2023-2024学年广西南宁市青秀区翠竹实验学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁市青秀区翠竹实验学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列四个实数中，最小的数是( )
A. −5B. 0C. 1D. 2
2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏 捂口鼻B. 喷嚏后 慎揉眼
C. 勤洗手 勤通风D. 戴口罩 讲卫生
3.我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为( )
A. 0.232×109B. 2.32×109C. 2.32×108D. 23.2×108
4.三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 5，6，10C. 2，2，5D. 3，4，9
5.五边形的内角和是( )
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
6.如图，AD是△ABC的高，∠B=∠BAD，∠C=55°，则∠BAC的度数是( )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 85°
7.如图，直线AB/​/CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是( )
A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°
8.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
9.如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件，不可添加的条件是( )
A. ∠OAP=∠OBP
B. OA=OB
C. AP=BP
D. ∠APO=∠BPO
10.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去．( )
A. ①B. ②C. ③D. ①和②
11.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A. 90°
B. 135°
C. 150°
D. 270°
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为( )
A. 15
B. 30
C. 12
D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.10的相反数是______．
14.如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是______．
15.等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为____cm．
16.若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为______．
17.如图所示的两个三角形全等，则∠1的度数是______．
18.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：−3+5÷[(−16)×(−6)]．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：3(x2+12y2−xy)−(2xy+3x2−12y2)，其中x=1，y=2．
21.(本小题10分)
如图，已知B是AC的中点，AD=BE，BD=EC，证明：△ADB≌△BEC．
22.(本小题10分)
如图△ABC中，∠A=40°，∠ABC=∠C．
(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D(用直尺和圆规按照要求作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，求∠BDC的大小．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．
24.(本小题10分)
某校计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
25.(本小题10分)
如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE．
26.(本小题10分)
【问题情境】如图1，是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口.已知AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD=150米，BC=350米，那么两个排污口之间的水平距离DC的长是______米.
【模型呈现】如图1，已知∠ADC=∠BCD=∠AEB=90°，且AE=BE，证明△ADE≌△ECB.我们把这个数学模型称为“K型图”或“一线三等角”模型，请写出完整的证明过程．
【模型应用】①在平面直角坐标系中，△ABC如图2所示，∠ABC=90°，BA=BC，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(0,3)，求点C的坐标．
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：四个实数从小到大排列为：−5<0<1<2．
故选：A．
根据实数大小比较的法则进行判断即可．
本题考查了实数大小的比较，负数小于0，正数大于0，负数小于正数．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：232000000=2.32×108．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、1+2=3，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+6>10，长度是5、6、10的线段能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2<5，长度是2、2、5的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4<9，长度是3、4、9的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5.【答案】C
【解析】解：五边形的内角和是：
(5−2)×180°
=3×180°
=540°
故选：C．
根据n边形的内角和为：(n−2)×180°(n≥3，且n为整数)，求出五边形的内角和是多少度即可．
