2023-2024学年河南省周口市太康县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省周口市太康县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数−1，2，−0.5， 5中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列计算正确的是( )
A. a6÷a3=a2B. 2a2+3a3=5a5C. a4⋅a2=a8D. (−a3)2=a6
3.下列线段能构成直角三角形的是( )
A. 8，6，10B. 3，4，8C. 5，6，10D. 2，5，6
4.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是( )
A. SASB. SSSC. ASAD. HL
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 直角三角形的两锐角互余B. 全等三角形的对应角相等
C. 两直线平行，内错角相等D. 等腰三角形的底角相等
6.如图是我市某景点6月份内1∼10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是( )
A. 3B. 0.5C. 0.4D. 0.3
7.下列说法中，正确的个数是( )
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60∘的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60∘的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为( )
A. 52
B. 25
C. 2
D. 32
9.一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30∘，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，PA=PE.下列结论：①∠PAB+∠PEB=30∘；②△PAE为等边三角形；③AC=CE+DP；④S四边形AECP=S△ABC.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−2+3a)2=______.
12. (−10)2=______.
13.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______.(写一种即可)
14.如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为______.
15.如图，已知等边三角形ABC的边长为8cm，∠A=∠B=60∘，点D为边BC上一点，且BD=3cm.若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点N在线段AB上由点A向点B运动．若△CDM与△AMN全等，则点N的运动速度是______cm/s.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 16−327+ 214+ (−3)2；
(2)因式分解：x2+y2−1−2xy.
17.(本小题8分)
尺规作图.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘.
(1)求作线段AB的垂直平分线；
(2)求作∠BAC的角平分线.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(ab3−2a2b2−a3b)÷ab+(a+b)(a−b)，a=−1，b=2.
19.(本小题8分)
如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE，AC//DF，BC//EF.求证：BC=EF.
20.(本小题9分)
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(1)若DE=6，BC=4，求线段AE的长；
(2)已知∠D=35∘，∠C=60∘，求∠AFD的度数.
21.(本小题10分)
某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查(每人只能选择一种体育活动)，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
(1)求这次抽样调查的学生有多少人？
(2)求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数.
22.(本小题10分)
为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
(1)求公路CD、AD的长度；
(2)若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用.
23.(本小题12分)
(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
填空：
①∠AEB的度数为______；
②线段AD，BE之间的数量关系为______.
(2)拓展探究
如图2，∠ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，点A、D、E在同一直线上.CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系.并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在实数−1，2，−0.5， 5中， 5是无理数，−1，2，−0.5是有理数，
故选：A.
根据无理数的定义：无限不循环的小数为无理数，可知 5为无理数即可求解．
本题考查无理数的识别，熟知无理数的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a6÷a3=a3≠a2，不符合题意；
B、2a2与3a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、a4⋅a2=a6≠a8，不符合题意；
D、(−a3)2=a6，符合题意．
故选：D.
根据同底数幂的乘除法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、82+62=102，故是直角三角形，故选项符合题意；
B、32+42≠82，故不是直角三角形，故选项不符合题意；
C、52+62≠102，故不是直角三角形，故选项不符合题意；
D、22+52≠62，故不是直角三角形，故选项不符合题意；
故选：A.
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4.【答案】D
【解析】解：在Rt△POM和Rt△PON中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，
∴∠POM=∠PON，
∴OP平分∠AOB，
故选：D.
根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：A、C、D中命题的逆命题是真命题，故A、C、D不符合题意；
B、对应角相等的三角形不一定全等，故B符合题意．
故选：B.
由全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，即可判断．
本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由折线统计图知，气温26℃出现的天数为3天，
∴气温26℃出现的频率是3÷10=0.3，
故选：D.
用气温26℃出现的天数除以总天数10即可得．
本题主要考查频数(率)分布折线图，解题的关键是掌握频率的概念，根据折线图得出解题所需的数据．
7.【答案】D
【解析】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．
②有一个角为60∘的等腰三角形是等边三角形；正确．
③有两个角为60∘的三角形是等边三角形；正确．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．
故选：D.
根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；
本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠A=90∘，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∵将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
∴AB=A′B=3，∠A=∠BA′D=90∘，AD=A′D，
∴A′C=5−3=2，
∵CD2=A′D2+A′C2，
∴CD2=(4−CD)2+4，
∴CD=52，
故选：A.
根据勾股定理得到BC=5，根据折叠的性质得到AB=A′B=3，∠A=∠BA′D=90∘，AD=A′D，由勾股定理即可求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=5(cm)，
如图2所示， (4+1)2+22= 29(cm)，
如图3所示， 12+(4+2)2= 37(cm)，
∵5< 29< 37，
∴蚂蚁所行的最短路线为5cm，
故选：C.
先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题的根据．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接BP，
因为AC=BC，∠ABC=30∘，点D是AB的中点，
所以∠CAB=∠ABC=30∘，AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60∘，
所以CD是AB的中垂线，
所以AP=BP，
且AP=PE，
所以AP=PB=PE，
所以∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，
所以∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，
所以∠ABC=∠PAB+∠PEB=30∘，故①正确；
因为PA=PE，
所以∠PAE=∠PEA，
因为∠ABC=30∘，
所以∠BAE+∠BEA=180∘−∠ABC=150∘，
因为∠PAD+∠PEC=∠ABC=30∘，
所以∠PAE=∠PEA=150∘−30∘2=60∘，
所以△PAE是等边三角形，故②正确；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，
因为CG=CP，∠BCD=60∘，
所以△CPG是等边三角形，
所以∠CGP=∠PCG=60∘，
所以∠ECP=∠BGP=120∘，
在△ECP和△BGP中，∠ECP=∠BGP=120∘∠PCE=∠PGBEP=BP，
所以△ECP≌△BGP(AAS)，
所以CE=GB，
所以AC=BC=BG+CG=EC+CP，
因为CP不一定等于DP，故③错误；
因为∠ABC=30∘，AF⊥BM，
所以AF=12AB=AD，
因为S△ACB=12CB⋅AF=12(EC+CP)⋅AF=12EC⋅AF+12CP⋅AD=S四边形AECP，
所以S四边形AECP=S△ABC.故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C.
