专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题03  二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。 同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）              方法二： 铅锤法（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高（5）   方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．      如图1              如图2              如图3 【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），设点P（m，m2﹣3m﹣4），则，，∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，∴S△BCE＝S△BPE，∴，解得：m1＝3，m2＝0（舍去），∴P（3，﹣4）；方法二：∵S1＝S2，∴S△PBE＝S△CBE，∴PC∥x轴，∴点P与C关于对称轴x＝对称，∴P（3，﹣4）；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴AB的解析式为：y＝2x+4，设直线DE的解析式为：y＝mx，∴2x+4＝mx，∴x＝，当x＝3时，y＝3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴•3•（﹣3m）＝•4•，∴9m2﹣18m﹣16＝0，∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，∴m1＝﹣，m2＝（舍），∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）； （3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，则BE：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，联立方程组或，解得：x＝6或﹣，故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，函数的对称轴为：x＝1；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，则BE：AE＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）． 【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6  （2）P（，）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，∴C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；