专题08 十字模型综合应用（专项训练）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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   专题08  十字架模型综合应用（专项训练）1．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据题意，AE＝BF，AD＝AB，∠EAD＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BAF．∴∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠BFA．∵∠DAO+∠FAB＝90°，∠FAB+∠BFA＝90°，∴∠DAO＝∠BFA，∴∠DAO＝∠AED．∴△AOD∽△EAD．所以＝＝．故选：D． 2．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为（　　）A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对【答案】B【解答】解：解法一：若MN＝EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．如图，∵EF＝MN，MH＝EG，∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），∴∠EFG＝∠MNH，又∵∠EFG＝∠ELM，∴∠NMH+∠MNH＝∠NMH+∠EFG＝∠NMH+∠ELM＝90°，∴∠MOL＝90°，即MN⊥EF，但EF不仅仅是这一种情况，如将第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的EF′就是反例，此时有MN＝EF′，但是MN与EF′肯定不垂直，因此小明的观点是错误的； 解法二：若MN⊥EF，则MN＝EF这句话是对的；分别把MN和EF平移，如图，∠AMN＝∠AGD＝∠BFE＝∠DHC，MN＝GD＝AD÷sin∠AGD，EF＝HC＝CD÷sin∠DHC，因此MN＝EF．故选：B．3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，而CE＝DF，∴AF＝DE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，所以（1）正确；∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连接BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：B．4．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝　  　．【答案】【解答】解：∵AD＝AB，AE＝BF，∠DAE＝∠B＝90°；∴△ADE≌△BAF（SAS）；∴∠ADE＝∠OAE；又∵∠OEA＝∠AED，∴△OAE∽△ADE；∴． 5．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有 　     ．【答案】①③④　【解答】解：过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC，∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴BF＝BC，CG＝CD，∴BF＝CG，∴△ABF≌△BCG（SAS），∴∠AFB＝∠CGB，∵∠CGB+∠CBG＝90°，∴∠AFB+∠CBG＝90°，∴∠BNF＝180°﹣（∠AFB+∠CBG）＝90°，∴AF⊥BG，故①正确；在Rt△ABF中，tan∠AFB＝＝＝，∴在Rt△BNF中，tan∠AFB＝＝，∴BN＝NF，故②不正确；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF＝S△BCG，∴S△ABF﹣S△BNF＝S△BCG﹣S△BNF，∴S四边形CGNF＝S△ABN，故③正确；∵∠DAB＝∠D＝∠AHG＝90°，∴四边形ADGH是矩形，∴AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH，∴GH∥BC，设DG＝AH＝a，∴CD＝3DG＝3a，∴AB＝AD＝BC＝3a，∴BE＝BC＝a，∵∠AHO＝∠ABE＝90°，∠HAO＝∠BAE，∴△AHO∽△ABE，∴＝，∴＝，∴OH＝a，∴GO＝GH﹣OH＝3a﹣a＝a，∵GH∥BC，∴∠OGM＝∠GBE，∠GOM＝∠OEB，∴△GOM∽△BEM，∴＝＝＝，∴，故④正确，所以，正确结论的序号有：①③④，故答案为：①③④．6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　   　．【答案】4或2【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴CF+BF＝4．∵CE+CF＝4，∴CE＝BF．在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴∠AFB＝∠BEC．∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠BEC．∴∠ABG＝∠AFB．∵∠ABG+∠FBG＝90°，∴∠AFB+∠FBG＝90°．∴BG⊥AF．∴∠AGB＝90°．∵△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍，∴∠ABG＝45°或60°．∴∠GBF＝45°或30°．过点G作GH⊥BC于点H，如图，当∠GBF＝45°时，点F与点C重合，∴GH＝，∴△BCG的面积＝×BC×GH＝4．当∠GBF＝30°时，∵BG＝AB＝2，∴GH＝BG＝1．∴△BCG的面积＝×BC×GH＝2．综上，△BCG的面积为4或2．故答案为：4或2．7．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DQ＝CP，∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，∴AQ＝DP，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴∠DAP＝∠ABQ，∵∠DAP+∠BAP＝90°，∴∠ABQ+BAP＝90°，∴BQ⊥AP．8．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．（1）求证：EF＝ME+FN；（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝　  ，最大值＝　  　．【解答】解：（1）AP＝MN，理由如下：如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形，∵BH＝AP，∴MN＝AP（2）如图2，连接FA，FP，FC∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN（3）由（2）有，EF＝ME+FN，∵MN＝EF+ME+NF，∴EF＝MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD＝2，当点P和点B重合时，EF最小＝MN＝AB＝1，当点P和C重合时，EF最大＝MN＝BD＝，故答案为1，9．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠BAE+∠OBA＝90°，又∵∠FBC+∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4；10．综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠BCE＝90°，∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠CEB＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）， （2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠BCE＝90°，∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠CEB＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，∴△ABF≌△BCE（ASA），∴BE＝AF，∴BE＝AF＝AB＝AD，∴AF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠H，在△ABF和△DHF中，，∴△ABF≌△DHF（AAS）∴AB＝DH，∴DH＝CD，又∵BF⊥CE，∴∠BGH＝90°，∴DC＝DH＝DG．（3）解：AG存在最小值．如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴点G在以BC为直径的⊙O上，在△AGO中，AG≥AO﹣GO，∴当点G在AO上时，AG有最小值，此时：如图4，∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，∴BO＝2＝CO，∵AO＝＝＝2，∴AG＝2﹣2，∵OG＝OB，∴∠OBG＝∠OGB，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠OBG，∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，∴AG＝AF＝2﹣2，由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．11．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（　　）A． B． C． D．4【答案】C【解答】解：过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形AGFE是平行四边形，∴AG＝EF，∵EF⊥BD，∴AG⊥BD，∴∠AHB＝90°，∴∠HAB+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠DBC＝90°，∴∠HAB＝∠DBC，∴△ABG∽△BCD，∴＝，∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴BD＝＝＝5，∴＝，∴AG＝，∴EF＝AG＝，故选：C．