2023-2024学年河南省周口市川汇区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省周口市川汇区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算中，正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. (a3)2=a5C. (2a)5=10a5D. a4+a4=a8
2.正五边形每一个内角度数为( )
A. 36∘B. 50∘C. 72∘D. 108∘
3.在平面直角坐标系中，点A(−1,2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (−2,1)B. (−1,−2)C. (1,−2)D. (1,2)
4.已知9y2−my+4是完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. 12D. ±12
5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D在AC边上，BE//AC，DE交AB于点M.若点M是AB边的中点，AC=8，BC=6，则四边形BCDE的面积等于( )
A. 12
B. 14
C. 24
D. 48
6.如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是( )
A. a2−b2=(a−b)(a+b)
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. 4ab=(a+b)2−(a−b)2
D. (a+b)2=a2+2ab+b2
7.如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF=OP，则∠MON的度数是( )
A. 15∘
B. 30∘
C. 45∘
D. 60∘
8.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为335113，它与π的误差小于0.000000267.将0.000000267用科学记数法可以表示为( )
A. 2.67×10−5B. 2.67×10−6C. 2.67×10−7D. 2.67×10−8
9.定义：对于不为−1，0，1的实数a，我们把1+a1−a称为a的自信数.记a0=−2，a1是a0的自信数，a2是a1的自信数，a3是a2的自信数，…，依此类推.则a2024的值是( )
A. −2B. −13C. 12D. 3
10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，AB=8，CD=5，延长BC交AD于点E，若CE⊥AD，AE=ED，则四边形ABCD的面积等于( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知△ABC的高AD在△ABC的外部，则∠A的取值范围是______.
12.分式32a2b与a−bab2c的最简公分母是________.
13.若正方形的边长增加3cm，其面积增加27cm2，则该正方形的边长是______cm.
14.要使分式1x2−x有意义，则x需要满足的条件是______.
15.如图，已知三角形纸片ABC，∠C=90∘，∠A=30∘，AC=6，点M是边AB的中点，点N在边AC上，将△AMN沿MN翻折压平，使点A恰好落在线段BC上，则AN等于______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(x−y)(x2+xy+y2)；
(2)分解因式：a2+2ab+b2−6(a+b)+9.
17.(本小题12分)
(1)已知a−b=5，ab=3，求a2+b2的值；
(2)先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷x−1x，其中x=−2.
18.(本小题12分)
解分式方程：
(1)2x−2=3x+1；
(2)x+1x=2x2+2x+1.
19.(本小题8分)
如图，点D在AB上，点E在AC上.给出信息：①AD=AE，②∠B=∠C，③AC=AB.请从中选择两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由.
20.(本小题8分)
某次列车平均提速80km/h，用相同的时间，列车提速前行驶100km，提速后比提速前多行驶40km，求该列车提速后的平均速度.
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘.
(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)点F在BC上，连接DF，若FD//BE，请判定DF是否平分∠CDA？并说明理由.
22.(本小题8分)
如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分；如图2，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉试验田上两条宽为1m的十字小路后剩余的部分.两块试验田的小麦都收获了wkg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.1倍，求a的值.
23.(本小题9分)
在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动.
(1)操作判断
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.在折叠等腰三角形ABC纸片的过程中，不难发现：DE，DF的数量关系是______.
(2)迁移探究
如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC的中点”改为“点D到顶点B，C的距离相等”，结论仍然成立.请你就图2的情形进行证明.
(3)拓展应用
已知△ABC是等边三角形，(2)中的其它条件不变，当△DEB，△DFC是等腰直角三角形时，请直接写出∠BDC的度数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
本题考查同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确计算的前提．
【解答】
解：A.a2⋅a3=a2+3=a5，因此选项符合题意；
B.(a3)2=a3×2=a6，因此选项B不符合题意；
C.(2a2)5=32a10，因此选项C不符合题意；
D.a4+a4=2a4，因此选项D不符合题意
2.【答案】D
【解析】解：正五边形的外角是：360÷5=72∘，
则内角的度数是：180∘−72∘=108∘.
故选：D.
根据多边形的外角和是360度，而正五边形的每个外角都相等，即可求得外角的度数，再根据外角与内角互补即可求得内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
3.【答案】B
【解析】解：点A(−1,2)关于x轴对称的点的坐标为(−1,−2)，
故选：B.
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点关于x轴对称的点的变化规律．
4.【答案】D
【解析】解：∵9y2−my+4是完全平方式，
∴可设9y2−my+4=(3y±2)2，
∵(3y±2)2=9y2±12y+4
∴−m=±12.
故选：D.
