浙江省武义第一中学2023-2024学年高二上学期9月检测数学试题

这是一份浙江省武义第一中学2023-2024学年高二上学期9月检测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 已知平面平面，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数z满足，i为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为( )
A. B. 10C. 20D.
5. 木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，则该木楔子的体积为( )
A. B. C. D.
6. 在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是( )
A. 中位数，平均分，方差均不变 B. 中位数，平均分，方差均变小
C. 中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D. 中位数，平均分，方差都发生改变
7. 圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
8. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点P构成的平面图形的周长是
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
B. 若A，B是互斥事件，则
C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
10. 过点作直线l，使得直线l和连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角可能是( )
A. B. C. D.
11. 已知向量，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量
D. 在上的投影向量为
12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，在翻折到的过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某一翻折位置，使得
B. 当面平面ABCM时，二面角的正切值为
C. 四棱锥的体积的最大值为
D. 棱PB的中点为N，则CN的长为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则线段MN的垂直平分线方程是__________.
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率__________.
15. 在中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点靠近点且，，则的最大值为__________.
16. 直线分别交x轴､y轴的正半轴于A､两点，当面积最小时，直线l的方程为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线和直线
若，求b的取值范围;
若，求的最小值.
18. 在中，角所对边分别为，且
求角A；
若，，试求的最小值.
19. 如图，在四棱台中，底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且，，
求证：直线平面
求直线CD与平面所成角的正弦值
20. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
求该局打4个球甲赢的概率；
求该局打5个球结束的概率．
21. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数，则称在A上具有M性质.
设是R上具有M性质的奇函数，求的解析式;
设是在区间上具有M性质的偶函数，若关于x的不等式在上恒成立，求实数n的取值范围.
22. 函数其中，，的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.
当时，求函数的单调递减区间;
对于，是否总存在唯一的实数，使得成立?若存在，求出实数m的值或取值范围;若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.
直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.
【解答】
解： 化为 ，
斜率为 ，所以倾斜角为 .
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判定、空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．
当“”时推不出“”，反之也推不出，即可得出结论.
【解答】
解：平面平面，
当时，不确定直线，不一定有；
反之，当时，仅有下图一种情况满足，若l偏斜则不满足，则“”不一定成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，以及共轭复数的概念，属于基础题．
求出复数z，可得
【解答】
解：因为，
所以，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了直线方程的综合应用，相互垂直的直线的斜率的关系，直线过定点，属于中档题.
求出定点A，B的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【解答】
解：由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为，可知两直线垂直，
所以，
所以，
故选：
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体柱、锥、台的体积，是基础题.
分别过点 A， B作 EF的垂线，垂足分别为 G， H，连接 ，将组合体分成两个棱锥和一个棱柱，再计算体积即可.
【解答】
解：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为 G， H，连接 ，
易得
取 AD的中点 O，连接 GO，易得 ，
多面体的体积
，
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、方差的定义以及计算方法，属于基础题．
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．属于基础题。
【解答】
解：中位数是将8个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，中位数不变；平均数受极端值影响较大，所以平均数可能变大，变小或不变，但是没有具体数值不能直接说变小；去掉1个最高分和1个最低分后，整体数值的波动变小，所以方差变小。选择
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆台的的结构特征，属于中档题.
将圆台补充为圆锥，则圆锥的轴截面为钝角三角形；过圆台两条母线作截面，当两条母线垂直时，截面面积最大.
【解答】
解：圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，
该圆台的轴截面中，延长两条母线交于一点A，
如图所示 在中，设，
则，
，则为钝角.
过圆台两条母线作截面，两条母线的夹角为，截面面积为S，
则，
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线面垂直的判定与性质，空间几何体的截面问题，属于中档题.
如图，通过证明平面ENMGFQ，可知所有点P构成的平面图形为正六边形ENMGFQ，通过得出正六边形ENMGFQ的边长，得出满足条件的所有点P构成的平面图形的周长.
【解答】
解：如图所示：
分别取CD，，，，的中点E，N，M，G，F，
则，易知，，
又，BD，DD1平面，
所以平面，又BD1平面，
则，所以，
同理，又，
所以平面ENMGFQ，
即所有点P构成的平面图形为正六边形ENMGFQ，
因为正方体的棱长为2，且Q为AD的中点，F为的中点，
所以正六边形ENMGFG的边长为：，
所以正六边形ENMGFG的周长为，
即满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为，
故选C
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率、互斥事件与对立事件、分层随机抽样、排列与排列数以及古典概型，属于中档题.
对于A，正难则反，先计算题没被解出的概率，再根据对立事件计算题被解出的概率；对于B，由互斥事件的定义立得；对于C，根据分层抽样的性质可得；对于D，先计算3人排成一排所有的排法数，再计算女生不相邻的排法数，根据古典概型计算出女生不相邻的概率，再由对立事件计算出女生相邻的概率.
【解答】
解：题没被解出的概率为，故题被解出的概率为，故选项A正确；
B.A ，B 是互斥事件，则事件A，B同时发生的概率为0，故选项B错误；
C.根据分层随机抽样，由知高级教师应抽取15人，故选项C正确；
D.设男生为甲，女生为乙和丙，则将这3人排成一排，共有种排法，其中女生不相邻有：乙，甲，丙，丙，甲，乙种排法，由古典概型得女生不相邻的概率为，故女生相邻的概率为，故选项D错误.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了直线斜率公式的应用，属中档题.
根据直线l的斜率满足，结合直线斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系求出的取值范围即可.
【解答】
解：直线l可逆时针从，l过B时，，l过A时，，，
结合下图，图象可知，
故选
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查向量的模，向量垂直、平行的判断，，投影向量的概念，单位向量，属于中档题.
利用向量的坐标运算，对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】解：因为向量，，
对于A，由，得，
解得，故A错误；
对于B，当时，，
则，
所以，
，即，故B正确；
对于C，因为，则，
所以向量是与共线的单位向量，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D正确.
故选
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于较难题．
A利用棱锥的体积公式结合运动思想，即可判断；B寻找二面角的平面角为，即可判断；C用反证法判断；D结合题干中的平行关系即余弦定理，即可判断．
【解答】
解：对于C，过D作，交AM于O，延长交BC于R，
因为底面不变，所以当平面底面ABCM时，
体积最大，其体积为，所以C对；
对于B，设，
过O作交AB于Q，连接PQ，则易得，
因为平面平面ABCM，，平面PAM，平面平面
所以平面ABCM，又平面ABCM，
于是，二面角的平面角为，
其正切值为，所以B对；
对于A，因为，，OP，平面POR，，
所以平面POR，
假设存在某一翻折位置，使得，又PB与平面POR有公共点P，
所以PB在平面POR内，
而由题意可得，R为BC中点，即PB与平面POR相交，存在矛盾，所以A错；
对于D，取AB中点K，连接KN，NC，KC，
，，又，，
所以四边形AKCM为平行四边形，，，
所以，而，AP，AM不变，
由余弦定理知为CN定值，所以D对．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求解，属于基础题.
求出 MN 的中点坐标为 ，斜率 ，由此能求出线段 MN 的垂直平分线斜率，得直线方程．
【解答】
解： ， ，
的中点坐标为 ， ，
线段 MN 的垂直平分线方程是： ，即 .
故答案为： .
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
【解答】
解：该电路正常工作则A正常，且B与C至少一个正常工作，
A正常工作的概率为，
B与C均不能正常工作的概率为，
故B与C至少一个正常工作的概率为
故该电路正常工作的概率为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值、正弦定理、余弦定理和平面向量基本定理，属于中档题.
由正弦定理得，化简后再由余弦定理得即可，点D是边AB上靠近点A的三等分点，所以，两边同时平方得，由基本不等式即可得出的最大值即可.
【解答】
解：由及正弦定理得，
整理得，
所以
因为，
所以，
因为点D是边AB上靠近点A的三等分点，
所以，
两边同时平方得，
整理得，即，
当且仅当时取等号，
解得，
所以的最大值是
故答案为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线方程的综合应用，直线过定点问题，属于综合题.
由题可得直线恒过定点 ，可设方程为 ，则 ，利用基本不等式可得 ，进而可得结果.
【解答】
解：直线 ，
，
由 ，得 ，
直线恒过定点 ，
可设直线方程为 ，则 ， ，
又 ，即 ，当且仅当 时取等号，
，
当 面积最小时，直线 l 的方程为 ，即 .
故答案为： .
17.【答案】解：因为，所以 ，即，因为，所以又因为，所以故b的取值范围是
因为，所以，显然，所以，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为

