备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题08 十字模型综合应用（知识解读）

这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题08 十字模型综合应用（知识解读），共30页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题08 十字模型综合应用（知识解读）
【专题说明】
“十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。
【方法技巧】
类型一：【十字架模型】--正方形
第一种情况：过顶点
在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）
所以AE=BF
第二种情况：不过顶点
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH
也可以如下证明
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH
类型二：【十字架模型】--矩形
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；
可证：△ADE∽△BAF 所以
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系
【解答】
可证：△ADN∽△BAM
∴
∴
但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系
可证△EOH∽△GOF
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．
结论：
①△ABE≌△DAF； ②AF＝BE；
请证明【基本模型】中的结论．
求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．
自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？
【典例1-2】模型演变①
如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．
结论：AE＝GF
模型演变②
如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．
结论：EF＝GH
请证明【模型演变②】的结论，
求证：EF＝GH．
自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．
【典例2-1】模型演变③
如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．
结论：△DCE∽△ADB
请证明【模型演变③】的结论．
求证：△DCE∽△ADB．
【典例2-2】模型演变④
如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC 边上，且EF⊥GH．
结论：＝
请证明【模型演变④】的结论．
求证：＝．
【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为 ．
【变式1-2】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝ ，DG＝ ．
【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为 ．
【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．
【变式1-5】【教材背景】
课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．
【拓展延伸】
如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．
【问题解决】
（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；
（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；
（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．
【变式1-6】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．
（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；
（2）求折痕EF的最大值；
（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．
【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．
专题08 十字模型综合应用（知识解读）
【专题说明】
“十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。
【方法技巧】
类型一：【十字架模型】--正方形
第一种情况：过顶点
在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）
所以AE=BF
第二种情况：不过顶点
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH
也可以如下证明
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH
类型二：【十字架模型】--矩形
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；
可证：△ADE∽△BAF 所以
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系
【解答】
可证：△ADN∽△BAM
∴
∴
但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系
可证△EOH∽△GOF
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．
结论：
①△ABE≌△DAF； ②AF＝BE；
请证明【基本模型】中的结论．
求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．
自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？
【解答】基本模型：证明：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴∠ABE+∠BEA＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
②∵△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF＝BE；
自主探究：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
则BE⊥AF．
如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，
∵BE⊥AF，
∴∠AHB＝90°，
点H在以AB为直径的圆上，
∵点E、F分别在AD，DC边上，
∴AF与BE交点的轨迹为．
【典例1-2】模型演变①
如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．
结论：AE＝GF
模型演变②
如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．
结论：EF＝GH
请证明【模型演变②】的结论，
求证：EF＝GH．
自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．
【解答】证明：过点E作EM⊥DC于点M，过点H作HN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EM＝AD＝DC＝HN，
∵EM⊥HN，EF⊥HG，
∴∠MEF＝∠NHG，
在△MEF与△NHG中，
，
∴△MEF≌△NHG（ASA），
∴EF＝GH；
自主探究：解：不成立，
证明：选择[模型演变①]，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到F'G'，
则FG＝F'G'，
由（1）可得：AE⊥FG，
∴F'G'与AE不垂直，
∴若条件与结论互换，结论不成立．
【典例2-1】模型演变③
如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．
结论：△DCE∽△ADB
请证明【模型演变③】的结论．
求证：△DCE∽△ADB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠CDO＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCE+∠CDO＝90°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△DCE∽△ADB．
【典例2-2】模型演变④
如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC 边上，且EF⊥GH．
结论：＝
请证明【模型演变④】的结论．
求证：＝．
【解答】证明：如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，
∴∠GMH＝∠ENF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥GH，
∴∠BGH+∠BFE＝180°，∠BGH+∠GHM＝90°，
