备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）

这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读），共19页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】
等腰三角形的存在性问题
【方法1 几何法】“两圆一线”
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有重合的情况，则需排除．
以点 C1 为例，具体求点坐标：
过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，
又
类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法．
【方法2 代数法】点-线-方程
表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示线段：

联立方程：，，
总结：
【典例分析】
【考点1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线及直线BC的表达式；
（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】
等腰三角形的存在性问题
【方法1 几何法】“两圆一线”
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有重合的情况，则需排除．
以点 C1 为例，具体求点坐标：
过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，
又
类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法．
【方法2 代数法】点-线-方程
表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示线段：

联立方程：，，
总结：
【典例分析】
【考点1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝， （2） m＝时，△ADE的面积取得最大值为 （3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得，
所以二次函数的解析式为：y＝，
（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，
当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，
解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；
当PA2＝AE2时，9+n2＝20，
解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，
解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述，
P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线及直线BC的表达式；
（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴B（3，0），
设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，
∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，
∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，
当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，
解得：m＝0（舍去）或m＝2，
∴Q（2，1）；
当AC＝CQ时，10＝2m2，
解得：m＝﹣（舍去）或m＝，
∴Q（，3﹣）；
当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，
解得：m＝，
∴Q（，）；
综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．
【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，
∴B点平移对应点M（4﹣2m，m），C的对应点N（﹣2m，2+m），
∴AM＝，AN＝，MN＝2，
①当MN＝AM时，＝2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；
②当MN＝AN时，＝2，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴M（4﹣2，）；
综上所述：M点坐标为（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．
【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝
②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P（2，﹣3）．
当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，
解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），
n2﹣2n﹣3＝2﹣4，
P（3﹣，2﹣4）．
综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
解法二：当PM＝PC时，
∵BC：y＝x﹣3
∴∠ABC＝45°
∵PH⊥AB
∴∠BMH＝∠CMP＝45°
∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴
设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝n
MP＝﹣n2+3n
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝0（舍去）或n＝2，
∴P（2，﹣3）
当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），
则＝﹣n2+3n
＝﹣n2+3n
∵n＞0
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝3﹣
∴P（3﹣，2﹣4）
综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）
【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；
如图2，当P点在M点下方时，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．
【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；
②存在，理由：
PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；
PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；
MC2＝（x﹣3+3）2+x2；
（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，
解得：x＝0或2（舍去0），
故x＝2，故点P（2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，
解得：x＝0或3±（舍去0和3+），
故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，
故点P（3﹣，2﹣4）．
综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．