人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数精品精练

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知识点01 二次函数的图像与系数的关系
与开口方向的关系。
对称轴与的关系；对称轴在轴左边或右边与的符号的关系；对称轴与±1的关系可得以及的关系。
函数与轴交点坐标与的关系。
函数与轴的交点个数与的关系。
是自变量为 1 的函数值，是自变量为 ﹣1 的函数值。
是自变量为 2 的函数值，是自变量为 ﹣2 的函数值。
是自变量为 3 的函数值，是自变量为 ﹣3 的函数值。
【即学即练1】
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣＝1，
则b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵x＝0时，y＞0，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（ ）
A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，故③正确；
∴b＝2a，a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，故④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
∵函数最小值为a﹣b+c，
∴当x0≠﹣1时，则ax+bx0+c＞a﹣b+c，即ax+bx0＞a﹣b，
∴一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立，故⑥正确；
故选：C．
【即学即练3】
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴2a﹣b+c＝a＜0，故②正确；
根据对称性，x＝2与x＝0的函数值相同，
∴4a+2b+c＝c＞0，故③错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④错误；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∴，故⑤正确；
综上，正确的有2个；
故选：B．
【即学即练4】
4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③；
④8a+c＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
∵函数的对称轴为x＝﹣＝1，
∴a＝﹣b，故③错误；
由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故选：B．
知识点02 二次函数的最值问题
求线段最值问题：
求图形的面积最值问题：
将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。
【即学即练1】
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝3x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：∵y＝3x2﹣2x+2＝3（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为，
∴对角线BD的最小值为．
故选：C．
【即学即练2】
6．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy＝，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵2（x+y）﹣xy＝，
∴xy＝2（x+y）﹣，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，
∴当x+y＝2时，AC有最小值为，
故选：C．
【即学即练3】
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．
【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），
∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，
解得t＝1或t＝2，
∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），
∵a＝1，
∴t＝﹣＝s时，S有最小值，最小值为cm2．
【即学即练4】
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．
所以当x＝时，S的值最大，最大值为．
【即学即练5】
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，点P，Q分别是线段AD，BC上的点，BQ＝2AP，
过点P作PR∥AB交BD于R，记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度．如果
在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°，那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，写出表示变量y与x关系的关系式．
（3）当x＝ 时，y取得最大值 ．
【解答】（1）证明：∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠ABC＝90°；
∴AB⊥BC；
（2）解：y＝（4﹣x）x＝﹣x2+2x；
（3）解：当x＝2时，y取得最大值2，
y＝﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣4x+4）+2
＝﹣（x﹣2）2+2，
故当x＝2时，y取得最大值2．
故答案为：2，2．
【即学即练6】
10．如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）如图1，连接PC，PA，
当PQ的长度最大时，△PAC的面积最大，
作PD∥y轴，交直线AC于点D，
设直线AC的解析式为y＝kx+b′，
代入点A（4，0），C（0，4），
可得：，解得：，
得到直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设点，则D（t，﹣t+4），
∴，
∴，
∴当t＝2时，△PAC面积最大，
∵A（4，0），C（0，4），
∴利用勾股定理可得，
又∵，
∴△PAC面积最大时，PQ也最大，
即t＝2，
此时，点P的坐标为（2，4）；
（3）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，交AC于点G，
∵OC＝OA＝4，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵PQ⊥AC，PH⊥x轴，
∴∠HGA＝∠OAC＝45°，
∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，
∴GQ＝PQ，GH＝AH，
∴，，
∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，
∴AG＝2PQ，
∴，即，
∴GH＝PG，
∴G点是PH的中点，
设，G（t，﹣t+4），
∴，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P点坐标为：（2，4）．
知识点03 二次函数的存在性问题
存在等腰三角形：
设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式表示出三角形的三边，分别选取其中两边为腰，利用腰相等建立方程求解。
存在直角三角形：
设出所求点的坐标，利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边的平方，在利用各自为斜边的平方等于两直角边的平方的和建立方程求解。
存在平行四边形：
设出所求点的坐标，结合已知点讨论各自为对角线时的情况。利用中点坐标公式，平行四边形对角线的性质——相互平分建立方程求解。即两条对角线两边端点求得的中点坐标相等。
【即学即练1】
11．​如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在线段EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使四边形CEMN是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴
解得
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
如图，点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）．
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，
∴此时P点坐标为（，﹣）．
【即学即练2】
12．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4．
（1）请分别求出k，m，a，b的值；
（2）如图2，点Q是线段BC上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
​
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+m过点B（6，0）和点C（0，6），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B（6，0）和点C（0，6），对称轴为直线x＝4，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣4x+6，