首先将9y2−my+4转化为(3y)2−my+22，然后根据完全平方公式的结构得−my=±12y，由此求出m即可得出答案．
此题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×8×6=24，
∵BE//AC，
∴∠E=∠ADM，
∵点M是AB边的中点，
∴BM=AM，
在△BME和△AMD中，
∠E=∠ADM∠BME=∠AMDBM=AM，
∴△BME≌△AMD(AAS)，
∴S△BME=S△AMD，
S四边形BCDE=S四边形BCDM+S△BME=S四边形BCDM+S△AMD=S△ABC=24，
故选：C.
由∠C=90∘，AC=8，BC=6，求得S△ABC=12AC⋅BC=24，由BE//AC，得∠E=∠ADM，而∠BME=∠AMD，BM=AM，即可根据“AAS”证明△BME≌△AMD，则S△BME=S△AMD，即可推导出S四边形BCDE=S△ABC=24，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BME≌△AMD是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：阴影部分的面积=a2−2(a−b)b=(a−b)2+b2，
即(a−b)2=a2−2ab+b2，
故选：B.
根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接OE，OF.
∵点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，
∴OP=OE=OF，∩POM=∠EOM，∠PON=∠NOF，
∴∠EOF=2∠MON，，
∵OP=EF，
∴OE=OD=EF，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60∘，
∴∠MON=30∘，
故选：B.
连接OE，OF，证明△OEF是等边三角形，可得结论．
本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
8.【答案】C
【解析】解：0.000000267=2.67×10−7，
故选：C.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】A
【解析】解：由题知，
因为a0=−2，
所以a1=1+(−2)1−(−2)=−13；
a2=1+(−13)1−(−13)=12；
a3=1+121−12=3；
a4=1+31−3=−2；
a5=1+(−2)1−(−2)=−13；
…，
由此可见，这列数按−13,12,3,−2循环出现，
又因为2024÷4=506，
所以a2024=−2.
故选：A.
依次求出a1，a2，a3，…，发现规律是解题的关键．
本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按−13,12,3,−2循环出现是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长CE到K使EK=CE，连接AK，
∵∠AEK=∠DEC，AE=DE，
∴△AKE≌△DCE(SAS)，
∴AK=CD=5，∠KAE=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠KAE=∠B，
∵BE⊥AD，
∴∠B+∠BAE=90∘，
∴∠KAE+∠BAE=90∘，
∴△ABK的面积=12AB⋅AK=12×8×5=20，
∵△AKE≌△DCE(SAS)，
∴△AKE的面积=△DCE的面积，
∴四边形ABCD的面积=△ABK的面积=20.
故选：B.
延长CE到K使EK=CE，连接AK，又∠AEK=∠DEC，AE=DE，即可判定△AKE≌△DCE(SAS)，得到AK=CD=5，∠KAE=∠D，而∠D=∠B，得到∠KAE=∠B，由∠B+∠BAE=90∘，得到∠KAE+∠BAE=90∘，由三角形那么久公式求出△ABK的面积=12AB⋅AK=20，又△AKE的面积=△DCE的面积，于是得到四边形ABCD的面积=△ABK的面积=20.
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造全等三角形，把四边形ABCD的面积转化为△ABK的面积，渗透转化思想．
11.【答案】0∘<∠A<90∘
【解析】解：∵△ABC的高AD在△ABC的外部，
∴△ABC是钝角三角形，且∠A是锐角，
∴∠A的取值范围是：0∘<∠A<90∘.
故答案为：0∘<∠A<90∘.
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线．
本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的性质．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
12.【答案】2a2b2c
【解析】【分析】
本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．按照公分母的定义进行解答．
【解答】
解：由最简公分母定义可得，分式32a2b与a−bab2c的最简公分母是2a2b2c.
故答案为2a2b2c.
13.【答案】3
【解析】解：设原正方形的边长为a cm，变化后的正方形的边长为(a+3)cm，由题意得，
(a+3)2−a2=27，
解得a=3，
即原正方形的边长为3cm.
故答案为：3.
根据正方形边长以及面积的变化情况列方程求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】x≠0且x≠1
【解析】解：由题意得，x2−x≠0，
解得x≠0且x≠1.
故答案为：x≠0且x≠1.
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
15.【答案】3或4
【解析】解：①如图所示，当点A与点C重合时，A，N，C三点共线，
∴AN=CN=12AC=3；
②如图所示，当点A与点B重合时，A，M，B三点共线，
∴∠A=∠ABN=30∘，
∴∠CBN=30∘，
∴Rt△BCN中，CN=12BN，
由折叠可得，AN=BN，
∴CN=12AN，即AN=23AC=4；
综上所述，AN的长为3或4.
故答案为：3或4.
分两种情况进行讨论：点A与点C重合以及点A与点B重合，依据折叠的性质以及含30∘角的直角三角形的性质进行计算即可得到AN的长．
在题主要考查了折叠问题以及含30∘角的直角三角形的性质，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】解：(1)(x−y)(x2+xy+y2)
=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3
=x3−y3；
(2)a2+2ab+b2−6(a+b)+9
=(a+b)2−6(a+b)+9
=(a+b−3)2.