【解析】本题考查直线与直线的平行与垂直，基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．
通过，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围；
利用，得到，然后利用基本不等式求的最小值．
18.【答案】解：因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，即 ，
可得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
由 ， ，
可得
则 ，
因为 ，可得 ，则 ，可得 ，
所以
，
因为 ，可得 ，
所以当 时，即 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 .

【解析】本题考查解三角形和两角和差的三角函数，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力.
属于中档题.
根据题意和正弦定理，化简得到 ，再由诱导公式得到 ，即可求得 A 的值；
根据题意求得 ，结合三角恒等变换的公式，化简得到 ，结合 ，利用三角函数的性质，即可求解.
19.【答案】解：是AD中点，，
，四边形是平行四边形
，又平面，平面，
平面
过点D作的延长线于点O，连CO，
易知，平面，
平面平面，平面，
所以为CD与平面所成角，

【解析】本题主要考查线面平行的判定，线面角的求解，是一般题.
根据线面平行的判定定理进行解答；
根据线面所成角的定义，找出线面角，根据解三角形可以得出答案.
20.【答案】解：设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，，
，
该局打4个球甲赢的概率为
设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
易知D，E为互斥事件，
，，，
，
，
，
该局打5个球结束的概率为

【解析】本题主要考查互斥事件与相互独立事件的判断，属于中档题.
先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲贏为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
21.【答案】解：设，则为奇函数，故，
，则，此时，满足题意.
故
设，则为偶函数，故，
即，解得，则，
，即，
即
设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故
所以，
即在上恒成立，函数在上单调递
增，在上单调递减，则，故

【解析】本题考查函数的新定义问题，属于较难题.
22.【答案】解：由函数图象可知，，
，，，
，当时，，
，由得，，
由，得，
由，解得，
函数的单调递减区间为
由，得，
由，可得，，
，
又，得，所以，
由的唯一性可得：，即
由，得，解得，
综上所述，当时，使成立.
【解析】本题考查三角函数的图象和性质，三角函数的图形变换，三角函数中的存在与恒成立问题，属于较难题.
根据题意求出，再由余弦函数的单调性可得；
由题意，，求出，再由由列不等式组可得.