∴k＝﹣1，m＝6，a＝，b＝﹣4；
（2）过点Q作QN⊥y轴，垂足为N，作A（2，0）关于y轴的对称点A'（﹣2，0），
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ＝CN＝＝4，
∴ON＝OC﹣CN＝2，
∴Q（4，2），
∴MQ+MA＝MQ+MA'≥QA'＝＝2，
∴MQ+MA的最小值为2．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴设P点坐标为（4，y），
∵C（0，6），B（6，0），
∴PC2＝16+（y﹣6）2＝y2﹣12y+52，
∴PC2＝4+y2，
∴PC2＝72，
∴当∠PBC＝90°时，y2﹣12y+52＝4+y2+72，解得y＝﹣2，
当∠PCB＝90°时，4+y2＝y2﹣12y+52+72，解得y＝10，
当∠BPC＝90°时，y2﹣12y+52+4+y2＝72，解得y＝3±，
∴P点坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或（4，3﹣）．
【即学即练3】
13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在第四象限的抛物线上，且△NAB是以AB为底的等腰三角形，求N点的坐标；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，当点P在何处时，点P到直线AB的距离最大，并求出最大距离．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵对称轴x＝﹣1，A（﹣4，0），
∴C（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），把B（0，4）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4．
（2）如图1中，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∴线段AB的中垂线的解析式为y＝﹣x，设直线y＝﹣x交抛物线于N，则NA＝BN．
由解得或（舍弃），
∴点N坐标（2，﹣2）．
（3）如图2中，设P（m，﹣m2﹣m+4），
∵S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△AOB
∴S△PAB＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣2时，△PAB面积最大，最大值为4，设P到AB的距离为h，则此时h最大，
∴•AB•h＝4，
∴h＝．
∴当P（﹣2，4）设，点P到AB的距离最大，最大值为．
【即学即练4】
14．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上的动点，当点P绕原点O旋转180°的对应点Q在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以点O，A，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B两点坐标代入y＝﹣2x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4．
（2）设P（m，﹣2m+4）则Q（﹣m，2m﹣4），
把点Q坐标代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得2m﹣4＝﹣2m2﹣2m+4，
解得m＝﹣1，
∴点P坐标为（﹣1+，6﹣2）或（﹣1﹣，6+2）．
（3）设M（m，﹣2m+4），由题意A（2，0），
①当OA为平行四边形OAMN的边时，MN＝0A＝2，则N（m﹣2，﹣2m+4），
把点N坐标代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得﹣2m+4＝﹣2（m﹣2）2+2（m﹣2）＝4，
整理得m2﹣6m+6＝0，
解得m＝3±，
∴点M坐标为（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）．
②当OA为对角线时，
∵OA与MN互相平分，OA的中点（1，0），
∴N（2﹣m，2m﹣4），
把N点坐标代入y＝﹣2x2+2x+4，
得到2m﹣4＝﹣2（2﹣m）2＝2（2﹣m）+4，
整理得m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴点M坐标为（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．
综上所述满足条件的点M坐标为（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）或（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．
【即学即练5】
15．如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转90°，得到矩形ODEF．抛物线y＝ax2+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y＝x﹣上，直线L：y＝kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上第一象限任意一点，过点P作x轴的垂线交直线L于点M．
（1）求abc的值；
（2）设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；
（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可设F（﹣m，0），则D（0，2m），B（2m，m），
把D、F、B三点坐标代入y＝ax2+bx+c可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2m，
∴抛物线的顶点坐标为（m，），
∵顶点在直线y＝x﹣上，
∴m＝×﹣，
∴m＝2，
∴a＝﹣，b＝，c＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，
∴abc＝﹣．
（2）（1）可知A（4，0），E（﹣2，4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+，
∵P（t，﹣t2+t+4），M（t，﹣t+），
∴PM＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+）＝﹣t2+t+（0＜t＜）．
（3）会是平行四边形．
理由：当PM＝AB＝2时，
﹣t2+t+＝2，
解得t＝或4（舍弃），
∴t＝时，点P坐标（，）．
题型01 二次函数的图像与系数的关系
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，
∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），
∴③错误；
点（﹣3，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，
（3，y2）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
∵抛物线开口向下，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故选：D．
【典例2】
抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；
②2a+c＞0；
③点P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在抛物线上，且y1＞y2，则t＞﹣2021；
④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵抛物线经过点A（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，
当x＝﹣1时，a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），
故此项正确；
②由①得：c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴﹣3a＞0，
∴a＜0，
∵3a+c＝0，
∴2a+c＝﹣a，
∴2a+c＞0，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
当t＝﹣2021时，P1（1，y1），P2（2，y2），
∵a＜0，
∴y1＞y2，
∴t＝﹣2021也符合题意与t＞﹣2021矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝ax2+2ax+c对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c图象向左平移2个单位得到抛物线y＝ax2+2ax+c的图象，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+2ax+c经过点（﹣3，0），（1，0），
∵m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的两个根，
∴m，n是抛物线y1＝ax2+2ax+c与直线y＝p交点的横坐标，
∵p＞0，
∴﹣3＜m＜n＜1，
故此项正确，
故选：C．
【典例3】
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④（其中）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①不正确；
