初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试一课一练

九年级数学下册第三十章二次函数同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）

A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1

2、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

4、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0

C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

6、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

7、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

8、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

10、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．

2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．

3、这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．

4、如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．（提示：两点间距离公式 ）

5、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、2022年北京冬奥会即将召开，敢起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴建立平而直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点О正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米．求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量工的取值范围）；

(2)在（1）的条件下．当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？

2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．

(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．

3、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．

①求直线BC的解析式；

②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

4、如图，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，直接写出点M的纵坐标的取值范围．

(3)平移直线，设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，若l与上方的抛物线有唯一交点，求m的取值范围．

5、已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；

(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．

【详解】

解：由题意知平移后的函数关系式为：，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．

2、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

3、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

4、C

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.

【详解】

解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），

抛物线的对称轴为： 故①符合题意；

当时，

所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；

当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而

故③符合题意；

当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由

则或 故④符合题意，

综上：符合题意的有：①③④

故选：C

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．

【详解】

解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，

∴a=1．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

8、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.

【详解】

解： 二次函数的图象经过，，

二次函数图象的对称轴为：

解得：

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．

【详解】

解：建立平面直角坐标系如图：

根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，

设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，

，

解得，，

抛物线解析式为：，

把代入得，；

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．

2、x＝﹣1

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.

【详解】

解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.

3、

【解析】

【分析】

由图象可得：抛物线的对称轴为： 再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.

【详解】

解：由图象可得：抛物线的对称轴为：

而

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.

4、

【解析】

【分析】

分别求出点A，C，E的坐标，求出直线BE的解析式，设点的坐标为，由中点坐标公式得，由两点之间的距离公式得：，进一步可得出AN的最小值．

【详解】

解：在矩形中，，点是的中点，

，

∴，

设直线BE的解析式为y=kx，

把E（3，3）代入y=kx，得，k=1

直线的函数解析式为，

设点的坐标为，

点是上一动点，

，

点是的中点，

，

由两点之间的距离公式得：，

由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，

则当时，取得最小值，最小值为36，

因此，的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题这一切考查了坐标与图形以及二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

5、     4     （2，7）

【解析】

【分析】

由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，

∴−＝2，

∴b＝4，

∴二次函数y＝−x2＋4x＋3，

∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7，

∴顶点坐标是（2，7），

故答案为：4，（2，7）．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处

【解析】

【分析】

（1）运用待定系数法求解即可；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，依题意列出方程求解即可．

(1)

由题意可知抛物线过点和，将其代人得：

，

解得： ，

∴抛物线的函数表达式为：

(2)

设运动员运动的水平距离为m米时，依题意得：

整理得：，

解得： （舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处．

【点睛】

本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．

2、 (1)，C（1，0）；

(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；

(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）

【解析】

【分析】

（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．

（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．

（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．

(1)

解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，

令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，

解得x＝﹣4或x＝1，

∴C（1，0）；

(2)

解：如图2，

设D（t，0），

∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），

∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，

∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；

△ABP的形状为直角三角形，

证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，

∴BA2+BP2＝AP2，

∴△ABP的形状为直角三角形；

(3)

解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，

代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，

解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，

∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，

∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，

∴直线l'：y＝x，

令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，

解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，

∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．

【点睛】

此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．

3、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)

(2)①y=x−3；②

【解析】

【分析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．

(1)

解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∵y=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

(2)

解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3；

②如图，

x2-1=1-x1，

∴x1+x2=2，

∴x1+x2+x3=2+x3，

∵y3＜-3，即x3-3＜-3，

∴x3＜0，

∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，

∴-1＜x3＜0，

∴1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

4、 (1)；

(2)；

(3)-1<m<3或．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解；

（2）将函数解析式化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，即可得到的取值范围；

（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到直线l的解析式为y=-x+m，求出点B的坐标，由此得到当直线l与BC段相交时，m的取值范围；解，求出当时m的值，由此得到m的取值范围．

(1)

解：将点、代入中，得

，解得，

∴抛物线的表达式为；

(2)

解：∵，M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，,

∴抛物线的顶点坐标为（1,4），

∴点M的纵坐标的取值范围为；

(3)

解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=-x+3，

∵设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，

∴直线l的解析式为y=-x+m，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，点A（3,0），

∴B（-1,0），

将点B坐标代入y=-x+m，得m=-1，

当直线l与BC段相交时，m的取值范围是-1<m<3；

当直线l与AC段相交时，则，

整理得，

当时，得；

综上，若l与上方的抛物线有唯一交点，m的取值范围为-1<m<3或．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数解析式，将一般式解析式化为顶点式，直线的平移，一元二次方程的判别式，图象交点问题，综合掌握一次函数与二次函数的知识是解题的关键．

5、 (1)

(2)18

(3)1或5

【解析】

【分析】

（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；

（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；

（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．

(1)

解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），

由题意知，该函数图象经过点，，，得

，

解得，

∴二次函数的表达式为.

(2)

解：∵

当y=0时，

解得：x1=1，x2=5

∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；

当x=0时，y=-5，

∴点C坐标为(0，-5)；

把化为y=-(x-3)2+4

∴点P坐标为(3，4)；

由题意可画图如下：

 ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC

=

＝18，

故答案是：18；

(3)

由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．

故：m=1或．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．