四川省阆中中学2023届高三第五次检测（二模）数学（理）试题（Word版附解析）

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（满分：150分 时间：120分钟 ）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是正确的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远以上成绩为及格，以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ）
A. B. C. D.
3. 设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 在区间内随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．则这个几何体的侧面积与体积分别为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则是直线与直线平行的（ ）条件
A. 充要B. 必要不充分C. 充分不必要D. 既不充分也不必要
7. 如图四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A. 的最小值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
9. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 在单调递增
B. 直线是曲线的一条对称轴
C. 直线是曲线的一条切线
D. 在有两个极值点
11. ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
12. 定义在R上的偶函数满足，且当]时，
，若关于x方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）
13. 已知为单位向量，且满足，则______.
14. 在的展开式中，各项系数之和为64，则常数项为__________.
15. 不等式组，表示的平面区域为M，一圆面可将区域M完全覆盖，则该圆面半径最小时圆的标准方程为_____.
16. 已知，若存在，使得，则的取值范围为___________.
三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分
17. 已知是正项数列的前项和，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）当时，，求数列的前项和.
18. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；
（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
19. 如图，平面是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20. 已知椭圆上顶点与右焦点分别为为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，若，求的值．
21. 已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，若多做则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，圆圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.
23. 已知，，且．
（1）证明：；
（2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围．