②∵函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵该函数图象经过点（﹣2，0），
对称轴为直线，
∴该函数与x轴另一个交点坐标为（1，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③正确；
④∵对称轴为直线，函数开口向下，
∴当时，y有最大值，
把代入得：，
把x＝m代入得：y＝am2+bm+c，
∵，
∴，则，故④正确；
⑤∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵对称轴为直线，x1＞x2＞1，
∴y1＜y2，故⑤不正确，
综上：正确的有②③④．
故选：B．
【典例4】
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，①正确；
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根，②正确；
由图象可得x＝﹣3时，y＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，③正确．
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝﹣2，
∴a﹣c＝2，④正确．
故选：A．
【典例5】
如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
题型02 二次函数的综合应用
【典例1】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在使△PCD是等腰三角形，理由：
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴D（1，0），且C（0，8），
∴OD＝1，OC＝8．
∴CD＝＝，
当PC＝CD时，如图，
过点C作CE⊥DP于点E，则DE＝PE，
∵DE＝OC＝8，
∴PD＝2DE＝16，
∴P（1，16）；
当PD＝CD＝时，此时有两解，如图，
则有P1（1，﹣）或P2（1，）；
当PC＝PD时，过点P作PF⊥CD于点F，如图，
∵点P在对称轴上，
∴可设P（1，m），则PD＝m，
∵PC＝PD，PF⊥CD，
∴DF＝CD＝．
∵PD∥OC，
∴∠OCD＝∠FDP．
∵∠DOC＝∠PFD＝90°，
∴△COD∽△DFP．
∴．
∴，
∴m＝．
∴P（1，）．
综上，P点坐标为（1，16）或（1，）或（1，）或（1，）；
（3）设直线EF交x轴于点H，如图，
∵B（4，0），
∴OB＝4．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8．
∵EF⊥x轴，
∴设E（p，﹣2p+8），则F（p，﹣p2+2p+8），
∴EH＝﹣2p+8，FH＝﹣p2+2p+8．
∴EF＝FH﹣EH＝﹣p2+4p．
∴S△BCF＝S△FCE+S△FBE
＝EF×BO
＝（﹣p2+4p）×4
＝﹣2p2+8p
＝﹣2（p﹣2）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当p＝2时，S△BCF，有最大值8，
此时点E的坐标为（2，4）．
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）．
【典例2】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线OD为，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点为C（0，﹣3）可知：
c＝﹣3，
把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意可得方程组：
，
解得：或，
又∵点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的一个交点．
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
（3）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝OG×（XD﹣XP）＝，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD＝OM×（XD﹣XP）＝，
综上，S△POD＝，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当时，其最大值为．
【典例3】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
即二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PAB面积＝S△PHA+S△PHB＝PH×OA＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），
∵＜0，故△PAB面积有最大值，此时点P（，）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点N（1，t），设点M的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：3＝m+1，
解得：m＝2，则点M（2，3）；
当AM或AN为对角线时，由中点坐标公式得：3+m＝1或3+1＝m，
解得：m＝﹣2或4，即点M的坐标为：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
综上，点M的坐标为：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C．且直线y＝mx+n过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接MB、MD，当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；
（2）如图：
在抛物线y＝﹣x2+5x+6中，当x＝0时，y＝6，
∴C的坐标为（0，6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，﹣6），
∵点B的坐标为（6，0），
∴直线BD的解析式为y＝x﹣6，
设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
∴MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB＝MN•|xB﹣xD|＝（﹣m2+4m+12）×6＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，S△MDB最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
由（2）知P坐标为（2，0），
∴M（2，12），N（2，﹣4），
①当∠QMN＝90°时，如图：
∴QM∥x轴，
∴Q（0，12）；
②当∠MNQ＝90°时，如图：
∴NQ∥x轴，
∴Q（0，﹣4）；
③当∠MQN＝90°时，如图：
设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形，Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
【典例5】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣；
（2）如图，抛物线y＝﹣与y轴交点C（0，2），
∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，
∴PM∥OB，∠MPN＝∠BOC＝90°，
∴∠PMN＝∠CBO，
∴△PMN∽△OBC，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣+2，
设P（x，﹣），则N（x，﹣+2），
∴PN＝﹣，
对称轴为：直线x＝，
∵2≤x＜3，
∴x＝2时，PN的最大值为，
∴＝，
∴△PMN周长的最大值为，
（3）存在，
由题意得，B（3，0），C（0，2），
设N（1，n），M（x，y），
①当四边形CMNB是平行四边形时，
，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣）；
②当四边形CNBM是平行四边形时，
，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③当四边形CNMB是平行四边形时，
，
∴x＝4，
∴M（4，﹣），
综上所述，M（2，2）或（4，﹣）或（﹣2，﹣）．
1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3D．y＝2x2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；
故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．
故选：A．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．abc＞0
C．这个函数的最大值为10
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解
【解答】解：A、由图表中数据可得出：对称轴为直线x＝1，而x＝1时，函数有最小值y＝1，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向上，a＞0，故A错误；
B、∵﹣＝1，a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵x＝0时，y＝c＝2，