【解析】(1)运用多项式乘以多项式的运算法则进行求解；
(2)将原整式变形后运用完全平方公式进行因式分解．
此题考查了多项式乘以多项式的运算能力和多项式的因式分解能力，关键是能准确确定求解方法并进行正确地求解．
17.【答案】解：(1)∵a−b=5，ab=3，
∴(a−b)2=25，即a2+b2−2ab=25，
∴a2+b2
=25+2ab
=25+2×3
=25+6
=31；
(2)原式=(x+1)2x(x+1)⋅xx−1
=x+1x⋅xx−1
=x+1x−1，
当x=−2时，原式=−2+1−2−1=13.
【解析】(1)根据a−b=5得出(a−b)2=25，再把ab=3代入即可得出结论；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：2(x+1)=3(x−2)，
解答：x=8，
检验：把x=8代入得：(x−2)(x+1)≠0，
∴分式方程的解为x=8；
(2)去分母得：(x+1)(x+2)=2+x2+2x，
解答：x=0，
检验：把x=0代入得：x(x+2)=0，
∴x=0是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：选择①③作为条件，③作为结论，组成的命题是真命题，理由如下：
在△ADC和△AEB中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠B=∠C.
【解析】由SAS证明△ADC≌△AEB，即可得到∠B=∠C.
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
20.【答案】解：设该列车提速前的平均速度为xkm/h，该列车提速后的平均速度为(x+80)km/h，
由题意得：100x=100+40x+80，
解得：x=200，
经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+80=200+80=280，
答：该列车提速后的平均速度为280km/h.
【解析】设该列车提速前的平均速度为xkm/h，该列车提速后的平均速度为(x+80)km/h，根据用相同的时间，列车提速前行驶100km，提速后比提速前多行驶40km，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)图形如图所示：
(2)结论：DF平分∠CDA.
理由：∵∠A=∠C=90∘，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∵DF//BE，
∴∠DFC=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE=2∠CFD，
∵∠CFD+∠CDF=90∘，
∴2∠DFC+2∠CDF=180∘，
∴∠ABC+2∠CDF=180∘，
∴∠ADC=2∠CDF，
∴DF平分∠ADC.
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)结论：DF平分∠CDA.想办法证明∠ADC=2∠CDF即可．
本题考查作图-复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)根据题意得：
“丰收1号”小麦的试验田面积为a2−1(m2)，“丰收2号”小麦的试验田面积为(a−1)2(m2)，
(a2−1)−(a−1)2
=a2−1−a2+2a−1
=2a−2
=2(a−1)，
∵a>1，即a−1>0，
∴2(a−1)>0，即(a2−1)−(a−1)2>0，
∴“丰收1号”小麦的试验田面积大，单位面积产量低，
则“丰收2号”小麦的试验田产量高；
(2)根据题意得：a2−1=1.1(a−1)2，
整理得：a2−1=1.1a2−2.2a+1.1，即a2−22a+21=0，
分解因式得：(a−1)(a−21)=0，
所以a−1=0或a−21=0，
解得：a1=1，a2=21，
∵a>1，
∴a=21.
【解析】(1)根据图1和图2分别表示出种植小米的面积，比较大小即可；
(2)根据题意列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
此题考查了分式的混合运算，列代数式，解一元二次方程，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
23.【答案】相等
【解析】(1)证明：相等，理由如下：
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
故答案为：相等；
(2)证明：结论仍成立，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵点D到顶点B，C的距离相等，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC−∠DBC=∠ACB−∠DCB，
即∠EBD=∠FCD，
∵∠BED=∠CFD=90∘，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF；
(3)解：若点D在△ABC内部，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵△DEB和△DFC是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠FCD=45∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠EBD=15∘，∠DCB=∠ACB−∠FCD=15∘，
在△BCD中，
∵∠DBC=∠DCB=15∘，
∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠DCB=150∘；
若点D在△ABC外部，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵△DEB和△DFC是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠FCD=45∘，
∴∠DBC=180∘−∠ABC−∠EBD=75∘，∠DCB=180∘−∠ACB−∠FCD=75∘，
在△BCD中，
∵∠DBC=∠DCB=75∘，
∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠DCB=30∘；
综上所述，∠BDC的度数为150∘或30∘.
(1)证明AD是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论；
(2)由△ABC和△BCD是等腰三角形，证明∠EBD=∠FCD，从而证明△BDE≌△CDF，即可证明结论；
(3)分点D在△ABC内部和点D在△ABC外部两种情况讨论，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果．
本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是理解题意结合分类讨论思想解题．