此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：(n−2)×180°(n≥3，且n为整数)．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠BAD，
∴∠B=45°，
在△ABC中，∠C=55°，∠B=45°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAC=180°−∠B−∠C=80°．
故选：C．
先根据三角形的高线，得出∠ADB=90°，从而求出∠B，再利用三角形的内角和定理即可求出∠BAC．
此题是主要考查了三角形的高线，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，求出∠B是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠A=∠C=40°，
∵∠1=∠D+∠C，∠D=45°，
∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°，
故选：B．
根据∠1=∠D+∠C，∠D是已知的，结合平行线的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质、三角形的外角的性质等知识，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形的对应角相等)．
故选：D．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C′O′D′，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′=∠AOB．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：当添加∠OAP=∠OBP时，根据“AAS”可判断△AOP≌△BOP，所以A选项不符合题意；
当添加OA=OB时，根据“SAS”可判断△AOP≌△BOP，所以B选项不符合题意；
当添加AP=BP时，根据“SSA”不能判断△AOP≌△BOP，所以C选项符合题意；
当添加∠APO=∠BPO时，根据“ASA”可判断△AOP≌△BOP，所以D选项不符合题意．
故选：C．
根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了两角的夹边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
11.【答案】D
【解析】解：∵ABED为四边形，
∴∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠1+∠2=360°−(∠A+∠B)=270°．
故选：D．
由四边形内角和公式可求∠1+∠2+∠A+∠B=360°，又在Rt△ABC中，∠C=90°，可知∠A+∠B=90°，由此求∠1+∠2．
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，关键是利用三角形的内角和，四边形的内角和求解．
12.【答案】A
【解析】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3，
∴S△ABD=12×10×3=15．
故选：A．
过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE=DC=3，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13.【答案】−10
【解析】解：10的相反数是−10．
故答案为：−10．
直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
14.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．根据三角形的稳定性进行解答．
【解答】
解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
15.【答案】6或8
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
【解答】
解：①6cm是底边时，腰长=12×(20−6)=7(cm)，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20−6×2=8(cm)，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6cm或8cm．
故答案为：6或8．
16.【答案】6
【解析】解：这个多边形的边数是：360÷60=6．
故答案为：6．
根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
17.【答案】79°
【解析】解：∵∠B=180°−∠A−∠C=180°−37°−64°=79°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠B=79°，
故答案为：79°．
根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
18.【答案】125°
【解析】【分析】
本题考查了在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】
解：∵OF=OD=OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°．
故答案为：125°．
19.【答案】解：−3+5÷[(−16)×(−6)]
=−3+5÷1
=−3+5
=2．
【解析】根据有理数混合运算的法则计算即可．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：3(x2+12y2−xy)−(2xy+3x2−12y2)，
=3x2+32y2−3xy−2xy−3x2+12y2
=2y2−5xy，
当x=1，y=2时，
原式=2y2−5xy
=2×22−5×1×2
=−2．
【解析】先去括号，合并同类项，化简整式，然后将x，y的值代入求值．
本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
21.【答案】证明：∵B是AC的中点，
∴AB=BC，
在△ADB和△BEC中，
AB=BCAD=BEBD=CE，
∴△ADB≌△BEC(SSS)．
【解析】根据“SSS”定理直接证得结论．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)如图所示：BD即为所求；
(2)∵∠A=40°，∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠C=180°−40°2=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=35°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=75°．
