB,即∠PAO=90°.∵OP∥BD,∴∠DBO=∠AOP,∠BDO=∠DOP.(1)求证:PD是⊙O的切线;∵OD=OB,∴∠BDO=∠DBO.∴∠DOP=∠AOP. 又∵OA=OD,OP=OP,∴△AOP≌△DOP(SAS).∴∠PDO=∠PAO=90°.∴OD⊥PD.又∵OD是⊙O的半径,∴PD是⊙O的切线.解:∵PA,PD是⊙O的切线,∴PA=PD.∵四边形POBD是平行四边形,∴PD=OB.∵OB=OA,∴PA=OA.∴∠APO=∠AOP.又∵∠PAO=90°,∴∠APO=∠AOP=45°.(2)当四边形POBD是平行四边形时,求∠APO的度数.12如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于点E,过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于点B,连接BC,PB.证明:如图,连接OB.∵AO=BO,AB⊥PO,∴∠AOP=∠POB.又∵PO=PO,AO=BO,∴△AOP≌△BOP(SAS).∴∠OBP=∠OAP. ∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OBP=90°,即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线.求证: (1)PB是⊙O的切线;解:如图,连接AE. 由(1)知∠OAP=90°,∴∠PAE+∠OAE=90°.∵AD⊥ED,∴∠EAD+∠AED=90°.∵OE=OA,∴∠OAE=∠AED.∴∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD. (2)E为△PAB的内心.由(1)知△AOP≌△BOP,∴∠APD=∠BPD.∴PD平分∠APB. ∵PD与AE的交点为E,∴E为△PAB的内心.13【新考法·类比拓展法】下面是小颖对一道题目的解答.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn.整理,得x2+(m+n)x=mn.∵AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2.∴根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
冀教版 九年级下第二十九章 直线与圆的位置关系切线长定理*29.4 如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,若∠BAC=26°,则∠P的度数为( )A.32° B.52°C.64° D.72°1【答案】 B【点拨】∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,CA⊥PA.∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=90°.∵∠BAC=26°,∴∠PAB=90°-26°=64°.∴∠P=180°-2∠PAB=52°.2如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B,∠P=70°,C为⊙O上一点,则∠ACB的度数为( )A.110° B.120°C.125° D.130°【答案】 C【点拨】连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,由切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°,利用四边形内角和可求得∠AOB=110°,再利用圆周角定理求得∠ADB=55°,再根据圆内接四边形对角互补可求得∠ACB=125°.3【2023·河南】如图,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为________.【点拨】如图,连接OC.∵PA与⊙O相切于点A,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,∴△OAC≌△OBC,∴∠OAP=∠OBC=90°.∴∠PBC=90°.4下列说法错误的是( )A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切B.一个三角形一定有唯一一个内切圆C.一个圆一定有唯一一个外切三角形D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆【答案】 C【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形,但一个三角形只有一个内切圆.5【母题:教材P13图29-4-7】如图,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点B6如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( )A.EF>AE+BF B.EF<AE+BFC.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF【答案】 C【点拨】连接OA,OB,由三角形内切圆的性质可得AE=OE,OF=BF,由此可得出结论.7【2023·威海】在△ABC中,BC=3,AC=4,下列说法错误的是( )A.1<AB<7B.S△ABC≤6C.△ABC内切圆的半径r<1【点拨】【答案】 C8【2023·聊城】如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15° B.17.5° C.20° D.25°【答案】 C【点拨】35° 9【2023·天门】如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=________.【点拨】如图,连接OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°.∵点O为△ABC的内切圆的圆心,62°或118° 10【2023·滨州】 【新考法·分类谈论法】如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,且∠APB=56°,若点C是⊙O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为____________.【点拨】如图,当点C在优弧AB上时,∵PA,PB切⊙O于点A,B,∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°.11【母题:教材P14习题A组T5】如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AC,P是射线AC上的动点,连接OP,过点B作BD∥OP,交⊙O于点D,连接PD.证明:如图,连接OD.∵PA切⊙O于A,∴PA⊥AB,即∠PAO=90°.∵OP∥BD,∴∠DBO=∠AOP,∠BDO=∠DOP.(1)求证:PD是⊙O的切线;∵OD=OB,∴∠BDO=∠DBO.∴∠DOP=∠AOP. 又∵OA=OD,OP=OP,∴△AOP≌△DOP(SAS).∴∠PDO=∠PAO=90°.∴OD⊥PD.又∵OD是⊙O的半径,∴PD是⊙O的切线.解:∵PA,PD是⊙O的切线,∴PA=PD.∵四边形POBD是平行四边形,∴PD=OB.∵OB=OA,∴PA=OA.∴∠APO=∠AOP.又∵∠PAO=90°,∴∠APO=∠AOP=45°.(2)当四边形POBD是平行四边形时,求∠APO的度数.12如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于点E,过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于点B,连接BC,PB.证明:如图,连接OB.∵AO=BO,AB⊥PO,∴∠AOP=∠POB.又∵PO=PO,AO=BO,∴△AOP≌△BOP(SAS).∴∠OBP=∠OAP. ∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OBP=90°,即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线.求证: (1)PB是⊙O的切线;解:如图,连接AE. 由(1)知∠OAP=90°,∴∠PAE+∠OAE=90°.∵AD⊥ED,∴∠EAD+∠AED=90°.∵OE=OA,∴∠OAE=∠AED.∴∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD. (2)E为△PAB的内心.由(1)知△AOP≌△BOP,∴∠APD=∠BPD.∴PD平分∠APB. ∵PD与AE的交点为E,∴E为△PAB的内心.13【新考法·类比拓展法】下面是小颖对一道题目的解答.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn.整理,得x2+(m+n)x=mn.∵AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2.∴根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
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