人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形压轴题考点训练(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形压轴题考点训练(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了如图，在四边形纸片中，，，，等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足．作的内角平分线，过点B作的垂线交于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（ ）
A．B．C．D．1
3．如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，， ．把该纸片沿折叠，若点，的对应点分别为，，的延长线过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
4．如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（ ）．
A．8个B．9个C．10个D．11个
5．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )．
A．3B．4C．D．
6．如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
8．如图，在四边形纸片中，，，，．将纸片先沿对折，再将对折后的纸片沿过顶点A的直线裁剪，剪开后的纸片打开铺平，其中有一个图形是周长为的平行四边形，则________．
9．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
10．在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，，，，线段HG的长为_______．
11．如图，在以点为直角顶点的中，，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，则__________．
12．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
感知：如图①，过点作交于点．求证．
探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．
13．已知：四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且．
(1)如图1，与有怎样的关系，写出你的结果，并加以证明；
(2)如图2，对角线与交于点O，，分别与，交于点G，点H．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
14．和均为等腰三角形．
(1)如图1，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，求证：；
(2)如图2，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，为中DE边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图1中的和，若在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，求的度数．
15．如图1，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，，顶点E、F、G分别在、、上．
(1)求证：；
(2)若P是斜边的中点．
①如图2，连接，请写出线段与、之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，连接，若，则的长等于______．
第十八章 平行四边形压轴题考点训练
1．如图，在四边形中，，是的中点，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，交于点F，取的中点E，连接，，可得是的中位线，是的中位线，利用中位线的性质可得，，，，利用平行线的性质得出，，由已知得出，进而得出，再根据三角形外角的性质得出，从而得到，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接，交于点F，取的中点E，连接，，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是正确添加辅助线，构造三角形中位线．
2．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足．作的内角平分线，过点B作的垂线交于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】过C作，垂足为M，交于D，证明，得出，再连接并延长，交于N，证明四边形是个平行四边形，利用全等三角形得出，利用斜边中线等于斜边一半求出即可．
【详解】解：如图：过C作，垂足为M，交于D，
∵平分，且是边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即长为定值，
连接并延长，交于N，
∵，，
∴，∴，
∵B（，），C（，），
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和斜边中线的性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是恰当构建全等三角形和平行四边形，得出．
3．如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，， ．把该纸片沿折叠，若点，的对应点分别为，，的延长线过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】如图，连接、，设，，推得，，，，，，然后在中利用勾股定理求出，接着在、中利用勾股定理建立等式，解之即可求出答案．
【详解】解：如图，连接、，
由题意知，的延长线过点，
四边形是矩形，则四个角都是直角，
设，，
，，
，，，，
该矩形纸片沿折叠，
，，，，
，
在中有，
，
，解得，
在中有，
，
在中有，
，
，
又，
，解之得，
．故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，正确的画出辅助线是解题的关键．
4．如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（ ）．
A．8个B．9个C．10个D．11个
【答案】B
【分析】作的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形，共有9个点．
【详解】解：如图，作的中垂线，
①分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，
根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形；
②两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形；
∴满足条件的所有点的个数为：；
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
5．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )．
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】过点作于点，过点作，分别与、交于点、点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值．
【详解】解：过点作于点，连接，
四边形是正方形，，，
，
，
四边形是矩形，，
，
，，
设则
，当时，有最小值为．故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，确定点运动的轨迹．
6．如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
7．如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理可以求得和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】取中点，连接，取中点，连接，作交于点，如图所示，
正方形的边长为12，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵中点，点为的中点，
∴， ，，
∴，
∵中点，点为的中点，
，，，
∵，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．如图，在四边形纸片中，，，，．将纸片先沿对折，再将对折后的纸片沿过顶点A的直线裁剪，剪开后的纸片打开铺平，其中有一个图形是周长为的平行四边形，则________．
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，可知，所得的平行四边形是菱形，由菱形的性质和平行四边形的周长，求得相关边长，进而可求得的长．
【详解】如图，当沿从A出发的直线裁剪，四边形是平行四边形，
根据裁剪可知：，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵四边形周长为，
∴，
∵，，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴在中，，∴，
∵，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查，平行四边形的性质和菱形的判定方法与性质以及平行四边形的面积公式，根据题意，画出图形，是解题的关键，主要要分类讨论.
