专题06 概率与统计 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）（含解析）

这是一份专题06 概率与统计 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）（含解析），共28页。试卷主要包含了2 18，6 34，8 9，8 20，5，0，841，635等内容，欢迎下载使用。
专题06 概率与统计
(2023·全国甲卷·理科)一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15．2 18．8 20．2 21．3 22．5 23．2 25．8 26．5 27．5 30．1
32．6 34．3 34．8 35．6 35．6 35．8 36．2 37．3 40．5 43．2
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7．8 9．2 11．4 12．4 13．2 15．5 16．5 18．0 18．8 19．2
19．8 20．2 21．6 22．8 23．6 23．9 25．1 28．2 32．3 36．5
(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
(2023·全国乙卷·理科)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
(2022·全国甲卷·理科)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
(2022·全国乙卷·理科)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：)和材积量(单位：)，得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
（2023·全国·模拟预测）某乡镇全面实施乡村振兴，大力发展特色产业——富硒水果．工作人员统计了近8年富硒水果种植面积（单位：百亩）与年销售额（单位：千万元）的数据．经计算得到如下处理后的统计量：，，，，，，，，，其中，．
(1)根据以上数据，从相关系数的角度，判断与哪个适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型（相关系数精确到0.01）．
(2)根据（1）的判断结果及相关数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）．
(3)该乡镇计划年销售额不低于10亿元，请预测种植面积至少为多少亩．
附：相关系数，回归直线的斜率与截距的最小二乘估计分别为，．
参考数据：，．
（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．
（2023·宁夏石嘴山·统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解两个品牌新能源电动汽车的使用满意度，在某市对购买两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对A、B两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计A、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使用B品牌的用户中随机抽取5个人，用表示对B品牌较满意的人数，求的分布列及数学期望．
（2023·云南·校联考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；
(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.
（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
（2023·河南·校联考模拟预测）网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概率为.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为；若上午选择在乙直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.
附：，其中.
（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:
(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.
（2023·四川成都·校考三模）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．
(1)求甲获得冠军的概率．
(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．
（2023·河南·校联考模拟预测）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.
（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为
(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；
(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a=y-bx
题型训练
对照组
实验组
0．100
0．050
0．010
2．706
3．841
6．635
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0．05
0．05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
网民类型
在直播间购买夏橙的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
男网民
50
5
55
女网民
30
15
45
合计
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
34
55
979
657
2805
答案&解析
【1】
【答案】(1)分布列见【解析】，
(2)(i)；列联表见【解析】，(ii)能
【解析】：(1)依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故．
(2)(i)依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii)由(i)可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
【2】
【答案】(1)，；
(2)认为甲工艺处理后橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
【解析】：(1)，
，
，
的值分别为: ，
故
(2)由(1)知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
【3】
【答案】(1)； (2)分布列见【解析】，．
【【解析】】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
(2)依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
．
即的分布列为
0
10
20
30
0．16
0．44
0．34
0．06
期望．
【4】
【答案】(1)；
(2)
(3)
【解析】：【小问1详解】
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
【小问2详解】
则
小问3详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为
【5】
【答案】(1)适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型
(2)
(3)706亩
【解析】（1）若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则设，则．
设与的相关系数为，则．
由，，得，
则，所以．
若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则．
设，则．
设与的相关系数为，则
．
因为，所以适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型．
（2）．
由，得．
，
所以关于的线性方程为，则关于的回归方程为．
（3）由题意可知．整理，得，
因为，
解得或（舍去），
故种植面积至少为706亩．
【6】
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
（2）当时，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
则．
当时，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
则．
故．
【7】
【答案】(1)，品牌电动汽车的满意度平均分分别为，B品牌电动汽车更受用户欢迎；
(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设用户对品牌电动汽车的满意度平均分为，则
，
设用户对品牌电动汽车的的满意度平均分为，则
，
显然，
所以品牌电动汽车更受用户欢迎．
（2）依题意，用户对品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为，
低于70分的频率为，
从该市使用品牌的用户中随机抽取5个人，则的所有可能取值为，则，
，，
，，
，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
5
数学期望.
【8】
【答案】(1)
(2)随机变量的分布列见解析；期望为
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,
所以,
则,
即这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）的可能取值为,
,
,
,
,
则随机变量的分布列为：
,.
【9】
【答案】(1)
(2)方案二被选择的可能性更大，理由见解析
【解析】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A
甲获胜事件A包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为 且互斥，且每局比赛相互独立.
则，，
∴
所以甲获胜的概率为.
（2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点，为，
它们是等可能的，故这是个古典概型.
两点数之和不大于6的样本点有15个：,
记事件C为“两点数之和不大于6”，所以.
记事件D为“点数之和大于6”，所以.
因为，所以方案二被选择的可能性更大。
【10】
【答案】(1)
(2)①
【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，
则，求得.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，
且，
，
，
所以，，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且
，
，
所以，,
因为，所以小明应选择方案①.
【11】
【答案】(1)能
(2)
(3)40007
【解析】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联.
（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，
事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，
则，，，
由全概率公式可得，
所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为.
（3）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当k取何值时取最大值.
解法1：由，化简得，
即，所以，因，解得，
所以使事件“”的概率取最大值的k的值为40007.
解法2：因为，，
所以当时，；
当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，
所以，
且，
所以当时，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的k的值为40007.
【12】
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.
根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得， .
因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.
（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，
则
当时，；
当时，；
当时， ；
当时，；
当时，.
所以的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望.
【13】
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【解析】（1）设甲与乙比赛，甲获胜为事件，丙与甲比赛，甲获胜为事件，丙与乙比赛，乙获胜为事件，且相互独立，
则，
记“甲获得冠军”为事件A，则
（2）由题意知的所有可能取值为1，2，3．
，
，
．
所以的分布列为
1
2
3
P
则数学期望．
【14】
【答案】(1)7点47分
(2)
(3)12
【解析】（1）根据题意可知若7点46分出门，则一定不会迟到；若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到，则迟到的概率为，不迟到的概率为，
若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，迟到的概率为，
迟到的概率为，
所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发.
（2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为，不迟到的概率为，
所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率为.
（3）方法1：根据题意可知小李每天上班时长可能得取值为，11，12，13，14（分钟），则
，
，
，
的分布列为
所以上班路平均时长为（分钟）.
方法2：设小李每天上班时长，11，12，13，14（分钟），
易知遇到的红灯个数，1，2，3，4服从，
所以，
所以（分钟）.
【15】
【答案】(1)
(2)y=6.5+2.5x2
(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆
【分析】（1）根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断；
（2）换元令，结合题中数据与公式运算求解；
（3）令，代入回归方程运算求解.
【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合.
（2）令，则，，
对于回归方程y=c+dt，
可得：d=i=15tiyi-5t⋅yi=15ti2-5t2=2805-5×11×34979-5×112=935374=2.5，c=y-dt=34-2.5×11=6.5，
故回归方程为y=6.5+2.5t，即y=6.5+2.5x2.
（3）由（2）可得：y=6.5+2.5x2，
令，则y=6.5+2.5×62=96.5，
预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆.