江苏省宿迁市沭阳县外国语实验学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】A.，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B.，含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.，含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2. 已知的半径为5，，则点在（ ）
A. 内B. 上C. 外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）．
【详解】解：，
点与的位置关系是点在圆外，
故选：C．
【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
3. 一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（ ）
A. 摸到黄球B. 摸到红球C. 摸到白球D. 摸到黑球
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可.
【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球.
∴摸到白球的概率=
摸到黄球的概率=
摸到红球的概率=
摸到黑球的概率=0
∴摸到黄球的概率最高.
故选：A
【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键.
4. 某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据年的新注册用户数为万列方程即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆B. 任何三角形有且只有一个内切圆
C. 长度相等的弧是等弧D. 三角形的外心是三条角平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据确定圆的条件、等弧的概念、三角形的内切圆、三角形的内心、外心的概念判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；
任何三角形有且只有一个内切圆，B正确；
能够互相重合的弧是等弧，C错误；
三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，D错误；
故选：B
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6. 在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图所示，则这10名选手成绩的众数是（ ）
A. 95B. 90C. 85D. 80
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；故选B．
考点：众数；折线统计图．
7. 如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】连接，利用圆周角定理得到，，然后利用三角形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是上一动点，P是BC上的一动点，则PE＋PD的最小值是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作关于直线BC的对称点F，连接AF，交BC于点P，交于点E，此时PE+PD最小，等于AF-AE，勾股定理计算即可．
【详解】如图，过点D作关于直线BC的对称点F，
连接AF，交BC于点P，交于点E，此时PE+PD最小，等于AF-AE，
因为四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，AD=BC=3，
所以DF=4，∠ADF=90°，
所以AF= =5，
所以AE+EF=5，
所以EF=5-1=4，
所以PE+PD的最小值为4，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 已知，是一元二次方程的两根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
10. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．
【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，，
∴．
故答案为：．
11. 如图，是的外接圆，，则的半径是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径．
【详解】解：作直径，如图，连接，
∵为直径，
，
∴，
，
即⊙O的半径是4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
12. 如图，正五边形的边长为4，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
【详解】解：在正五边形中，，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得阴影扇形角度，难度不大．
13. 若m是方程的一个实数根，则的值为________．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题主要考查代数式的值及一元二次方程的解．把m代入方程可得，然后利用整体代入求解即可．
【详解】解：把m代入方程可得，
∴，
∴
；
故答案为：2023．
14. 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据切线长定理可直接进行求解．
【详解】解：∵AB、AC、BD是⊙O的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵AB=5，AC=3，
∴BP=AB-AP=2，
∴BD=2；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
15. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根，则Rt△ABC内切圆的半径为________．
【答案】2
【解析】
【分析】先解一元二次方程可得AC和BC长，根据勾股定理计算AB的长，再用直角三角形内切圆公式进行解答即可.
【详解】∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根
可得(x−6)(x−8)=0，解得方程的两个根为x=6或8，
∵∠C＝90°
∴由勾股定理可得
∴Rt△ABC的内切圆的半径为
【点睛】本题主要考查解一元二次方程、勾股定理、直角三角形内切圆公式，熟悉公式定理是关键.
