2023届四川省阆中中学校高三第五次检测（二模）数学（文）试题含解析

2023届四川省阆中中学校高三第五次检测（二模）数学（文）试题

一、单选题

1．集合，则=

A．{1,2} B．{0,1,2} C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}

【答案】B

【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果.

【详解】因为，

所以两集合的公共元素为0,1,2，

={0,1,2}，

故选：B.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数运算性质计算即可

【详解】

故选：C

3．下列函数中，在上是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对AB：直接判断其单调性；

对C：把 化为，判断其单调性；

对D：利用判断的单调性.

【详解】本题考查函数的单调性.

A项中，函数在上单调递减，故A错误；

B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；

C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；

D项中，函数在上单调递减，故D错误.

故选：C

【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.

4．“ ”是“函数为偶函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分必有条件的定义求解.

【详解】若 ，则 ，是偶函数；

若 是偶函数，对于任意的x，有 ，即 ，

，  ，不能推出 ，

所以“ ”是“是偶函数 ”的充分不必有条件；

故选：A.

5．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，

“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，

所以．

故选：B．

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．

6．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（    ）

A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79

C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值

【答案】D

【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.

【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，

由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；

对于乙班物理成绩的频率分布直方图，

前三个矩形的面积之和为 ，

故乙班成绩的75百分位数为80，B错误；

由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，

故甲班的中位数为79，C错误；

甲班平均数为，

乙班平均数估计值为，

即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，

故选：D

7．双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l，则点A到直线l的距离为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得双曲线的a，b，c，求得A，F的坐标和渐近线方程，设出过F于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值．

【详解】由双曲线得：，，，

可得，，

双曲线的渐近线方程为，

可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为，

即，

则A到直线l的距离为．

故选B．

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．

8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先有图象结合三角函数的性质得出解析式，再根据图象变换得解析式，继而可得答案.

【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，

故，

左移个单位长度得，

故.

故选：C

9．如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（    ）

A． B．

C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．

【详解】若点与重合，点与点重合，

则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，

所以错误，A错误；

当与重合时，由可得，

当与不重合时，

因为，平面，平面，

所以平面，平面，

平面平面，

所以，又，

所以，B正确；

当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误；

当与重合时，平面与平面相交，D错误.

故选；B.

10．若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.

【详解】如下图所示：

直线的斜率为，倾斜角为，故，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

易知直线交轴于点，所以，，

由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，

由圆的几何性质可知，且，则，

故.

故选：A.

11．已知，且，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得，

结合求出的值，再根据正切的二倍角公式即可.

【详解】，

故，

又因为，且．

故，或，，则或，

故，

故选：D．

12．定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（     ）

A． B． C．2 D．0

【答案】B

【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.

【详解】因为函数满足，所以关于对称，

即①.

又因为为奇函数，所以，

即②.

由①②知，

所以，

即，所以函数的周期为，

所以，

,

因为时，，

所以，

又为奇函数，所以当时，，

所以，

故选：B.

二、填空题

13．已知满足：，，，__________．

【答案】

【分析】两边平方，结合，，得到，从而得到，求出.

【详解】，

因为，，所以，解得：，

可得，

所以.

故答案为：．

14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.

【答案】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，

设抛物线的标准方程为，则，解得.

故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

故答案为：

15．如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.

【答案】

【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.

【详解】

设外接球半径为R，

则，解得，

所以外接球表面积为，

故答案为：.

16．如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.

【答案】/

【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；

【详解】在中，，

由余弦定理得

，

所以.

由正弦定理得，

.即.

又因为平分，所以.

故答案为：

三、解答题

17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

【答案】（1） （2）

【详解】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:(分钟).

（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

.是互斥事件，.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得

一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

18．已知数列的前n项之积为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，有，由等差数列的定义和通项公式可得；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可求解.

【详解】（1）由题意得，，．

所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，

则．

当时，由，得，则，对也成立，

故．

（2）由（1）可知，，

，

所以数列的前n项和为

.

19．如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.

(1)证明：图2中的平面；

(2)在图2中，若，求该几何体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.

（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.

【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，且平面，所以平面，

同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，

因为平面，且，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面.

（2）解：若，

因为，，则，故，

所以两两垂直，

连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，

则，

因为平面平面，故，

所以该几何体的体积为.

20．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．

试题解析：（Ⅰ）因为，，故，

所以，故.

又圆的标准方程为，从而，所以.

由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：

（）.

（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.

由得.

则，.

所以.

过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以

.故四边形的面积

.

可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.

当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.

综上，四边形面积的取值范围为.

【解析】圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

21．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求实数的范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由题可得 后分四种情况在条件下解不等式可得单调性；

（2）方法1，，由（1）可注意到当时，，当时，，据此可得答案；方法2，，后构造，利用导数知识求出其最小值，可得答案.

【详解】（1）的定义域为，

当，即时，由，得，由，得，

所以在上是增函数，在上是减函数；

当，即时，由，得或，由，得，

所以在和上是增函数，在上是减函数，

当，即时，恒成立，所以在上是增函数；

当，即时，由，得或，由，得，

在和上是增函数，在上是减函数

（2）（方法一）由（1）知，当时，，

要使恒成立，只需，即，可得.

当时，注意到，不符合题意，故，即实数的取值范围为.

（方法二）由，可得.构造函数，，易知，

所以.令，则.

令，则，

由，得，由，得，

易知在上是减函数，在上是增函数，所以，

所以当时，，当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，，

由，得，故实数的取值范围为.

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若，是曲线C上的两个动点，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先将参数方程转化为普通方程，再根据普通方程转化为极坐标方程的方法即可得到答案；

（2）根据题意设，，得到的表达式并化简，再根据三角函数的性质求出取值范围.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，

又，所以曲线的普通方程为，

又，所以，

所以，即曲线的极坐标方程为.

（2）由，设，，

则，

，

所以当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

所以的取值范围为.

23．设满足不等式成立实数的最大值为.

(1)求的值；

(2)设，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式，进而可得结果；

（2）由（1）可得，结合基本不等式分析证明.

【详解】（1）当时，，所以；

当时，，

解得，所以；

当时，，故，

综上所述：不等式的解集为，故.

（2）由（1）可得，

∵，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

由于，

，

当且仅当时，即等号成立，

所以，

故.