∴∠BFE＝∠GHM，
∴△EFN∽△GHM，
∴＝＝．
【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为 ．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴∠ABC＝90°＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝4，
∵BE＝3，DF＝1，
∴BE＝CF＝3，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠BFC+∠FBC＝90°，
∴∠AEB+∠FBC＝90°，
∴∠BOE＝90°，
∴BO⊥AE，
∴2S△ABE＝AB•BE＝AE•OB，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∴OB＝＝，
故答案为：．
【变式1-2】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝ ，DG＝ ．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形ABCD的边长为4，
设CF＝x，则BF＝4﹣x，BE＝4+x，
∵S△BEF＝6，
∴（4﹣x）（4+x）＝6，
∴x＝±2（负值舍去），
∴CF＝2＝AE，
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，BE＝AB+AE＝4+2＝6，
∴EF＝＝＝2，
∵DG⊥EF，
∴∠AGD＝90°﹣∠E＝∠BFE，
又∠B＝90°＝∠DAG，
∴△EBF∽△DAG，
∴＝，即＝，
解得DG＝，
故答案为：2．
【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为 ．
【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，
在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，
∴DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，
设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
AF2+AE2＝EF2，
即1+（3﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即BE＝，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
CE＝
＝
＝，
故答案为：．
【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．
【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P，
则四边形ABHG是矩形，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADG+∠CDH＝90°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝∠HDC，
又∵∠G＝∠H，
∴△ADG∽△DCH，
∴，
∴设CH＝x，则DG＝2x，
∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，
∴5+x＝2（10﹣2x），
解得x＝3，
∴BH＝8，
∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，
∴△ABM∽△DPN，
∴．
【变式1-5】【教材背景】
课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．
【拓展延伸】
如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．
【问题解决】
（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；
（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；
（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．
【解答】【教材背景】证明：如图1中，∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF；
【问题解决】（1）证明：如图②中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠AED，
∵DO＝DE，
∴∠DOE＝∠DEO，
∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BAO＝∠AOB，
∴BA＝BO，
∵BF⊥AE，
∴AG＝OG，
在△BAG和△BOG中，
，
∴△ABG≌△OBG（SSS）；
（2）解：如图②中，过点E作EH⊥AB于点H．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∵∠ABF+∠BAG＝90°，∠DAE+∠BAG＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵BA＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE＝6，
∵AE⊥BF，
∴S四边形AFEB＝•AE•BF＝×6×6＝18；
（3）证明：过点C作CT⊥BG交AB于点T，连接GT．
∵CG＝CB，BT⊥BG，
∴CT垂直平分线段BG，
∴TB＝TG，
∴∠TBG＝∠TGB，
∵∠TBG+∠BAG＝90°，∠AGT+∠TGB＝90°，
∴∠TAG＝∠TGA，
∴TA＝TG，
∴AT＝TB，
∵AE⊥BF，CT⊥BF，
∴AE∥CT，
∵AT∥CE，
∴四边形ATCE是平行四边形，
∴AT＝CE，
∵AB＝CD＝2AT，
∴CD＝2CE，
∴DE＝EC．
【变式1-6】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．
（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；
（2）求折痕EF的最大值；
（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．
【解答】解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：
由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′，
∴BE＝B′E，BF＝B′F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠BFE，
∴∠B′EF＝∠B′FE，
∴B′E＝B′F，
∴BE＝B′E＝B′F＝BF，
∴四边形BEB′F是菱形；
（2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示：
则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形，
∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6，
由折叠的性质得：EF⊥BB′，
∴∠BOF＝90°，
∴∠EFG+∠B′BF＝90°，
∴∠GEF＝∠B′BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∴∠C＝∠EGF，
∴△EGF∽△BCB′，
∴＝＝＝，
∴EF＝BB′，
∴当BB′取最大值，EF取得最大值，
此时，点B′与点D重合，
连接BD，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，
∴EF最大＝BD＝×10＝；
（3）连接BE、B′E，如图③所示：
由折叠的性质得：EF垂直平分BB′，
∴BF＝B′F，BE＝B′E，
∵四边形EMCD是正方形，
∴EM＝MC＝CD＝ED＝6，
∴AE＝BM＝8﹣6＝2，
在Rt△EMB和Rt△EDB′中，
，
∴Rt△EMB≌Rt△EDB′（HL），
∴DB′＝BM＝2，
∴CB′＝CD﹣DB′＝6﹣2＝4，
设CF＝x，
则BF＝B′F＝8﹣x，
在Rt△CB′F中，由勾股定理得：CF2+CB′2＝B′F2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴CF的长为3．
【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴＝；
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
当∠B+∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴＝，
∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
∵在△BAD和△BCD中，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝x，
在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣2，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（x）2＝22，
x＝0（舍去），x＝，
CN＝，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠AFG+∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴＝＝＝．