专题77电磁感应中的电路问题和动力学问题

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1．电磁感应中的电源与路端电压
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路产生感应电动势相当于电源．
(2)用右手定则或楞次定律判断感应电流的方向，在电源内部电流由负极流向正极，所以感应电流流出的一端为电源正极．
(3)电源两端的电压是路端电压．
2.电磁感应中的电路问题和动力学问题联系的桥梁是感应电流I
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10Ω的电阻。一阻值R＝10Ω的导体棒ab以速度v＝4m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1V
C．de两端的电压为1V D．fe两端的电压为3V
【答案】B
【解析】A．由右手定则可知ab中电流方向为a→b，故A错误；
BCD．导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势 E=Blv
ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de、cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即 U=E2R⋅R=BLv2=1V
故B正确，CD错误。
故选B。
2．（2022·重庆·模拟预测）如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂直于纸面向里，其磁感应强度大小为B=2T。宽度为L=0.8m的两导轨间接一阻值为R=0.2Ω电阻，电阻为2R的金属棒AC长为2L并垂直于导轨（导轨电阻不计）放置，A端刚好位于导轨，中点D与另一导轨接触。当金属棒以速度v=0.5m/s向左匀速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流为2AB．A、D两点的电势差为UAD=0.4V
C．A、C两点的电势差为UAC=−1.6VD．A、C两点的电势差为UAC=−1.2V
【答案】AD
【详解】AB．金属棒AD段产生的感应电动势为 EAD=BLv=2×0.8×0.5=0.8V
流过电阻R的电流 I=ER+R=
根据右手定则，可知，A 端的电势低于D端的电势，A、D两点的电势差 UAD=−IR=−0.4V
B错误A正确；
CD．D、C两点的电势差 UDC=−BLv=−0.8V
则 UAC=UAD+UDC=−1.2V C错误D正确。
故选AD。
3．如图所示，电阻均匀分布的金属正方形线框的边长为L，正方形线框的一半放在垂直于线框平面向里的匀强磁场中，其中A、B为上下两边的中点．在磁场以变化率k均匀减弱的过程中（ ）
A．线框产生的感应电动势大小为kL2 B．AB两点之间的电势差大小为kL22
C．AB两点之间的电势差大小为kL24 D．线框中的感应电流方向沿ADBCA
【答案】C
【解析】A：由法拉第电磁感应定律得：E=ΔBΔtS=k⋅12L2=12kL2．故A项错误．
BC：设整个电路的电阻为R，则AB两点之间的电势差大小U=ER⋅12R=14kL2．故B项错误，C项正确．
D：磁场以变化率k均匀减弱，据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，则感应电流方向沿顺时针，沿ACBDA．故D项错误．
【点睛】运用法拉第电磁感应定律时要注意S是有效面积，不是线圈的总面积．要注意AB间的电压是电源的外电压，即右侧线圈的电压，不是内电压．
4．(多选) 如图甲所示，等边三角形金属框ACD的边长均为L，单位长度的电阻为r，E为CD边的中点，三角形ADE所在区域内有磁感应强度垂直纸面向外，大小随时间变化的匀强磁场，图乙是匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像。下列说法正确的是（ ）
A．0~5t0时间内的感应电动势小于5t0∼8t0时间内的感应电动势
B．6t0时刻，金属框内感应电流方向为A→D→C→A
C．0~5t0时间内，E、A两点的电势差为3B0L240t0
D．4t0时刻，金属框受到的安培力大小为B02L2100rt0
【答案】AD
【解析】A．0∼5t0时间内磁感应强度的变化率小于5t0∼8t0时间内磁感应强度的变化率，而金属框中磁感线穿过的有效面积不变，所以0∼5t0时间内磁通量的变化率小于5t0∼8t0时间内磁通量的变化率，根据法拉第电磁感应定律可知0∼5t0时间内的感应电动势小于5t0∼8t0时间内的感应电动势，故A正确；
B．6t0时刻，金属框中磁通量垂直纸面向外减小，根据楞次定律可知此时金属框内感应电流方向为A→C→D→A，故B错误；
C．0~5t0时间内，金属框中感应电动势大小为 E=ΔΦΔt=SΔBΔt=3B0L240t0
根据楞次定律可知这段时间内感应电流沿顺时针方向，所以E点电势高于A点电势，又因为ACE段与ADE段长度相等，则电阻相等，所以E、A两点的电势差为 UEA=E2=3B0L280t0 故C错误；
D．4t0时刻，磁场的磁感应强度大小为 B=45B0
此时金属框中感应电流大小为 I=E3rL=3B0L120t0r
根据几何关系可知线框受到安培力的等效长度为 l=32L
所以此时金属框受到的安培力大小为 F=BIl=B02L2100rt0 故D正确。
故选AD。
5.如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈总电阻为r，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值分别为r和2r.下列说法正确的是( )
A．电容器所带电荷量为eq \f(2nSkC,5) B．电容器所带电荷量为eq \f(3nSkC,5)
C．电容器下极板带正电 D．电容器上极板带正电
【答案】D
【解析】闭合线圈与阻值为r的电阻形成闭合回路，线圈相当于电源，电容器两极板间的电压等于路端电压；线圈产生的感应电动势为E＝nSeq \f(ΔB,Δt)＝nSk，路端电压U＝eq \f(E,2)＝eq \f(nSk,2)，电容器所带电荷量为Q＝CU＝eq \f(nSkC,2)，选项A、B错误；根据楞次定律，感应电流从线圈的右端流到左端，线圈的左端电势高，电容器上极板带正电，故D正确。
6.如图所示，竖直平面内有一金属环，其半径为a，总电阻为2r(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为r的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则此时AB两端的电压大小为( )
