北师大版七年级上册2.3 绝对值课时训练

这是一份北师大版七年级上册2.3 绝对值课时训练，共18页。

1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、分类讨论化简绝对值
例1．若，则的值为_________．
例2.化简：.
【变式训练1】数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
【变式训练2】|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【变式训练3】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
类型二、利用数轴化简绝对值
例.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（ ）
A．B．C．D．根据，，的值才能确定
【变式训练1】有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝____．
【变式训练2】如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【变式训练3】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．
（2）求代数式的值．
【变式训练4】解答下列问题
（1）若有理数、满足，且，求的值．
（2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．
类型三、由绝对值的几何意义求最值
例1．在数轴上，|a－b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离，点P为数轴上任意一点，其代表的数为x．如|x－2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离．
（1）若|x＋4|＋|x－1|＝7，则x＝_______，|x＋4|＋|x－1|的最小值是_______；
（2）若2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，求x该满足的条件及此时常数的值．
【变式训练1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．
（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．
【变式训练2】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，
①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_________；
③若点P在点B右侧，化简_________；
④由图可知，的最小值是_________．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
【变式训练3】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
专题01 绝对值的三种培优考法
【知识点梳理】
1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、分类讨论化简绝对值
例1．若，则的值为_________．
【答案】0或2或4
【详解】∵，
∴a、b、c三个数中必定是一正两负，
∴当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时
故答案为：0或2或4
例2.化简：.
【答案】
【解析】试题解析：①当时，原式
②当时，原式
③当时，原式
④当时，原式
综上所述：
【变式训练1】数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
【答案】（1）或0或2；（2）1或
【详解】（1）①当中有2个正，0个负时，原式；
②当中有1个正，1个负时，原式；
③当中有0个正，2个负时，原式；
综上所述，的值为或0或2．
（2）∵，
∴，，，
不可能都为正或都为负，∴．
①当中有两正一负时，
原式，
②当中有一正两负时，
原式．综上所述的值为1或．
【变式训练2】|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【答案】C
【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴，，∴，∴
=====0；故选：C．
【变式训练3】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1
【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴=a， =b，∴=1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案为：0；
③∵a、b都是负数，∴=-a， =-b，∴=-1-1=-2，故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，
综上，的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴=，
∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，
综上，的值为-1或1.
类型二、利用数轴化简绝对值
例.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（ ）
A．B．C．D．根据，，的值才能确定
【答案】C
【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知，a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0，
，，
，，∴，，∴，
故选：C．
【变式训练1】有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝____．
【答案】−2b−c
【详解】根据题意得：b>0>c>a，且|a|>|b|，∴a+b<0，c−b<0，c−a>0
∴|a+b|−|c−b|+|c|−|c−a|=−(a+b)+ (c−b)−c−(c−a)=−a−b+c−b−c−c+a=−2b−c故答案为：−2b−c．
【变式训练2】如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．
【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＞0；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b-1；
（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．故答案为：①b﹣a；②b﹣c．
【变式训练3】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．
（2）求代数式的值．
【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．
【详解】由数轴可知：，
（1），，，故答案为＜，＜，＞，＞；
（2）；故答案为．
【变式训练4】解答下列问题
（1）若有理数、满足，且，求的值．
（2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【答案】（1）6或8．（2）．
【详解】（1）∵，，∴或，或，
①当，时，（舍去），
②当时，，
③当时，，．
④当时，，．
则②3④满足，则或8．
（2）由题得：，
∴．
类型三、由绝对值的几何意义求最值
例1．在数轴上，|a－b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离，点P为数轴上任意一点，其代表的数为x．如|x－2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离．
（1）若|x＋4|＋|x－1|＝7，则x＝_______，|x＋4|＋|x－1|的最小值是_______；
（2）若2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，求x该满足的条件及此时常数的值．
【答案】（1）－5或2；5；（2）1≤x≤2，常数值为0．
【详解】解：（1）如图所示，-4和1之间的距离为，当P点在-4和1之间时，;
当P点在-4左侧时，,所以,此时x＝-4-1=-5；
当P点在-4右侧时，,所以,此时x＝1+1=2；
综上所述x＝－5或2；
由上分析可知，|x＋4|＋|x－1|的值大于等于5，且当P点在-4和1之间时等号成立，因此|x＋4|＋|x－1|的最小值是5；
故答案为：－5或2；5；
（2），
当时，，不是定值；
当时，，是定值；
当时，，不是定值；
综上所述当时，2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，常数值为0．
【变式训练1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．
（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．
【答案】（1）4，3；（2）|x+1|，6；（3）7；-3，-2，-1，0，1，2，3，4
【详解】解：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 4，数轴上表示2和-1的两点之间的距离是 3；
（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为|x+1|；
∵-4＜x＜2，
∴==6；
（3）由数轴可知，当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|取得最小值，
最小值是：|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7，
此时，x可取的整数值是：-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
【变式训练2】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，
①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_________；
③若点P在点B右侧，化简_________；
④由图可知，的最小值是_________．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，
∴，故答案为：；
②∵P在线段AB上，∴，
∴，故答案为：；
③∵点P在点B右侧，∴，
∴，故答案为：；
④由图可知当P在 A点左侧时，
由图可知当P在 AB之间时，
由图可知当P在 B点右侧时，
∴的最小值为3，故答案为：3；
（2）当P点在2的右侧即时，
∴，
当P点在-3的左侧即时，
∴
当P点在-3和1之间时即时，
∴，
∴此时，
当P点在1和2之间时即时，
∴，
∴此时，
∴综上所述，的最小值为5，
故答案为：5；
（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，
由题意得：路程之和
当时，
；
当时，
；
当时，
；
∴此时；
当时，
；
当时，
；
∴此时；
∴s的最小值为1400，此时，
∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．
【变式训练3】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．
【详解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案为15；
（2）|x-(-1)|=|x+1|，故答案为：|x+1|；
（3）当x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=- x-1 –x+2- x+3=-3x+4≥7，
当-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1–x+2- x+3=- x+6≥4，
当2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2- x+3= x+2＞4，
当x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2+ x-3=3 x-4＞5，
式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，
故答案为4；
（4）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为7，符合条件的整数x为0，1，
故答案为：7；0,1；
（5）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为16，符合条件的整数x为1，
故答案为16；1；
（6）当x≤1，，
当1≤x≤3， ，
当x≥3，，
的最小值为-2，最大值为2．
故答案为-2；2．