江苏省启东市重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题

这是一份江苏省启东市重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题，共8页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
2. 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在
圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A. eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,6) D. eq \f(5,36)
3. 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(csA,csB)＝eq \f(b,a)＝eq \r(2)，则该三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，则BC等于( )
A.eq \r(3) B.eq \r(7) C．2eq \r(2) D.eq \r(23)
5. 过点(0，－2)的直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4))) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,8)))
6. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重. 恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕. 恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕。下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（ ）
A. 农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势
B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多
C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准
D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%
7. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离
水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A．eq \r(51)米 B．2eq \r(51)米 C.14米 D．15米
8. 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，b=3，
则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x（单位：万元）与年家庭消费y（单位：万元）的数据，制作了对照表：
由表中数据得回归直线方程为，得到下列结论，其中正确的是（ ）
A. 若某户年可支配收入4万元为时，则年家庭消费约为2.3万元
B. 若某户年可支配收入4万元为时，则年家庭消费约为2.1万元
C. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元
D. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元
10. 已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与CD平行，则m的值为( )
A．－1 B．0 C． 1 D．2
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq \r(3)ac，则B的值为( )
A． B． C． D．
12. 已知圆C1：(x－3)2＋(y－4)2＝25与圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)相内切，则r等于( )
A．5＋2eq \r(2) B．－5＋2eq \r(2) C．5－2eq \r(2) D．－5－2eq \r(2)
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是eq \f(1,3)，那么另一组数据3x1－2,
3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数为 ，方差为 .
14. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为eq \f(1,4)，
得到黑球或黄球概率是eq \f(5,12)，得到黄球或绿球概率是eq \f(1,2)，则任取一球得到黄球的概率为 .
15. 在△ABC中，C＝60°，a＋b＝16，则△ABC的周长l的最小值是________。
16. 设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是________.
四、 解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡制定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值．
18. (本小题满分12分)在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，且2cs(A＋B)＝1，求：
(1)C的度数；
(2)AB的长度.
19. (本小题满分12分)如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求矩形外接圆的方程．
20. (本小题满分12分)如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC＝120°，
∠ACD＝60°，AD＝27，设∠ACB＝θ，C点到AD的距离为h.
(1)用θ表示h的解析式；
(2)求AB＋BC的最大值.
21. (本小题满分12分)在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间。某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
22. (本小题满分12分)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为，直线l被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的上方．
（1）求圆的方程；
（2）设,，若圆M是的内切圆，求AC, BC边所在直线的斜率（用t表示）；
（3）在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的t值．
高一期中考试数学试题答案
1.B ； 2. A； 3. B； 4.A； 5.C； 6.D； 7.B； 8.D；
9.BD； 10. BC； 11.AB； 12. AC；
13. 4, 3； 14.eq \f(1,6)； 15. 24； 16.
17.解：(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－eq \f(10,100)＝0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人，频率为0.17，所以a＝eq \f(频率,组距)＝eq \f(0.17,2)＝0.085.课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人，频率为0.25，所以b＝eq \f(频率,组距)＝eq \f(0.25,2)＝0.125.
18.解：(1)由2cs(A＋B)＝1，得2cs(π－C)＝1，即csC＝－eq \f(1,2)，故C＝120°.
(2)因为a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，所以a＋b＝2eq \r(3)，ab＝2，
所以c2＝a2＋b2－2abcsC＝(a＋b)2－2ab－2abcsC
＝(2eq \r(3))2－2×2－2×2×cs120°＝10.
所以AB＝c＝eq \r(10).
19.解： (1)因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为.
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
(2)由，解得点的坐标为．
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又|，
从而矩形外接圆的方程为.
20.解：(1)由已知，得∠ADC＝360°－(90°＋120°＋60°＋θ)＝90°－θ.
在△ACD中，由eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，得AC＝eq \f(27csθ,sin60°)＝18eq \r(3)csθ.
又∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝30°＋θ，且0°<θ<60°，
所以h＝ACsin∠CAD＝18eq \r(3)csθsin(30°＋θ)(0°<θ<60°).
(2)在△ABC中，由正弦定理，得AB＝eq \f(ACsinθ,sin120°)＝18sin2θ，
BC＝eq \f(ACsin60°－θ,sin120°)＝36csθsin(60°－θ)＝9eq \r(3)＋9eq \r(3)cs2θ－9sin2θ，
于是AB＋BC＝9eq \r(3)＋9eq \r(3)cs2θ＋9sin2θ＝9eq \r(3)＋18sin(2θ＋60°).
因为0°<θ<60°，所以当θ＝15°时，AB＋BC取得最大值9eq \r(3)＋18.
21.解：（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人.
（2）（天）
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1,2,3,4，潜伏期超过12天的两人编号为：5,6，从六人中抽取两人包括15个基本事件：
1,2；1,3； 1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以.
答：
22.解：（1）设圆心，由已知得到的距离
为,.
又在的上方，，,，故圆的方程为.
（2）设斜率为，斜率为，
则直线的方程为，直线的方程为．
由于圆与相切，所以，;同理，.
（3）联立两条直线方程得点的横坐标为
，
由（2）得：，
，，
，此时，或.
综上：的面积的最大值为，此时或.
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x / 万元
2.7
2.8
3.1
3.5
3.9
y / 万元
1.4
1.5
1.6
1.8
2.2
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
潜伏期（单位：天）
[0,2]
(2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1