2023-2024学年山东省烟台市龙口市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省烟台市龙口市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在直角坐标系中，点P(−2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为( )
A. (−2,6)B. (1,3)C. (1,6)D. (−5,3)
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列从左到右的变形，不成立的是( )
A. 42a=2aB. bax=aba2xC. ba=b+1a+1D. −ba=b−a
4.若分式3x−62x+1的值为0，则x=( )
A. 0B. 12C. 2D. 7
5.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 110∘
D. 135∘
6.如果a−b=2，那么代数式a3−2a2b+ab2−4a的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是( )
A. 16B. 18C. 20D. 22
8.为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查统计如下表：
则关于阅读量的说法错误的是( )
A. 平均数是2B. 中位数是2C. 众数是2D. 极差是5
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F.已知AB=4，△AOE的面积为5，则DE的长为( )
A. 2
B. 5
C. 6
D. 3
10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60∘，E是AD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PA+PE的最小值是( )
A. 3−1
B. 3
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：2ax2−8a=________________.
12.若x和y互为倒数，则(x+1y)(3y−1x)=______.
13.某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的中位数是______台.
14.如图，在▱ABCD中，∠A=68∘，DB=DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为______.
15.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF=3DF.若∠AFC=90∘，则AC的长度是______.
16.如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30∘后得到△A1BC1，则阴影部分面积为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=12.
18.(本小题5分)
解方程：xx−2−1=4x2−4x+4.
19.(本小题5分)
如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
20.
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,2)，B(−1,4)，C(−4,5)，请解答下列问题：
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1,0)作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90∘得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标.
22.(本小题8分)
为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如表(单位：秒)：
(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差.
(2)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？
23.(本小题9分)
(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4=______；16x2+24x+9=______；9x2−12x+4=______；
(2)观察以上三个多项式的系数，我们发现：
42=4×1×4，242=4×16×9，(−12)2=4×9×4；
①猜想结论：若多项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系；请你用式子表示a，b，c之间的关系；
②验证结论：请你写出一个完全平方式(不同于题中所出现的完全平方式)，并验证①中的结论；
③解决问题：若多项式(m+8)x2−(2m+4)x+m是一个完全平方式，求m的值.
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
25.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF=45∘，连接EF.
(1)当E，F分别在边AB，AD上时，如图1.请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程；
(2)当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2.试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：平移后点P的横坐标为−2+3=1，纵坐标不变为3；
所以点P(−2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(1,3).
故选：B.
让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可．
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A.
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、42a=4÷22a÷2=2a，故A不符合题意；
B、bax=aba2x，故B不符合题意；
C、ba≠b+1a+1，故C符合题意；
D、−ba=b−a，故D不符合题意；
故选：C.
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出3x−6=0且2x+1≠0是解题关键．
根据分子为零且分母不为零的分式的值为零，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
3x−6=0且2x+1≠0，
解得x=2，
故选：C.
5.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的外角和为360∘，
∴每一个外角为360∘÷8=45∘.
故选：A.
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：a3−2a2b+ab2−4a=a(a2−2ab+b2)−4a=a(a−b)2−4a，
∵a−b=2，
∴a(a−b)2−4a=a×22−4a=0，
故选：B.
先提公因式，将原式化为：a(a2−2ab+b2)−4a，进一步整理为：a(a−b)2−4a，再将a−b=2代入，即可得到答案．
本题主要考查利用整体代入法求多项式的值，理清题意，对所求多项式进行适当变形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OB=OD，OA=OC=12AC=6，
∵AB⊥AC，
由勾股定理得：OB= AB2+OA2= 82+62=10，
∴BD=2OB=20.
故选：C.
由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC=12AC=6，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，由勾股定理求出OB是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、x−=0×1+1×4+2×6+3×2+4×215=2，说法正确，不符合题意；
B、中位数是2，说法正确，不符合题意；
C、众数是2，说法正确，不符合题意；
D、极差是4−1=4，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D.
分别求出这组数据的平均数、中位数、众数、极差，判断即可．
本题考查的是平均数、中位数、众数、极差，熟记它们的概念和计算公式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴BF=DE，S△AOE=S△DOE=5，
∴S△ACE=2S△COE=10.
∴12AE⋅CD=10，
∵CD=4，
∴EE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE= 52−42=3.
故选：D.
连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC，作AG⊥CD于点G，则∠AGD=90∘，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘，
∴AD=CD=2，DB⊥AC，∠ADC=∠ABC=60∘，
∴DB平分∠ADC，△ACD是等边三角形，
∴DG=CG=12CD=1，
∴AG= AD2−DG2= 22−12= 3，
在DC上截取DF=DE，连接EF、AF，
∵DF=DE，DB平分∠EDF，
∴DB垂直平分EF，
∴点E与点F关于直线DB对称，
∴PE=PF，
∴PA+PE=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，
∴当AP+AF=AF，且AF的值最小时，AP+AF的值最小，此时PA+PE的值最小，
∵当AF与AG重合时，AF的值最小，
∴AF的最小值为 3，
∴PA+PE的最小值为 3，
故选：B.
连接AC，作AG⊥CD于点G，由菱形的性质得AD=CD=2，DB⊥AC，∠ADC=∠ABC=60∘，则DB平分∠ADC，△ACD是等边三角形，所以DG=CG=1，求得AG= AD2−DG2= 3，在DC上截取DF=DE，连接EF、AF，则DB垂直平分EF，所以PE=PF，则PA+PE=PA+PF，由PA+PF≥AF，可知当AP+AF=AF，且AF的值最小时，AP+AF的值最小，此时PA+PE的值最小，而AF的最小值为 3，所以PA+PE的最小值为 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】2a(x+2)(x−2)
【解析】解：原式=2a(x2−4)
=2a(x+2)(x−2).