连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA=∠PAE=60∘，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，可证得AC=BC=BG+CG=EC+CP，由此判断③，进而由三角形的面积的和差关系可判断④．
本题考查了全等三角形的判定，线段中垂线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
11.【答案】4−12a+9a2
【解析】解：原式=(−2)2+2×(−2)⋅3a+(3a)2=4−12a+9a2.
故答案为：4−12a+9a2.
根据完全平方公式计算即可．
【本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：原式=|−10|=10，
故答案为：10.
利用 a2=|a|进行化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握 a2=|a|.
13.【答案】AC=BD
【解析】解：可添加AC=BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90∘，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BAAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
故答案为：AC=BD.
根据直角三角形全等的判定即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
14.【答案】64
【解析】解：由图形可知，字母A所代表的正方形的面积=289−225=64，
故答案为：64.
根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】2或52
【解析】解：设点M、N的运动时间为t s，则CM=2tcm.
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=60∘，
∴当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：
①如果△CDM≌△AMN，那么AN=CM=2tcm，
∴点N的运动速度是2tt=2(cm/s)；
②如果△CDM≌△ANM，那么CM=AM=12AC=4cm，
AN=CD=BC−BD=5cm，
∴点M的运动时间为：42=2(s)，
∴点N的运动速度是52cm/s.
综上可知，点N的运动速度是2或52cm/s.
故答案为：2或52.
由于∠C=∠A，所以当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：①△CDM≌△AMN；②△CDM≌△ANM.根据全等三角形的对应边相等求出AN，再根据速度=路程÷时间即可．
本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边三角形的性质，路程、速度与时间之间的关系，进行分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4−3+ 94+3
=4−3+32+3
=112；
(2)原式=(x2−2xy+y2)−1
=(x−y)2−1
=(x−y+1)(x−y−1).
【解析】(1)先把带分数化为假分数，再利用二次根式的性质计算，然后进行开方运算，最后进行有理数的加减运算；
(2)先分成两组，前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解因式．
本题考查了因式分解-分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．也考查了实数的运算．
17.【答案】解：(1)如图，DE为所作；
(2)如图，AF为所作．

【解析】(1)利用基本作图作AB的垂直平分线即可；
(2)利用基本作图作∠BAC的平分线即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18.【答案】解：(ab3−2a2b2−a3b)÷ab+(a+b)(a−b)
=b2−2ab−a2+a2−b2
=−2ab.
当a=−1，b=2时，
原式=−2×(−1)×2=4.
【解析】根据多项式除单项式法则进行整式的化简，再将a=−1，b=2代入−2ab计算即可．
本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式除单项式是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴BC=EF.
【解析】利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=6，BC=4，
∴AB=DE=6，BE=BC=4，
∴AE=AB−BE=6−4=2；
(2)∵△ABC≌△DEB，∠D=35∘，∠C=60∘，
∴∠DBE=∠C=60∘，∠A=∠D=35∘，∠ABC=∠DEB，
∴∠ABC=180∘−∠A−∠C=85∘，
∴∠DEB=85∘，
∴∠AED=95∘，
∴∠AFD=∠A+∠AED=35∘+95∘=130∘.
【解析】(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=6，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案；
(2)根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=60∘，∠A=∠D=35∘，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由统计图可知，36÷30%=120(人)，
答：这次抽样调查的学生有120人；
(2)360∘×42120=126∘，120×20%=24(人)，
答：B所在扇形圆心角的度数为126∘，补全条形统计图如图所示：
(3)800×42120=280(人)，
答：估计喜欢B的人数为280人．
【解析】(1)根据A的人数和所占的百分数求解即可；
(2)根据B占圆周角的百分数求解即可；求出C的人数即可补全条形统计图；
(3)由该校人数乘以B所占的百分数即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠C=90∘，AC=9千米，AB=15千米，
∴BC= AB2−AC2=12千米，
∵BD=5千米，
∴CD=7千米，
∴AD= AC2+CD2= 130千米；
(2)∵DH⊥AB，
∴S△ABD=12BD⋅AC=12AB⋅DH，
解得：DH=3千米，
∴修建公路DH的费用为3×2=6(万元).
【解析】(1)根据勾股定理得出BC= AB2−AC2=12千米，再求出CD=7千米，然后根据勾股定理即可得出答案；
(2)根据面积相等得出S△ABD=12BD⋅AC=12AB⋅DH，即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23.【答案】60∘AD=BE
【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CEB=∠ADC=180∘−∠CDE=120∘，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60∘；
故答案为：60∘；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
(2)∠AEB=90∘，AE=BE+2CM.
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45∘，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135∘.
∴∠BEC=135∘，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90∘.
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME.
∵∠DCE=90∘，
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(1)①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120∘，从而可以求出∠AEB的度数；
②由全等三角形的性质可得AD=BE；
(2)首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90∘；根据DCE=90∘，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM.
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．