2023-2024学年山东省淄博市淄川区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市淄川区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. 9x2−16y2B. 4x2−4x+1C. x2+xy+y2D. 9−3x+x2
2.解分式方程1x−2−2=42−x时，去分母得( )
A. 1−2(x−2)=4B. 1−2(x−2)=−4
C. −1−2(x−2)=−4D. 1−2(2−x)=4
3.若把分式2xyx+y的x，y同时扩大3倍，则分式值( )
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 不变D. 扩大9倍
4.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE=3，则BF等于( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5.计算(−5)2013+(−5)2014的结果是( )
A. 4x52023B. −5C. −4×52003D. −4
6.若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，6B. 4，4C. 3，6D. 3，4
7.已知点A(m+1,−2)和点B(3,n−1)关于坐标原点对称，则m+n的值为( )
A. −2B. −1C. 7D. −3
8.已知一组数据a、b、c、d的平均数是3，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3，则新数据与原数据相比，方差将( )
A. 不变B. 变大C. 变小D. 不能确定
9.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为( )
A. 24B. 36C. 40D. 48
10.如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作PD//AC，PE//AB，PF//BC分别交三边于点D，E，F，则PD+PE+PF等于( )
A. 9
B. 8
C. 4
D. 3
11.如图．△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)( )
A. 90∘+12αB. 90∘−12αC. 180∘−32αD. 32α
12.如图，在△ABC中，AC=2 2，∠CAB=120∘，D是AB的中点，E是BC上一点.若DE平分△ABC的周长，则DE的长为( )
A. 52B. 2C. 3D. 2−12 2
二、解答题：本题共15小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题4分)
一个分子为x−5的分式，在x≠1时有意义，请写出一个符合上述条件的分式：______.
14.(本小题4分)
正十边形的外角和为______.
15.(本小题4分)
在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是______.
16.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，点P(2,4)经过平移后得到点P′(−2,−1)，写出从点P得到点P′的一种平移方式：______.
17.(本小题4分)
若a−2b+2=0，a+2b−5=0，则a2−4b2的值为______.
18.(本小题4分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请你添加一个条件______，使四边形 AECF是平行四边形.
19.(本小题4分)
如图，▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.求CE的长.
20.(本小题4分)
如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到ΔA1B1C1，则旋转中心是点______.
21.(本小题10分)
分解因式：
(1)(2x+y)2−(x+2y)2；
(2)x(4−x)−4.
22.(本小题10分)
解方程：
(1)x2x−3+53−2x=4；
(2)2x+5x−5=72.
23.(本小题10分)
先化简，再求值：(3xx−y+xx+y)÷xx2−y2，其中x，y满足2x+y−3=0.
24.(本小题16分)
完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB=25∘，∠F=57∘.
(1)请说明：∠EAB=∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数.
25.(本小题8分)
某人沿一条河流顺流游泳lm，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为xm/s，水流速度为nm/s.
(1)求他来回一趟所需的时间为t；
(2)用含t，x，n的代数式表示l.
26.(本小题6分)
某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷.在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x(次/分钟)，分为如下五组：A组：50≤x<75，B组：75≤x<100，C组100≤x<125，D组：125≤x<150，E组：150≤x<175.其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56.
根据统计数据绘制了不完整的统计图(如图所示)，请结合统计图解答下列问题：
(1)A组数据的中位数是______，众数是______；在统计图中 B组所对应的扇形圆心角是______度；
(2)补全学生心率频数分布直方图；
(2)一般运动的适宜心率为100≤x<150(次/分钟)，学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
27.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F.
(1)求证：∠AEN=∠F；
(2)若∠A+∠ABC=122∘，求∠F的大小.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意；
B选项，原式=(2x−1)2，故该选项符合题意；
C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
故选：B.
利用完全平方公式的结构特点，逐个判断得结论．
本题主要考查了因式分解-运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：解分式方程1x−2−2=42−x时，去分母得1−2(x−2)=−4.
故选：B.
找出分式方程的最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3.【答案】A
【解析】解：2×3x⋅3y3x+3y=2×3xyx+y=3×2xyx+y，
即如果把分式2xyx+y中的x和y都同时扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，
故选：A.
先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的性质进行变形是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，
∴BE=CF=2，
∵CE=3，
∴BF=CF+BE+CE=2+2+3=7，
故选：B.
根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．
本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到BE=CF=2.
5.【答案】A
【解析】解：(−5)2013+(−5)2014
=1×(−5)2013+(−5)×(−5)2013
=(1−5)×(−5)2013
=−4×(−5)2013
=4×52013，
故选：A.
先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解．
此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用提公因式法因式分解．
6.【答案】A
【解析】解：∵数据1，3，4，6，m的平均数为4，
∴1+3+4+6+m=4×5，
解得m=6
则这组数据从小到大排列为1，3，4，6，6
∴这组数据的中位数为4，众数为6，
故选：A.
