专题12 二次函数与字母参数的关系- 2024年中考数学压轴专题重难点突破

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1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则应满足的条件是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＜0，c＜0D．a＞0，b＞0，c＜0
【答案】D
【解题过程】试题解析：根据开口向上可判断a＞0，对称轴在y轴左侧可判断b＞0，与y轴交于负半轴可判断c＜0，
故选D．
2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
【答案】B
【解题过程】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0，
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，所以b＜0，
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选B．
【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号是解题的关键．
3．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若和均在该函数图象上，且，则
【答案】B
【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【解题过程】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个坐标为，
把代入，可得：
，
解得，
，故C错误；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故A错误；
，
，
，
又，
，
即，故B正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故D错误，故选：B
【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
4．已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④（其中，为任意实数）；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】由图像可知，，，根据对称轴在抛物线的右侧可得,即可得；根据对称轴为得，即可得；当时，即当时，，即可得，即可判断；当时，y有最大值：，所以当时，，即，进行计算即可得；当时，，，即，即可得，综上，即可得．
【解题过程】解：由图像可知，，，
∵对称轴在抛物线的右侧，
∴,
即，
故结论①正确；
∵对称轴为，
∴
即，
故结论②正确；
∵当时，
∴，
∴当时，，
即，
故结论③正确；
∵当时，y有最大值：，
∴当时，，
即，
，
故结论④正确；
当时，，
∴，
即，
∴，
故结论⑤正确；
综上，①②③④⑤正确，正确的个数为5个，
故选：D．
【我思故我在】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
5．如图，抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】由抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,即可得到2a+b=0，则可对③进行判断；由抛物线的位置可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解题过程】解：由图象可知：
抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程的两个根是，，故②正确；
故，即，故①正确；
∵x=-=1，即b=-2a，
∴2a+b=0，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴-＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，故⑤正确．
综上，①②③⑤共4个正确．
故选：C．
【我思故我在】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=0时，抛物线与x轴有1个交点；＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【解题过程】解：根据抛物线的开口朝下可知：，
根据对称轴是1：，得到：，，
与y轴交于正半轴：，
与x轴有两个交点：，
顶点坐标：（1,3），有两个相等的实数根．
综上：，，，有两个相等的实数根．
正确的是：①②④，共3个．
故选：C．
【我思故我在】本题考查二次函数图像和系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用数形结合的思想可以快速的解决此类问题．
7．如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C．则以下结论：
①；
②；
③；
④当时，y随x的增大而减少；
⑤若方程没有实数根，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向与y轴的交点可判断①；利用抛物线的对称轴直线对称轴判断②；利用抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，可得到抛物线的最小值，进而可判断结论③；利用抛物线的增减性可判断④；利用一元二次方程的判别式结合即可求解⑤．
【解题过程】对于①：二次函数开口向上，故a＞0，与y轴的交点在y的负半轴，故c＜0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（−2，0）、B（4，0），由对称性可知，其对称轴为：，又对称轴直线为，所以，所以因此，故②正确；
对于③：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，，
∴，
则
∴因此③正确；
对于④：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减少，
则有当时，y随x的增大而减少，故④正确；
对于⑤：∵若方程没有实数根，
∴＜0，
解得，故⑤正确；
∴正确的有②③④⑤，
故选：C．
【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1；⑥．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象，逐一进行判定即可．
【解题过程】解：由图象可知：
开口朝上：；
对称轴为：，
∴，；
与轴交于负半轴：；
与轴有两个交点：；
与轴交于，故：；根据对称性：与轴的另一个交点为：；
综上：，①正确；
，②错误；
，③正确；
，④错误；
方程的两个根是和1，⑤正确；
，，故：，⑥错误；
综上分析可知，正确的有3个，故A正确．
故选：A．
【我思故我在】本题考查二次函数的图象和二次函数系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，从图象中挖掘有效信息是解题的关键．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【答案】A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，）和点（，）离对称轴的远近对④进行判断．
【解题过程】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，）离对称轴要比点（，）离对称轴要远，
∴，所以④错误．
故选：A．
【我思故我在】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数( a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置∶当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab