2023-2024学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=65∘，∠ACB=30∘，然后在M处立了标杆，使∠CBM=65∘，∠MCB=30∘，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是( )
A. SASB. AAAC. ASAD. SSS
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=90∘
B. DE=DF
C. AD=BC
D. BD=CD
4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A=75∘，∠ACP=12∘，则∠ABP的度数为( )
A. 12∘
B. 31∘
C. 53∘
D. 75∘
5.下列判断中，正确的是( )
A. 分式的分子中一定含有字母
B. 对于任意有理数x，分式52+x2总有意义
C. 分数一定是分式
D. 当A=0时，分式AB的值为0(A、B为整式)
6.若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图(如图所示).设他们生产零件的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有.( )
A. b>a>cB. c>a>bC. a>b>cD. b>c>a
7.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生的平均成绩相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字的个数≥150为优秀)；
(3)甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论中，正确的是( )
A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(3)D. (1)(2)(3)
8.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知点A(a,5)与点B(−2,b−1)关于x轴对称，则ab=______.
10.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25∘，∠2=30∘，则∠3=______.
11.若x：y=2：3，y：z=2：3，则代数式x+yz的值是______.
12.光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB=20∘，∠FED=45∘，则∠GFH的度数为______.
13.某公司招聘英语翻译，听、说、写成绩按3：3：4计入总成绩.某应聘者的听、说、写成绩分别为80分，90分，95分(单项成绩和总成绩，均为百分制)，则他的总成绩为______分.
14.小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起.当∠ACEa>c.
故选A.
7.【答案】D
【解析】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．
故(1)(2)(3)正确，
故选：D.
本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
8.【答案】B
【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得x⊗(−2)=1x−(−2)2=1x−4，
即1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解．
故选：B.
9.【答案】8
【解析】解：由点A(a,5)与点B(−2,b−1)关于x轴对称，得：a=−2，b−1=−5.
∴a=−2，b=−5=−4.
∴ab=−2×(−4)=8，
故答案为：8.
根据关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
10.【答案】55∘
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE.
求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30∘，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC.
在△BAD和△CAE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2=∠ABD=30∘.
∵∠1=25∘，
∴∠3=∠1+∠ABD=25∘+30∘=55∘.
故答案为：55∘.
11.【答案】109
【解析】解：∵x：y=2：3，y：z=2：3，
∴x=23y，z=32y，
∴x+yz=23y+y32y=109.
故答案为：109.
根据比例的性质得x=23y，z=32y，代入所求的式子计算即可．
本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．
12.【答案】25∘
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠GFB=∠FED=45∘.
∵∠HFB=20∘，
∴∠GFH=∠GFB−∠HFB=45∘−20∘=25∘.
故答案为：25∘.
根据平行线的性质知∠GFB=∠FED=45∘，结合图形求得∠GFH的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】89
【解析】解：由题意知，总成绩=(80×3+90×3+95×4)÷(3+3+4)=89(分).
故答案为：89.
运用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分，95分，分别乘以3，3，4，再用它们的和除以10即可．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是直接求出80，90，95的平均数．
14.【答案】15∘或60∘或150∘
【解析】解：有三种情形：①如图1中，当AD//BE时，延长BE交AC于点F，
∵AD//BE，
∴∠BFC=∠A=30∘
∴∠ACE=∠CEB−∠EFC=45∘−30∘=15∘；
②如图2中，当AD//BC时，延长CE交AD于点G
∵AD//BC
∴∠AGC=∠BCE=90∘
∴∠ACE=90∘−∠A=60∘；
③如图3中，当AD//CE时，
∵AD//CE，
∴∠ACE=180∘−∠A=150∘，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15∘或60∘或150∘.
故答案为：15∘或60∘或150∘.
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：(1)12m2−9−2m−3
=12(m+3)(m−3)−2(m+3)(m+3)(m−3)
=12−(2m+6)(m+3)(m−3)
=−2m+6(m+3)(m−3)
=−2(m−3)(m+3)(m−3)
=−2m+3；
(2)a2−1a2−2a+1−3a+3a−1÷(a+1)
=(a+1)(a−1)(a−1)2−3(a+1)a−1⋅1a+1
=a+1a−1−3a−1
=a+1−3a−1
=a−2a−1，
要使分式有意义，必须a−1≠0且a+1≠0，
所以a不能为1和−1，
取a=2，
原式=2−22−1=01=0.