【解析】(1)直接利用角平分线的作法得出BD；
(2)利用等三角形内角和定理以及角平分线的性质分析得出答案．
此题主要考查了作图−复杂作图，三角形内角和定理，基本作图以及角平分线的定义，正确掌握角平分线的定义是解题关键．
23.【答案】解：AB//CF.证明如下：
∵∠AED与∠CEF是对顶角，
∴∠AED=∠CEF，
在△ADE和△CFE中，
∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE≌△CFE．
∴∠A=∠FCE．
∴AB/​/CF．
【解析】首先根据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质有目的地证明相关的角相等，从而证明直线平行．
运用了全等三角形的判定以及性质，注意根据已知条件选择恰当的角证明两条直线平行．发现并利用三角形全等是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)设足球单价为x元，篮球单价为y元，根据题意得：
20x+15y=205010x+20y=1900，
解得x=50y=70，
答：足球每个50元，篮球每个70元．
(2)设购买m个篮球，则购买(50−m)个足球，根据题意得：
70m+50(50−m)≤280050−m≤3m，
解得252≤m≤15，
∵m为整数，
∴m的最大值为15，
答：最多购买15个篮球．
【解析】(1)设足球单价为x元，篮球单价为y元，根据题意列出方程组计算即可；
(2)设购买m个篮球，则购买(50−m)个足球，根据题意列出不等式组计算即可．
本题考查了方程组和不等式组的应用，熟练掌握解方程组和解不等式组是解答本题的关键．
25.【答案】证明：延长AE至F，使AE=EF，连接BF，
在△ADE与△FBE中，
AE=FE∠AED=∠FEB DE=BE,
∴△ADE≌△FBE(SAS)，
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE，
∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，
∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，
在△ABF与△CDA中，
AB=CD∠ABF=∠CDABF=DA,
∴△ABF≌△CDA(SAS)，
∴AC=AF，
∵AF=2AE，
∴AC=2AE．
【解析】延长AE至F，使AE=EF，连接BF，于是证得△AED≌△FEB，根据全等三角形的性质得到BF=DA，∠FBE=∠ADE，推出∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，证得△ABF≌△CDA，于是得到AC=AF，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】500
【解析】解：【问题情境】∵∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠DAE=∠CEB，∠AED=∠EBC，
在△ADE与△ECB中，
∠DAE=∠CEBAE=BE∠AED=∠EBC，
∴△ADE≌△ECB(ASA)，
∴AD=CE，DE=BC，
∴DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500米，
答：两个排污口之间的水平距离DC的长是500米，
故答案为：500；
【模型呈现】∵∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠DAE=∠CEB，∠AED=∠EBC，
在△ADE与△ECB中，
∠DAE=∠CEBAE=BE∠AED=∠EBC，
∴△ADE≌△ECB(ASA)；
【模型应用】①如图2，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD=90°−∠ABO=∠BAO，
∵∠CDB=∠BOA=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴CD=OB=3，BD=OA=2，
∴OD=OB+BD=5，
∴C(−3,5)；
②存在，
Ⅰ当△ABC≌ABP时，过P作PE⊥y轴于E，如图：
∵△ABC≌ABP，
∴BC=BP，∠ABC=∠ABP=90°，
∴∠ABC+∠ABP=180°，
∴C、B、P共线，
∴∠CBD=∠EBP，
又∠CDB=∠PEB=90°，
∴△CDB≌△PEB(AAS)，
∴PE=CD=3，BE=BD=2，
∴OE=OB−BE=1，
∴P(3,1)，
Ⅱ当△ABC≌△BAP时，过P作x轴平行线，过A作y轴平行线交于F，如图：
∵△ABC≌△BAP，
∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，
∴BC//AP，
∴∠DBC=∠BGA=∠FAP，
∵∠CDB=∠PFA=90°，
∴△CDB≌△PFA(AAS)，
∴AF=BD=2，PF=CD=3，
∴P(1,−2)，
Ⅲ当△ABC≌△APC时，过P作PH⊥x轴于H，如图：
∵△ABC≌△APC，
∴AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，
∴∠PAB=90°，
∴∠PAH=90°−∠BAO=∠ABO=90°−∠CBD=∠BCD，
∵AB=BC，
∴BC=AP，
而∠PHA=∠CDB=90°，
∴△PHA≌△BDC(AAS)，
∴PH=BD=2，AH=CD=3，
∴P(−5,2)，
综上所述，P的坐标为：(3,1)或(1,−2)或(−5,2)．
【问题情境】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
【模型呈现】根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
【模型应用】①过C作CD⊥y轴于D，证明△AOB≌△BDC即得CD=OB=3，BD=OA=2，故C(−3,5)；
②Ⅰ当△ABC≌ABP时，过P作PE⊥y轴于E，证明△CDB≌△PEB(AAS)得PE=CD=3，BE=BD=2，即得P(3,1)，Ⅱ当△ABC≌△BAP时，过P作x轴平行线，过A作y轴平行线交于F，证明△CDB≌△PFA(AAS)，得AF=BD=2，PF=CD=3，故P(1,−2)，Ⅲ当△ABC≌△APC时，过P作PH⊥x轴于H，证明△PHA≌△BDC(AAS)，得PH=BD=2，AH=CD=3，故P(−5,2)．
本题是三角形综合题，考查三角形的全等判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，平面内点坐标等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．