∴abc＜0，故B错误；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故C错误；
D、∵抛物线开口向上，函数有最小值y＝1，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解，故D正确．
故选：D．
3．已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，
∵B（3，y2），C（4，y3）中横坐标均大于2，
∴它们在对称轴的右侧y3＞y2．
A（﹣3，y1）中横坐标小于2，
∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，
A点的对称点是D（7，y1）
7＞4＞3，
∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1＞y3＞y2．
故选：D．
4．一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由，解得或，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故会出界．
故选：C．
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
【解答】解：∵抛物线过点D（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，
若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，
若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，
若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．
故选：D．
7．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4个结论中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．①③④
【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，
故①正确；
由图象可知，当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
故②不正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
∵b＝4a，
∴﹣3a+c＞0，即c＞3a．
故③不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴，
∴4ac﹣b2＝12a．
∵b＝4a，
∴4ac﹣b2＝3b，
∴b2﹣4ac+2b＝﹣b＞0，
∴b2+2b＞4ac．
故④正确．
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＜．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
而c＜﹣1，
∴﹣3a＜﹣1，
∴a＞，故④错误．
故选：C．
9．点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y1＜y2，写出一个符合条件的a的值 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（2，y1）关于直线x＝1的对称点为（0，y1），
∵点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．且y1＜y2，
∴a＞2或a＜0，
故a的值可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
10．关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意得：，
解得k＞﹣且k≠2．
故答案为：k＞﹣且k≠2．
11．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 米．
【解答】解：建直角坐标系，如图：
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
12．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中结论正确的是 .（填序号）
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝2a﹣2a＝0，所以①正确；
∵c＝﹣3a，
∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，所以②错误；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最小值，
∴a+b+c＜am2+bm+c（m≠1），
即a+b＜am2+bm（m≠1），所以③正确；
过D点作DE⊥AB于E点，如图，
∵D（1，﹣4a），
∴DE＝4a，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AB，
即4a＝×4，
解得a＝，所以④正确；
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AC2＝1+9a2，BC2＝9+9a2，AB2＝16，
当AC＝AB时，1+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
当BC＝AB时，9+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
综上所述，a的值为或，所以⑤错误．
故答案为：①③④．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（4，0），B（﹣1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4；
（2）作PD∥y轴，如图，
易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），
∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PAC＝•PD•4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA＝OC＝4，
∴AC＝4，
∴当QA＝QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ＝CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）；
当AQ＝AC＝4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4﹣4，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）．
15．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（4，0）代入，
即，
解得：，
∴，
令x＝0，则，
令y＝0，则，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；
（2）存在点P，使△BCP是直角三角形，
∵，对称轴为直线x＝1，
设P（1，n），
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，
①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2，
∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2，
解得：n＝5；
②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2，
∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32
解得：n＝﹣3；
③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2
解得：或，
综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+），（1，2﹣）；
（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，
由对称性可知，OM＝QM，
∴AM+OM＝AM+QM≥AQ，
当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠QBM＝45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q（4，4），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AQ的解析式，
设直线BC的解析式为y＝mx+4，
∴4m+4＝0，
∴m＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
联立方程组，
解得：，
∴M（，）．
课程标准
学习目标
①二次函数的图像与系数之间的关系
②二次函数的最值问题
③二次函数的存在性问题
能通过二次函数的图像与系数的关系解决二次函数选择填空的压轴题目。
能够利用二次函数的顶点式求实际问题中的最值问题。以及三角形四边形的面积最值问题。
利用二次函数与几何的关系，解决二次函数中的存在性问题。
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
10
…