先根据算术平均数的概念求出m的值，再将数据重新排列，继而利用众数和中位数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数及平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点的对称，则横纵坐标都变成相反数．
根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”列方程求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【解答】
解：∵点A(m+1,−2)和点B(3,n−1)关于坐标原点对称，
∴m+1=−3，n−1=2，
解得：m=−4，n=3，
故m+n=−1.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】解：弱a、b、c、d都不等于3时，
∵a、b、c、d的平均数是3，
∴S2=14[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2]，
在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3的平均数还是3，
那么这组新数据的方差为S′2=15[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2+(3−3)2]=15[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2]，
∴S′2∴新数据与原数据相比，方差将变小．
若a、b、c、d都为3时，S′2=S2，
故选：D.
根据原数据a、b、c、d的平均数是3，可表示出原数据的方差，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3的平均数还是3，再表示出新数据的方差，比较大小即可．
本题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
9.【答案】D
【解析】解：设BC=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴BC+CD=20，
∴CD=20−x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵▱ABCD的面积=BC⋅AE=CD⋅AF，
∴4x=6(20−x)，
解得：x=12，
∴▱ABCD的面积=BC⋅AE=12×4=48.
故选：D.
设BC=x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进行求出x=12，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：延长DP交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∵PD//AC，
∴∠DMB=∠C=60∘，∠BDM=∠A=60∘，∠PEM=∠B=60∘，
∴△DBM是等边三角形，
∴DM=MB，
∵∠MPE=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴△PEM是等边三角形，
∴PM=PE，
∴DM=PD+PM=PD+PE，
∴BM=PD+PE，
∵PF//BC，DM//AC，
∴四边形PMCF是平行四边形，
∴MC=PF，
∴PD+PE+PF=BM+MC=BC，
∵等边△ABC的周长是9，
∴BC=3，
∴PD+PE+PF=3.
故选：D.
由平行线的性质，等边三角形的性质，推出△DBM是等边三角形，△PEM是等边三角形，得到DM=MB，PM=PE，推出PD+PE=MB，由平行四边形的性质推出PF=MC，得到PD+PE+PF=BC.
本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，关键是证明△DBM是等边三角形，△PEM是等边三角形，得到DM=BM，PM=PE，证明四边形PMCF是平行四边形，得到MC=PF.
11.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，
∵∠BCD=α，
∴∠B=∠BDC=180∘−α2=90∘−α2，∠ACE=α，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A=90∘−∠B=α2.
∴∠E=α2.
∴∠EFC=180∘−∠ECF−∠E=180∘−32α.
故选：C.
由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，因为∠BCD=α，所以∠B=∠BDC=180∘−α2=90∘−α2，∠ACE=α，由三角形内角和可得，∠A=90∘−∠B=α2.所以∠E=α2.再由三角形内角和定理可知，∠EFC=180∘−∠ECF−∠E=180∘−32α.
本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
12.【答案】B
【解析】解：延长BC至F，使CF=CA，连接AF，
∵∠ACB=120∘，
∴∠ACF=60∘，
∴△ACF为等边三角形，
∴AF=AC=2 2，
∵DE平分△ABC的周长，
∴BE=CE+AC，
∴BE=CE+CF=EF，
∵BD=DA，
∴DE=12AF= 2，
故选：B.
延长BC至F，使CF=CA，连接AF，根据等边三角形的性质求出AF，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】x−5x−1(答案不唯一)
【解析】解：∵一个分子为x−5的分式，在x≠1时有意义，
∴分式可以为x−5x−1.
故答案为：x−5x−1(答案不唯一).
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件及分式的定义，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
14.【答案】360∘
【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360∘，
所以正十边形的外角和等于360∘.
故答案为：360∘.
根据多边的外角和定理进行选择．
本题考查多边的外角，掌握多边的外角的性质是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵数据4，5，6，5的平均数为4+5+6+54=5，
∴添加数据5，新数据的平均数仍然是5，
故答案为：5.
计算出原数据的平均数，为确保平均数保持不变，新添加的数据即为所求原数据的平均数，据此可得答案．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
16.【答案】先向左平移4个单位，再向下平移5个单位(答案不唯一)
【解析】解：由题知，
因为点P的坐标为(2,4)，平移后的点坐标为(−2,−1)，
所以2+(−4)=−2，4+(−5)=−1，
故平移的方式可以是：先向左平移4个单位，再向下平移5个单位．
故答案为：先向左平移4个单位，再向下平移5个单位(答案不唯一).
利用点向左(右)平移时，点的横坐标减小(增大)；向上(下)平移时，点的纵坐标增大(减小)，据此可解决问题．
本题考查坐标与图形变化-平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
17.【答案】−10
【解析】解：a2−4b2=(a−2b)(a+2b)，
∵a−2b+2=0，a+2b−5=0，
∴a−2b=−2，a+2b=5，
∴原式=−2×5=−10，
故答案为：−10.
