备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练49基本立体图形及空间几何体的表面积与体积（附解析人教A版）

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1.下列说法正确的是( )
A.棱台的侧棱长都相等
B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
D.棱台的两个底面相似
2.(2024·安徽淮北模拟)如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是( )
A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体
3.(2021·新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2B.2C.4D.4
4.(2024·江西新余一中校考)《增减算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛长为( )
A.21尺B.25尺C.29尺D.33尺
5.(2024·福建莆田模拟)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图,该模型的上部分是半球,下部分是圆台.其中半球的体积为144π cm3,圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为1.5 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为( )(1.5π≈4.7)
A.3 045.6 gB.1 565.1 g
C.972.9 gD.296.1 g
6.(2024·湖南邵阳模拟)如图所示,正八面体的棱长为2,则此正八面体的表面积与体积之比为( )
A.B.C.D.
7.(2024·福建福州模拟)如图,正六边形ABCDEF的边长为6,设边AF,CD的中点分别为O1,O2,已知某几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线O1O2旋转一周而成,则该几何体的体积为( )
A.378πB.126π
C.90πD.63π
8.(2022·全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=( )
A.B.2
C.D.
9.(2023·全国甲,文10)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为( )
A.1B.
C.2D.3
10.(2024·湖北武汉模拟)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工,该工件底面半径为15 cm,高为10 cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大,则r的值应设计为( )
A. cmB. cm
C.4 cmD.5 cm
11.(2024·广东肇庆模拟)如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为( )
A.B.
C.D.
12.(多选题)(2024·海南中学模拟)如图所示,用“斜二测画法”画出的一个平面图形ABCD的直观图为A'B'C'D',其中O'A'=O'C'=1,O'B'=O'D'=2,则下列说法正确的是( )
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是
D.以该平面图形为底,高为3的直棱柱的外接球的直径为
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为 .
14.(2024·甘肃张掖模拟)已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍,其侧面展开图是一个面积为6π的半圆环,则该圆台的高为 .
综合 提升练
15.(2024·江苏南通等七市模拟)已知底面半径为r的圆锥SO,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为,则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为( )
A.B.C.D.
16.(2024·安徽合肥八中模拟)“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,它是由正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥得到.已知AB=,若该半正多面体的表面积为S,体积为V,则=( )
A.B.
C.2D.
17.(多选题)(2024·浙江宁波模拟)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,下列说法正确的有( )
A.该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2
B.该圆台的体积为 cm3
C.该圆台的侧面积为6π cm2
D.沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5 cm
18.(2024·广东深圳模拟)如图,一个棱长1分米的正方体型封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是 .
创新 应用练
19.(2024·辽宁锦州模拟)已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,O'A'=3C'B',C'E'⊥O'A',C'D'平行于y'轴,C'E'=,点D'为O'A'的靠近点O'的三等分点,梯形OABC的面积是8,则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 .
课时规范练49 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积
1.D 解析 由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等,而棱台的两个底面相似,所以A不正确,D正确;只有用平行于棱锥底面的平面截棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台,B不正确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边形,但侧面并不一定全等,C不正确.
2.B 解析 三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,剩余的部分是以A'为顶点,四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'-BCC'B'.
3.B 解析 设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.由条件得,2πr1=2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2故选B.
图①
图②
4. C 解析 如图所示,圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,由题意得圆柱的高AB=2丈=20尺,底面圆的周长BE=3尺,则葛藤绕圆柱7周后长为BD==29(尺).
5.C 解析 设半球的半径为R,因为V半球=R3=144πcm3,所以R=6cm,由题意圆台的上底面半径及高均是3,下底面半径为6,所以V圆台=(S上+S下+)h=(32·π+62·π+)×3=63π(cm3),所以该实心模型的体积为V=V半球+V圆台=144π+63π=207π(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为207π×1.5≈207×4.7=972.9(g).
6. D 解析 如图,点O为正方形ABCD的中心,连接EO,BD,EG⊥BC,G为垂足.由边长为2,可得△EBC的BC边上的高EG=,EO=,则正八面体的表面积为S=8=8=8正八面体的体积为V=2=2所以此正八面体的表面积与体积之比为
7. B 解析 连接BE交O1O2于点H,因为该几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线O1O2旋转一周而成,所以该几何体为两个圆台组合而成的组合体.由题可得O1F=3,HE=EF=6,则O1H==3,所以V台=(32+62+)×3=63,则该几何体的体积为2V台=126
8. C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=,h2=2,所以,故选C.
9. A 解析 (方法一)如图,作AO⊥平面PBC,设AO=h,连接OP,OB,OC,由AP=AB=AC=2,可得OP=OB=OC,即O为△PBC的外心.在△PBC中,cs∠PBC=,
则sin∠PBC=设△PBC的外接圆半径为R,=2R,解得R=在Rt△AOP中,∵AO2+PO2=AP2,∴h=AO=S△BPC=PB·BC·sin∠PBC=2×2VP-ABC=VA-BPC=S△BPC·h==1.
(方法二)如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO并延长交AB于点D,连接PD.∵PA=PB=AB,∴D为AB的中点.∴CD=,PD=由PO⊥CD,设OD=x,0≤x