16. 如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则为________°．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】连接．
故答案为：．

17. 若点O是的外心，且，则为________．
【答案】50或130##130或50
【解析】
【分析】本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键．
根据点Ａ与点O在边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解答即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）点Ａ与点O在边同侧时，如下图：
，
；
（2）点Ａ与点O在边两侧时，如下图：
，即所对的圆心角为 ，
∴所对的圆心角为： ，
∴
故答案为：50或130
18. 在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识．如图，连接、交于点．当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，设，因为的外心在线段的垂直平分线上，观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、交于点．
当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，
当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，则垂直平分，，
设，
中，，
，
解得，
，
在矩形中，，
，
，
的外心在线段的垂直平分线上，
观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是．
故答案为．
三、解答题（本题共10小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程的步骤．
（1）根据因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴或，
解得：．
20. 为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如图统计图：
（1）这20名学生成绩的中位数是________，众数是________；
（2）求这20名学生成绩平均数；
（3）若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？
【答案】（1）8，9 （2）8.2分
（3）54名
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，中位数，众数以及用样本估计总体等等：
（1）根据众数和中位数定义进行求解即可；
（2）根据平均数的定义进行求解即可；
（3）用120乘以样本中成绩为优秀的学生人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：七这20名学生成绩出现次数最多的是9，共出现6次，因此这20名学生成绩的众数为9，
这20名学生的成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为，因此这20名学生成绩的中位数是8，
故答案为：8，9；
【小问2详解】
解：这20名学生成绩的平均数为（分）；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名．
21. 生活垃圾分类不仅是城市精细化管理水平的重要体现，更是一座城市文明的有力表现．为响应扬州市政府的号召，培养中学生垃圾分类的责任、意识和习惯，邗江区某校七年级开展了相关的知识竞赛，要求每班各出两名选手参与竞答比赛．七（3）班共有A、、、四名同学报名参赛．
（1）班主任第一次选人就选到A同学的概率是多少？
（2）请用列表或树状图的方法求出A、两名同学被选中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）用表格列出所有可能情况，再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵七（3）班共有A、、、四名同学报名参赛．
∴班主任第一次选人就选到A同学的概率是；
【小问2详解】
用表格列出所有可能的结果：
由表格可知：共有12种等可能的结果，符合要求的结果两种，
所以A、两名同学被选中的概率，
【点睛】此题主要考查了用树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
22. 蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度的长．
【答案】2米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意，,且是圆的半径，得到，连接，利用勾股定理计算即可．
【详解】根据题意，,且是圆的半径，
∴，
连接，
，
∴．
23. 如图，已知、分别与相切于点、，，为上一点．
（1）求的大小；
（2）请用不带刻度的直尺画出的角平分线．（保留作图痕迹，不用写作法）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，切线的性质．
（1）连接、，由和是的切线，可得，结合，根据四边形的内角和可求出，最后根据圆周角定理即可求解；
（2）连接交弧于点，连接，则即为所求．
【小问1详解】
解：连接、，
和是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
【小问2详解】
如图，即为所求．
24. 如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连接，．

（1）求的度数；
（2）求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据圆周角定理求解即可；
（2）证明是等边三角形，根据扇形和三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接，
，
，
，
是等边三角形，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，作辅助线，证明是等边三角形是解答的关键．
25. 关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
【答案】（1）
（2）14
【解析】
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴．
解得：．
【小问2详解】
解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，，
∵，
∴
，
根据勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴的周长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润=________元，平均每天销售数量为________件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）每件商品应降价20元．
【解析】
【分析】（1）利用每件衬衫的利润=原利润-每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量=30+3×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量；
（2）利用该经销商每天销售衬衫获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．
【小问1详解】
解：依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为件．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：依题意得：，
整理得：，
解得：=10，=20，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴x=20．
答：每件商品应降价20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27. 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形________奇妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；
（3）如图3，已知的内接四边形是奇妙四边形．请猜测和的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）不是 （2）96
（3）平行，见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的对角线的性质判断即可．
（2）如图2中，连接、，作于，则．解直角三角形求出，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．
（3）依据同圆中等弧所对的圆周角都相等推导出，进而得到推导出，，，进而得到，．
【小问1详解】
解：∵矩形的对角线不一定相互垂直，
∴矩形不是“奇妙四边形”，
故答案为：不是；
【小问2详解】
如图2中，连接、，作于，则．
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵四边形是奇妙四边形，
∴，
∴“奇妙四边形”的面积；
【小问3详解】
结论：．证明如下：
如图3，
∵的内接四边形是奇妙四边形，
∴，，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．
28. 如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．
（1）求证：与相切；
（2）过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证；
（2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解；
（3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴是的半径，
又，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，
理由，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴是的切线；
【小问3详解】
解：∵
∴，
∴
则圆锥的底面圆的半径为
如图，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可知之间的距离为，
∴,
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
设的半径为，则，
∴
解得
∴,
∴，
∴，
，
∵，
又，
∴，
即，
∵．
∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
A
A