【解析】(1)先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；
(2)先分解因式和根据分式的除法法则进行计算，再约分和根据分式的乘法法则进行计算，算减法，根据分式有意义的条件求出a不能为1和−1，取a=2，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16.【答案】解：原方程可化为：xx−2−1=3(x+2)(x−2)，
方程的两边同乘(x+2)(x−2)，得
x(x+2)−x2+4=3，
解得x=−12.
检验：把x=−12代入(x+2)(x−2)=−154≠0.
∴原方程的解为：x=−12.
【解析】观察可得最简公分母是(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，注意：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
(3)分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．
17.【答案】x=3
【解析】解：(1)∵方程3xx−3+5=m3−x有增根，
∴x−3=0，
解得：x=3，
∴增根是x=3，
故答案为：x=3；
(2)3xx−3+5=m3−x，
3x+5(x−3)=−m，
由(1)可得：x=3，
把x=3代入方程3x+5(x−3)=−m中得：
3×3+0=−m，
解得：m=−9，
(1)根据题意可得：x−3=0，然后进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论，把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求作的三角形；
(2)S△ABC=2×3−12×1×2−12×1×2−12×3×1=52；
(3)先作出点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图2所示：
∵点B关于y轴的对称点B′，
∴BP=B′P，
∴BP+PC+BC=B′P+PC+BC，
∵两点之间线段最短，
∴此时△PAC的周长最小．
【解析】(1)先作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
(2)利用割补法求出△ABC的面积即可；
(3)先作出点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交y轴于一点，即为点P.
本题主要考查了作轴对称图形，三角形面积计算，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90∘，
在△ABD与△ACE中，
∠A=∠A∠ADB=∠AEC=90∘AC=AB，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴AE=AD，
∵AC=AB，
∴AC−AD=AB−AE，
即BE=DC；
(2)由(1)可知△ABD≌△ACE，BE=DC，
∴∠B=∠C，AE=AD，
∴△BEF≌△DCF(ASA)，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF(SAS)，△ABF≌△ACF(SAS).
【解析】(1)根据AAS证明△ABD与△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
(2)根据全等三角形的判定方法解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据据AAS证明△ABD与△ACE全等解答．
20.【答案】已知：
线段AB外一点P，且PA=PB，
求证：P在线段AB的垂直平分线上
证明：
过P作PD⊥AB于D，
则∠PDA=∠PDB=90∘，
∵在Rt△PDA和Rt△PDB中
PA=PBPD=PD
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)，
∴AD=BD，
∵PD⊥AB，
即P在线段AB的垂直平分线上．
【解析】先画出图形，写出已知、求证，过P作PD⊥AB于D，推出∠PDA=∠PDB=90∘，根据HL推出Rt△PDA≌Rt△PDB，根据全等三角形的性质得出AD=BD，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是能画出图形，并能正确作出辅助线，难度适中．
21.【答案】(1)解：如图，AD为所作；
(2)证明：在DC上截取DE=BD，连接AE，
∵AD⊥BE，DB=DE，
即AD垂直平分BE，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠B，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=CE，
∴CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD.
【解析】(1)利用基本作图，过A点作BC的垂线即可；
(2)在DC上截取DE=BD，连接AE，则AD垂直平分BE，所以AE=AB，则∠AEB=∠B，接着证明∠C=∠EAC得到AE=CE，然后利用等线段代换得到CD=AB+BD.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
22.【答案】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，
依题意，得：3000x=4200x+80.
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+80)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
23.【答案】解：(1)该校的班级数是：2÷12.5%=16(个).
则人数是8名的班级数是：16−1−2−6−2=5(个).
；
(2)每班的留守儿童的平均数是：116(1×6+2×7+5×8+6×10+12×2)=9(人)，众数是10名；
(3)该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540(人).
答：该镇小学生中共有留守儿童540人．
【解析】(1)根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是12.5%，即可求得班级的总个数；
(2)利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出现次数最多的数确定留守儿童的众数；
(3)利用班级数60乘以(2)中求得的平均数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60∘，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=80∘，
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠CDE=β=∠AED−∠C=20∘，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=100∘，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠BAD=α=∠ADC−∠B=40∘，
∴α的值为40∘，β的值为20∘；
(2)α=2β，
理由：设∠B=x∘，∠ADE=y∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x∘，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=y∘，
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠AED=∠CDE+∠C，
∴y=β+x，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，
∴y+β=x+α，
∴β+x+β=x+α，
∴α=2β.
【解析】(1)利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60∘，∠ADE=∠AED=80∘，然后利用三角形的外角性质可得∠CDE=β=20∘，从而可得∠ADC=100∘，最后再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲班
55
135
149
191
乙班
55
135
151
110