根据已知条件，再结合平方差公式，求解即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的公式法．
18.【答案】AF=EC(答案不唯一)
【解析】解：添加条件：AF=EC，使四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：AF=EC(答案不唯一).
由平行四边形的性质得AD//BC，再由AF=EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中，32+42=52，即EA2+ED2=AD2，
∴△AED为直角三角形，∠AED=90∘，
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠AED=90∘，
∵CD=AB=3+5=8，
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：
CE= ED2+DC2= 42+82=4 5.
【解析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD=BC=EB=5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED=90∘，再根据平行四边形的性质可得CD=AB=8，∠EDC=90∘，根据勾股定理可求CE的长．
此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
20.【答案】N
【解析】解：由题知，
令正方形网格的边长为1，
则CN=C1N，
AN=A1N= 12+22= 5，
BN=B1N= 22+22=2 2，
所以点N为旋转中心．
故答案为：N.
根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)(2x+y)2−(x+2y)2
=[2x+y+(x−y)][2x+y−(x−y)]
=(3x+3y)(x−y)
=3(x+y)(x−y)；
(2)x(4−x)−4
=4x−x2−4
=−(x2−4x+4)
=−(x−2)2.
【解析】(1)先利用平方差公式，再提取公因式进行分解即可解答；
(2)先去括号，再利用完全平方公式分解即可．
本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)方程两边同时乘以(2x−3)得：x−5=4(2x−3)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x−3≠0，
∴原分式方程的解为x=1；
(2)方程两边同时乘以2(x−5)得：2(2x+5)=7(x−5)，
解得：x=15，
检验：当x=15时，x−5≠0，
∴原分式方程的解为x=15.
【解析】(1)方程两边同时乘以(2x−3)，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
(2)方程两边同时乘以2(x−5)，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程是解决问题的关键．
23.【答案】解：(3xx−y+xx+y)÷xx2−y2
=3x2+3xy+x2−xy(x−y)(x+y)⋅(x−y)(x+y)x
=2x(2x+y)(x−y)(x+y)⋅(x−y)(x+y)x
=2(2x+y)，
∵2x+y−3=0，
∴2x+y=3，
∴原式=2×3=6.
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24.【答案】解：(1)∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB=∠CAF；
(2)∵∠EAB=25∘，△ABC≌△AEF，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25∘，可以得到△AEF；
(3)由(1)知，∠EAB=∠FAC=25∘，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C=∠F=57∘，
∴∠AMB=∠C+∠FAC=57∘+25∘=82∘.
【解析】(1)由全等三角形的性质可得∠BAC=∠EAF，根据等角加同角相等即可得到∠EAB=∠FAC；
(2)根据旋转的性质即可求解；
(3)由(1)知∠EAB=∠FAC=25∘，由全等三角形的性质可得∠C=∠F=57∘，根据三角形外角性质可得∠AMB=∠C+∠FAC，代入计算即可求解．
本题主要考查全等三角形的性质、旋转的性质、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)顺流时速度为(x+n)m/s，逆流时速度为(x−n)m/s，
所以t=lx+n+lx−n=2lxx2−n2；
(2)由(1)知t=2lxx2−n2，
去分母可得：t(x2−n2)=2lx，
两边同时除以2x可得：l=t(x2−n2)2x.
【解析】(1)利用时间=路程÷速度可得出时间t；
(2)从(1)中得出的式子中解出L即可．
本题主要考查列分式方程及解字母系数的方程，把要解的L看成未知数解出L是解题的关键．
26.【答案】解：(1)69，74；54；
(2)C组频数为：100−8−15−45−2=30，
补全学生心率频数分布直方图如下：
(3)2300×(30%+45100)=1725(名)，
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
【解析】解：(1)把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：68+702=69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%=100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360∘×15100=54∘.
故答案为：69，74，54；
(2)见答案；
(3)见答案。
(1)分别根据中位数、众数的定义可得A组数据的中位数和众数；用A组频数除以A组所占百分比可得样本容量，用360∘乘B组数据所占比例可得在统计图中B组所对应的扇形圆心角度数；
(2)先求出C组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；
(3)用2300乘样本中C组和D组所占百分比即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】(1)证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△BDC的中位线，
∴PM//BC，PM=12BC，
∴∠PMN=∠F，同理PN//AD，PN=12AD，
∴∠PNM=∠AEN，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AEN=∠F；
(2)解：∵PN//AD，
∴∠PNB=∠A，
∴∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，
∵PM//BC，
∴∠F=∠PMN，∠MPD=∠DBC，
∴∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=122∘，
∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM=12×(180∘−122∘)=29∘，
∴∠F=∠PMN=29∘.
【解析】(1)根据三角形中位线定理得到PM//BC，PM=12BC，求得∠PMN=∠F，同理PN//AD，PN=12AD，等量代换即可得到结论；
(2)根据平行线的性质得到∠PNB=∠A，根据三角形外角的性质得到∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，根据平行线的性质得到∠F=∠PMN，∠MPD=∠DBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理即可得到结论．