A.eq \f(1,3)Bav B.eq \f(1,6)Bav C.eq \f(2,3)Bav D．Bav
【答案】A
【解析】转动导体棒到竖直位置时切割磁感线产生的感应电动势E＝B·2a·eq \x\t(v)，而eq \x\t(v)＝eq \f(vA＋vB,2)，得E＝B·2a·eq \f(0＋v,2)＝Bav.外电路的总电阻R＝eq \f(r·r,r＋r)＝eq \f(r,2)，根据闭合电路欧姆定律I＝eq \f(E,R＋r)，得总电流I＝eq \f(2Bav,3r).AB两端的电压大小U＝IR＝eq \f(2Bav,3r)·eq \f(r,2)＝eq \f(1,3)Bav. A正确
7．（2021·全国）(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】AB
【解析】 设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，则线圈下边刚进入磁场时，有
感应电动势为
两线圈材料相等（设密度为），质量相同（设为），则
设材料的电阻率为，则线圈电阻
感应电流为
安培力为
由牛顿第二定律有
联立解得
加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度。当时，甲和乙都加速运动，当时，甲和乙都减速运动，当时都匀速。
故选AB。
8．(多选)如图所示，竖直平面内有一相距l的两根足够长的金属导轨位于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的均匀金属导体棒ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，且导体棒ab与金属导轨接触良好，ab电阻为R，其它电阻不计。导体棒ab由静止开始下落，过一段时间后闭合电键S，发现导体棒ab仍作变速运动，则在闭合电键S以后，下列说法中正确的有（ ）
A．导体棒ab变速运动过程中加速度一定减小
B．导体棒ab变速运动过程中加速度一定增大
C．导体棒ab最后作匀速运动时，速度大小为v=mgRB2l2
D．若将导轨间的距离减为原来的12，则导体棒ab作匀速运动时的速度大小为v=4mgRB2l2
【答案】AC
【解析】AB．若导体棒加速，重力大于安培力，根据牛顿第二定律，有 mg−B2L2vR=ma
速度不断加大，故加速度不断减小；若棒减速，重力小于安培力，根据牛顿第二定律，
有 B2L2vR−mg=ma
速度不断减小，加速度也不断减小。故A正确，B错误；
C．由于导体棒的加速度不断减小，最后加速度减至零时变为匀速运动，根据平衡条件，重力和安培力平衡，有 B2L2vR−mg=0
解得 v=mgRB2l2 故C确；
D．若将导轨间的距离减为原来的12，根据平衡条件，重力和安培力平衡，有 B2(L2)2vR2−mg=0
解得v=2mgRB2l2 故D错误。
故选AC。
9．(多选)如图所示，ACD，EFG为两根相距L的足够长的金属直角导轨，它们被竖直固定在绝缘水平面上，CDGF面与水平面成θ角．两导轨所在空间存在垂直于CDGF平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.两根质量均为m，长度均为L的金属细杆ab，cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，两金属细杆的电阻均为R，导轨电阻不计．当ab以速度v1沿导轨向下匀速运动时，cd杆也正好以速度v2向下匀速运动．重力加速度为g.以下说法正确的是( )
A．回路中的电流强度为BLv1+v22R B．ab杆所受摩擦力为mgsinθ
C．cd杆所受摩擦力为μ(mgsinθ＋B2L2v12R) D．μ与v1大小的关系为μ(mgsinθ＋B2L2v12R)＝mgcsθ
【答案】CD
【解析】A项：ab杆产生的感应电动势E＝BLv1；回路中感应电流为I=E2R=BLv12R ，故A错误；
B项：ab杆匀速下滑，F安=BIL=B2L2v12R，方向沿轨道向上，则由平衡条件得：ab杆所受的摩擦力大小为Ff=mgsinθ−F安=mgsinθ−B2L2v12R，故B错误；
C项：cd杆所受的安培力大小也等于F安，方向垂直于导轨向下，则cd杆所受摩擦力为：f=μN=μ(mgsinθ+B2L2v12R)，故C正确；
D项：根据cd杆受力平衡得：μ(mgsinθ+B2L2v12R)=mgcsθ，故D正确．
点晴：对于双杆问题，可采用隔离法分析，其分析方法与单杆相同，关键分析和计算安培力，再由平衡条件列方程解答．
10．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示，间距L=1m、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值R=1Ω的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积S=0.5m2的圆形区域内存在垂直于导轨所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为B=6tT，在其右侧（含边界MN）存在磁感应强度大小B0=1T、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。t=0时，某金属棒从MN处以v0=8ms的初速度开始水平向右运动，已知金属棒质量m=1kg，与导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，导轨、金属棒电阻不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度g=10ms2，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，闭合回路中有大小为5A的顺时针方向的电流
B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流
C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向先向左再向右
D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动
【答案】ACD
【解析】A．t=0时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 E1=B0Lv0=8V
MN左侧变化的磁场使回路产生的电动势为 E2=ΔBΔtS=3V
由楞次定律和右手定则知两电动势反向，由于E1>E2，可知金属棒中的电流方向由M→N，闭合回路中有顺时针方向的电流 I=E1−E2R=5A 选项A正确；
BCD．金属棒受到向左的安培力和摩擦力，向右减速，当 B0Lv1=E2
时，电流为零，但金属棒仍受到向左的摩擦力，继续减速，此后当 B0Lv