9．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，∴，即，
∴，即的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
10．在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，，，，线段HG的长为_______．
【答案】
【分析】设的长度为，的长度为，则的长度为，利用勾股定理和全等三角形的性质，分别表示出长方形的四条边的长度，利用对边相等列出方程组，求解得到的值，即可求解．
【详解】解：在与中，，
∴≌，
，
设的长度为，的长度为，则的长度为，
，，
，
，
，
，，
，①；，②
将①②联立，可得，
，即线段HG的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、解方程组，注意在解方程组时要灵活求解，求出即可．
11．如图，在以点为直角顶点的中，，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，则__________．
【答案】7
【分析】过点H作于M，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再根据得出，从而得到，，再根据三角形的内角和定理得出，继而得出，然后利用即可
【详解】解：过点H作于M，则
∵，，，
∴，
在，点是边的中点，，
∴
∴，
∵以为底边向上作等腰，
∴
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线得出是解题的关键
12．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
感知：如图①，过点作交于点．求证．
探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．
【答案】感知：见解析；（1）见解析（2）2 应用：9
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
探究：（1）判断出，同感知的方法判新出，即可得出结论；
（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论．
【详解】（1）感知：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．；
探究：（1）如图②，
过点作于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形G是矩形，
∴，
∴，
由，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）由（1）知，，
连接，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
应用：同探究（2）得，，
∴，
同探究（1）得，，
∵，
∴．
故答案为：9
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键．
13．已知：四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且．
(1)如图1，与有怎样的关系，写出你的结果，并加以证明；
(2)如图2，对角线与交于点O，，分别与，交于点G，点H．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
【答案】(1)；；理由见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，由证明，得出，然后求出， 再求出，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，由证明，即可得出；
②过点O作于M，作于N，根据全等三角形的性质可得：，再由证明，可得，然后证出四边形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
【详解】（1）解：，；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中 ，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
由（1）知，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
②解：过点O作于M，作于N，如图所示，
则，
又∵，
∴，
∴四边行是矩形．
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴正方形的边长为：
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．
14．和均为等腰三角形．
(1)如图1，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，求证：；
(2)如图2，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，为中DE边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图1中的和，若在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，求的度数．
【答案】(1)证明见详解；
(2)，证明见详解；
(3)的度数为：或；
【分析】（1）根据和均为等腰三角形，，可得和均为等边三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到证明；
（2）根据和均为等腰三角形，可得，，，根据为中DE边上的高，即可得到，根据三角形全等边角边判定可得，即可得到答案；
（3）由（1）可得和均为等边三角形，，可得，分D在内部与外部两类讨论，结合三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵和均为等腰三角形，，
∴和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
证明：∵和均为等腰三角形，，
∴，，，
∵为中DE边上的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（1）可得，
和均为等边三角形，，
∴，，
① 如图所示当点D在内部时，
∴，∴；
② 如图所示当点D在外部时，
∴，
∴，
∴；
综上所述的度数为：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据旋转性质得到，及分类讨论第（3）问．
15．如图1，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，，顶点E、F、G分别在、、上．
(1)求证：；
(2)若P是斜边的中点．
①如图2，连接，请写出线段与、之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，连接，若，则的长等于______．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②3
【分析】（1）利用余角的性质得到，利用即可证明；
（2）①根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据（1）中全等得到，利用勾股定理得到，等量代换即可得到结果；②连接，，证明，得到，角的性质得到，判断出是等腰直角三角形，结合勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①，理由是：
∵P是斜边的中点，
∴，
∴在等腰直角三角形中，
，即，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②连接，，
∵是等腰直角三角形，P是中点，
∴，即，，
∵，
∴，
在长方形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，余角的性质，直角三角形斜边中线的性质，知识点较多，解题的关键是灵活运用全等三角形得到边的结论以及角的结论．