故答案为：2a(x+2)(x−2).
首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.【答案】4
【解析】解：原式=3xy−1+3−1xy=3xy+2−1xy，
∵x和y互为倒数，
∴xy=1，
则原式=3×1+2−11=3+2−1=4，
故答案为：4.
根据互为倒数的概念得到xy=1，根据多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把xy=1代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是20+202=20(台)，
故答案为：20.
根据中位数的定义作答即可．
本题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
14.【答案】22∘
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=68∘，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠BCD=68∘，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90∘，
∴∠BCE=90∘−68∘=22∘.
故答案为：22∘.
由平行四边形ABCD中，易得∠BCD=∠A=68∘，又因为DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=68∘；再根据CE⊥BD，可得∠BCE=22∘.
此题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
15.【答案】6
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC=4，
∵EF=3DF
∴DE=4DF，
∴DF=14DE=1，
∴EF=DE−DF=3，
∵∠AFC=90∘，点E是AC的中点，
∴AC=2EF=6，
故答案为：6.
根据三角形中位线定理得到DE=12BC=4，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质求出AC.
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】16
【解析】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30∘后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30∘，
∵AD⊥A1B，
∴AD=12AB=4，
∴S△A1BA=12×8×4=16，
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC，且S△A1BC1=S△ABC，
∴S阴影=S△A1BA=16，
故答案为：16.
根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30∘得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
17.【答案】解：原式=x(x+1(x−1)÷x+1−1x+1
=x(x+1(x−1)⋅x+1x
=1x−1，
当x=12时，原式=112−1=−2.
【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=1x−1，然后把x的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18.【答案】解：xx−2−1=4x2−4x+4，
xx−2−1=4(x−2)2，
x(x−2)−(x−2)2=4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，(x−2)2≠0，
∴x=4是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19.【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DFE=∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD=CB，∠DAF=∠BCE即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】

【解析】
21.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示．
点A1(3,−3)，B1(4,−1).
(2)△A2B2C2如图所示．
(3)如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为(5,0).
【解析】(1)根据平移的性质作图，可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，可得出答案．
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数是：110(1−3−4+4+2−2+2−1−1+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：110(4−3−1+2−2+1−2+2−2+1)=0.
S甲2=110[(1−0)2+(−3−0)2+…+(2−0)2]=110×60=6(s2)，
S乙2=110[(4−0)2+(−3−0)2+…+(1−0)2]=110×48=4.8(s2)，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是6s2和4.8s2；
(2)我会买乙种电子钟，因为两种类型的电子钟价格相同，且甲的方差比乙的大，说明乙的稳定性更好，故乙种电子钟的质量更优．
【解析】(1)根据平均数与方差的计算公式易得的答案；
(2)根据(1)的计算结果进行判断．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．同时考查平均数公式：x−=x1+x2+⋯+xnn.
23.【答案】(x+2)2 (4x+3)2 (3x−2)2
【解析】(1)x2+x+4=(x+2)2；16x2+24x+9=(4x+3)2；9x2−12x+4=(3x−2)2.
故答案为：(x+2)2；(4x+3)2；(3x−2)2.
(2)①猜想：b2=4ac.
②4x2+4x+1，
a=4，b=4，c=1.
b2=42=16，4ac=4×4×1=16，
∴b2=4ac.
③若多项式(m+8)x2−(2m+4)x+m是一个完全平方式，
根据①结论可知：[−(2m+4)]2=4×(m+8)×m，
解得：m=1.
(1)根据完全平方公式分解即可．
(2)①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案．
②举例验证即可．
③利用①中的规律进行求解．
本题考查了完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC.
∴∠DFB=90∘.
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD.
(2)解：四边形BECD是菱形.
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE.
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形.
(3)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形.
理由是：∵∠ACB=90∘，∠A=45∘，
∴∠ABC=∠A=45∘，
∴AC=BC.
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形.
【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键.
(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)先证明四边形BECD是平行四边形，再证明CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)证出∠CDB=90∘，再根据正方形的判定推出即可.
25.【答案】解：(1)EF=BE+DF，
证明：如图，延长AB使得BG=DF，连接CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90∘=∠D=∠CBG.CD=CB，
∴△CDF≌△CBG(SAS)，
∴∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∵∠ECF=45∘，
∴∠BCE+∠DCF=45∘.
∴∠ECG=∠BCG+∠BCE=45∘=∠ECF，
∵CF=CG，CE=CE，
∴△CFE≌△CGE(SAS).
∴GE=EF.
∵GE=GB+BE=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
(2)EF=BE−DF.
证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90∘后，得到△CBG.
由旋转可得BG=DF，CF=CG，∠BCG=∠DCF，点A，G，B在同一直线上．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90∘.
∵∠ECF=45∘，
∴∠DCE+∠DCF=45∘.
∴∠DCE+∠BCG=45∘.
∴∠ECG=∠BCD−(∠DCE+∠BCG)=90∘−45∘=45∘.
∴∠ECF=∠ECG.
∵CF=CG，CE=CE，
∴△CEF≌△CEG(SAS).
∴EF=EG.
∵EG=BE−BG=BE−DF，
∴EF=BE−DF.
【解析】(1)延长AB使得BG=DF，连接CG，先证明△DCF≌△BCG，得出∠DCF=∠BCG，CF=CG，再证明△CFE≌△CGE得出GE=EF即可解答；
(2)把△CDF绕点C逆时针旋转90∘后，得到△CBG.根据旋转的性质证明△CEF≌△CEG得出EF=EG，由EG=BE−BG=BE−DF即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．阅读量(本)
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八
九
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甲种电子钟
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−4
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2
−2
2
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乙种电子钟
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−1
2
−2
1
−2
2
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